Ορια

Να υπολογιστούν τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1}$
2. $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$
3. $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-4x+3}$
4. $\lim\limits_{x\to -2}\dfrac{x^3-4x^2+x+2}{x-2}$
5. $\lim\limits_{x\to -2}\dfrac{x^3+2x^2-x-2}{x^2-4}$
6. $\lim\limits_{x\to -2}\dfrac{x^3+3x^2-4}{x^2-4}$

Να υπολογιστούν τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-9}$
2. $\lim\limits_{x\to \frac{1}{2}}\dfrac{2x^2+x-1}{8x^2-2}$
3. $\lim\limits_{x\to\sqrt{2}}\ \dfrac{x^4-4}{3x^2-6}$
4. $\lim\limits_{x\to 4}\left(\dfrac{x-20}{x^2-16}+\dfrac{2}{x-4}\right)$
5. $\lim\limits_{x\to -2}\dfrac{2x^3+4x^2-x-2}{\frac{x}{2}+1}$
6. $\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{(x+4)^3-27}{(x+6)^2-25}$

Να υπολογιστούν τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{\sqrt{x}-1}{x^2-1}$
2. $\lim\limits_{x\to 6}\dfrac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}$
3. $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x-\sqrt{3x-2}}{x^2-4}$
4. $\lim\limits_{x\to -8}\dfrac{\sqrt{1-x}-3}{\sqrt{x+12}-2}$
5. $\lim\limits_{x\to 16}\dfrac{\sqrt[4]{x}-2}{\sqrt{x}-4}$
6. $\lim\limits_{x\to -4}\dfrac{\sqrt{5+x}-1}{x^2+4x}$

Να υπολογιστούν τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 16}\dfrac{\sqrt{x}-4}{16-x}$
2. $\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{\sqrt{x+1}-2}{x^2-9}$
3. $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{\sqrt{x^2+5}-3}{2\sqrt{x}-\sqrt{8}}$
4. $\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{2x+\sqrt{2x+6}}{1-\sqrt{x+2}}$
5. $\lim\limits_{x\to 9}\dfrac{3x^2-243}{x-\sqrt{x}-6}$
6. $\lim\limits_{x\to 4}\dfrac{x^2-16}{\sqrt{x-4}}$

Να υπολογιστούν τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(x+1)^4-x-1}{x}$
2. $\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{x-\frac{9}{x}}{x^2-\frac{27}{x}}$
3. $\lim\limits_{x\to -2}\dfrac{x^2+4x+4}{|x+2|}$
4. $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x-4+3|x|}{x-1}$
5. $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{|4x-2|-|x+1|}{x^2-1}$
6. $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{|2x+2|-|x+4|}{|x+3|-|3x-1|}$

Να υπολογιστούν τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\gsin x}{x^3+2x^2+3x}$
2. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\gsin 3x\gsin 5x}{(x-x^3)^2}$
3. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\gsin 3x}{\sqrt{x}}$
4. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\gcos x-\sqrt{1+x\gsin x}}{x}$
5. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\gtan^2 x-\gsin^2 x}{x^2}$
6. $\lim\limits_{x\to 0}x^2 \gctan^2 x$

Να υπολογιστούν τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 5}\dfrac{\gtan\pi x}{x-5}$
2. $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{\gsin 2\pi x}{\gsin 4\pi x}$
3. $\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{\gsin\pi x}{\sqrt{x+1}-2}$
4. $\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{6}}\dfrac{2\gsin x-1}{6x-\pi}$
5. $\lim\limits_{x\to 0^{+}}\dfrac{3x-\gsin x}{\sqrt{1-\gcos x}}$
6. $\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}}\dfrac{16x^2-\pi}{1-\sqrt{2}\gcos x}$

Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{\sqrt{|x^2-4|}}$
2. $\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{ x +|x+1| +1}{x-|x+1|+1}$
3. $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{|x-2| -x+2}{x+|x-2|-2}$
4. $\lim\limits_{x\to -2}\dfrac{ x^2-4}{\sqrt{-x-2}}$
5. $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{\left(\sqrt[3]{x-1}\right)^2}{\sqrt[4]{x}-1}$
6. $\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{ x^2-9-|3-x|+|x^2-3x|}{x-3}$

Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{\sqrt{x^2-1}-|x+1|}{\sqrt{-x-1}}$
2. $\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{|x-2|+3|x-1|-2x-1}{2x-8}$
3. $\lim\limits_{x\to -2}\dfrac{5|x+2|+x^2-4}{3x+9}$
4. $\lim\limits_{x\to 4}\dfrac{|2-x| +2|x+3|-4x}{x-4}$
5. $\lim\limits_{x\to -3}\dfrac{|x-5|-|x-2|-3}{2x+6}$
6. $\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{|x^2-4|-|x^2+5x|+1}{3x^2-3}$

Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{|x^2-3x|-2|9-x^2|+8}{6-3x}$
2. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2-4x^2+3|x|}{x^4+4x^2-3|x|}$
3. $\lim\limits_{x\to -1^{+}}\dfrac{|x^3-3x^2+4|}{x^3+1}$
4. $\lim\limits_{x\to -3}\dfrac{\sqrt{x^2-6x+9}}{2x+6}$
5. $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x-|x|}{x+|x|}$
6. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{|x|+\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}$

Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{|x|}-\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}$
2. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{|x|+\sqrt{x}}{|x|-\sqrt{x}}$
3. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{|x|}-|x|}{\sqrt{|x|}+x}$
4. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{|x|}-x}{\sqrt{|x|}+x}$
5. $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{\sqrt{x^3-4x^2+4x}}{\sqrt{x+7}-3}$
6. $\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{(x-3)\sqrt{x^2-6x+9}}{x^2-9}$

Για τις διάφορες τιμές του $\alpha\in\mathbb{R}$, να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to\alpha}\dfrac{2x^2+(1-2\alpha)x-\alpha}{x^2-\alpha^2}$
2. $\lim\limits_{x\to -\alpha}\dfrac{x^4-\alpha^4}{x^3+\alpha^3}$
3. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\gcos\alpha x}{x}$
4. $\lim\limits_{x\to \alpha}\dfrac{\gsin x-\gsin\alpha}{x-\alpha}$
5. $\lim\limits_{x\to\frac{\alpha}{2}}\left((2x-\alpha)\gtan\left(\dfrac{\pi x}{\alpha}\right)\right)$
6. $\lim\limits_{x\to\alpha}\dfrac{\alpha^2-x^2}{|x|-\alpha}$

Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)=\dfrac{2x^2-2x}{|x-1|}$ και, με τη βοήθεια αυτής, να προσδιορίσετε τα όρια

1. $\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x)$
2. $\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)$
3. $\lim\limits_{x\to 1}f(x)$

Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ και, με τη βοήθεια αυτής, να προσδιορίσετε, εφόσον υπάρχει, το $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$:

1. $f(x)=\begin{cases}x, &x\gt 2 \\ 2, &x\leq 2\end{cases}~$, $x_0=2$
2. $f(x)=\begin{cases}x^2 ,&x\leq 3\\ \dfrac{9}{x}& x\gt 3\end{cases}~$, $x_0=3$
3. $f(x)=\dfrac{x}{|x|}~$, $x_0=0$
4. $f(x)=\dfrac{|2-x|}{-2+x}$, $x_0=2$
5. $f(x)=x-|1-x|$, $x_0=1$
6. $f(x)=\big|x-|x|\big|$, $x_0=0$

Να προσδιορίσετε, εφόσον υπάρχει, το όριο της $f$ στο $x_0=-2$, όταν:

1. $f(x)=\begin{cases}-5x+6, &x\neq -2 \\ 16, & x=-2 \end{cases}$
2. $f(x)=\begin{cases} x^4+1,&x\lt -2 \\ x+19, &x\geq 2\end{cases}$
3. $f(x)=\begin{cases}x^2+1 &x\leq -2 \\ x+3, &x\gt -2 \end{cases}$
4. $f(x)=\begin{cases}3x, & x\leq -2 \\ |x|-8 & x\gt -2 \end{cases}$

Έστω η συνάρτηση \[f(x)=\begin{cases}4, &x\leq -1 \\ 2x+6,& -1\lt x\leq 2\\ x^2,& 2\lt x\lt 5 \end{cases}.\] Να υπολογίσετε το όριο της $f$, αν υπάρχει, στα σημεια $x_1=-3$, $x_2=-1$, $x_3=0$, $x_4=2$, $x_5=3$, $x_6=5$, $x_7=6$.

Έστω $f,g$ συναρτήσεις με $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{f(x)}{x^2+1}=3$ και $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{g(x)}{x+1}=15$. Να υπολογίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{g^2(x)}{f(x)-5x}$.

Έστω $f,g$ συναρτήσεις με $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)}{x-1}=2$ και $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{2x^2-3x+1}{g(x)}=6$. Να υπολογίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)}{g(x)}$.

Έστω $f,g$ συναρτήσεις με $\lim\limits_{x\to 0}(f^2(x)+g^2(x))=14$ και $\lim\limits_{x\to 0}(f^2(x)-g^2(x))=6$. Να υπολογίσετε το όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 0}\left(f^4(x)-g^4(x)\right)$
2. $\lim\limits_{x\to 0}\left(3f^6(x)+5g^4(x)\right)$

Έστω $f,g$ συναρτήσεις με \[ \begin{align} \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{g(x)\gsin 2x-x^2f(x)}{x^2}&=5,\\[1ex] \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{g(x)\gsin 2x+x^2f(x)}{x^2}&=-1. \end{align} \] Να υπολογίσετε τα όρια $\lim\limits_{x\to 0}f(x)$ και $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{g(x)}{x}$.

Έστω $f,g$ συναρτήσεις με \[\begin{align} \lim\limits_{x\to 1}\left(x^2f(x)+3g(x)\right)&=4\\[1ex] \lim\limits_{x\to 1}\left(f(x)+g(x)\sqrt{x^2+3}\right)&=3. \end{align}\] Να υπολογίσετε τα όρια $\lim\limits_{x\to 1}f(x)$ και $\lim\limits_{x\to 1}g(x)$.

Έστω $f$ συνάρτηση με $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}=1$ και $\alpha\in\mathbb{R}$. Αποδείξτε ότι $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(\alpha x)}{x}=\alpha$.

Έστω $f$ περιττή συνάρτηση.

1. Αν $\lim\limits_{x\to 1}f(x)=2$, υπολογίστε το $\lim\limits_{x\to 0}\left(f(x-1)-f(1-x)\right)$.
2. Αν $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}$, υπολογίστε το $\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{f(x)-f(-1)}{x+1}$.

Έστω $\alpha,\beta\in\mathbb{Z}$. Θεωρούμε τη συνάρτηση \[f(x)=\begin{cases} 4x,&x\leq\beta \\ 2(x+\alpha)+1,&x\gt \beta \end{cases}.\] Να εξετάσετε αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης $f$ στο $\beta$.

Για τη συνάρτηση $f$ ισχύει $\lim\limits_{x\to 2^{+}}f(x)=4$ και $\lim\limits_{x\to 2^{-}}f(x)=\lambda(3-2\lambda)$, όπου $\lambda\in\mathbb{R}$. Αποδείξτε ότι δεν υπάρχει το όριο της $f$ στο $2$.

Έστω συναρτήσεις $f,g$ και $x_0$ σημείο στο οποίο υπάρχει το όριο $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}$. Αν $\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=0$, αποδείξτε ότι $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0$.

Αν $f$ είναι συνάρτηση με $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{2f(x)-1}{5-3f(x)}=4$, να προσδιορίσετε το $\lim\limits_{x\to 1}f(x)$.

Έστω συνάρτηση $f$ με $\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{f(x)-2x}{x^2-9}=5$. Να προσδιορίσετε τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 3}f(x)$
2. $\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{f(x)-x-3}{x^2-9}$

Αν $f$ είναι συνάρτηση με $\lim\limits_{x\to -2}f(x)=4$, να προσδιορίσετε τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 2}(3f(x)+x-1)$
2. $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{2f^2(x)-7f(x)-4}{f^2(x)-16}$
3. $\lim\limits_{x\to 2}\,\dfrac{\sqrt{f(x)}-2}{3f(x)-12}$

Θεωρούµε συνάρτηση $f$, ορισµένη στο $\mathbb{R}$, τέτοια ώστε $\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{f(x)-2}{x-3}=-2$. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 1}f(x)$
2. $\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{x^2 f(x)-18}{x-3}$

Θεωρούµε συνάρτηση $f$, ορισµένη στο $\mathbb{R}$, με $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-1-\gsin x}{x^2-x}=5$. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 0}f(x)$
2. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-1}{x}$
3. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{|3-5f(x)|-2}{x^3-x} $

Θεωρούµε συνάρτηση $f$, ορισµένη στο $\mathbb{R}$, τέτοια ώστε $\lim\limits_{x\to 2}f(x)=-3$. Να προσδιορίσετε τα παρακάτω όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 1}(f(5x-3)+x)$
2. $\lim\limits_{x\to -1}(x^2 f(-2x)+5)$
3. $\lim\limits_{x\to 5}(f(7-x)+f(x-3))$

Θεωρούμε συναρτήσεις $f,g$ με \[ \begin{align} \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)}{x^2-1}&=4,\\[1ex] \lim\limits_{x\to 1}\left(g(x)(x^2-3x+2)\right)&=5. \end{align} \] Να υπολογίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to 1}f(x)g(x)$.

Θεωρούµε συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει \[f^5 (x)+ x^4 f(x)=2x^5, \tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Υποθέτουµε ακόµα ότι υπάρχει το όριο $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}$ και ισούται με $l\in\mathbb{R}$. Να προσδιορίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to 0}f(x)$ και τον αριθµό $l$.

Θεωρούµε συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει \[f^3(x)+ x^6 f(x)=2x^9,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Υποθέτουµε ακόµα ότι υπάρχει το όριο $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x^3}$ και ισούται με $l\gt 0$. Να προσδιορίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to 0}f(x)$ και τον αριθµό $l$.

Θεωρούμε τη συνάρτηση \[f(x)=\begin{cases}3x+\alpha, & x\lt 2 \\ x+\alpha^2 -2, & x\gt 2 \end{cases}.\] Να προσδιοριστούν οι τιμές του $\alpha\in\mathbb{R}$ για τις οποίες ισχύει $\lim\limits_{x\to 2}f(x)=4$.

Θεωρούμε τη συνάρτηση \[f(x)=\begin{cases}x^2+\alpha, & x\lt -2 \\ \alpha^2 x+3, & -1\leq x\lt 0\\ 3\alpha, &x\geq 0 \end{cases}.\] Να προσδιοριστούν οι τιμές του $\alpha\in\mathbb{R}$ για τις οποίες:

1. Η $f$ διαθέτει όριο στο $-1$. Ποιο είναι το όριο αυτό;
2. Η $f$ διαθέτει όριο στο $-1$, όχι όμως στο $0$.

Δίνεται η συνάρτηση \[f(x)=\begin{cases}\sqrt{x^2+x+2}, &0\leq x\leq 1 \\ 3x-1, &x\gt 1\end{cases}.\]

1. Αποδείξτε ότι το όριο της $f$ στο $x_0=1$ είναι ίσο με $2$.
2. Αν $g(x)=\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}$, $x\neq 1$, εξετάστε αν υπάρχει το όριο της $g$ στο $x_0=1$.

Δίνεται η συνάρτηση $f$ με \[f(x)=\begin{cases} x^2+\alpha x+\beta, & x\lt 1\\ \dfrac{\sqrt{x^2+3}-\alpha+1}{x-1}, & x\geq 1 \end{cases}.\] Να προσδιορίσετε τα $\alpha,\beta$ ώστε η $f$ να έχει όριο στο 1.

Προσδιορίστε τους $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ ώστε $\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{x^3+\alpha x+\beta}{x+1}=4$.

Θεωρούµε συνάρτηση $f$, ορισµένη στο $\mathbb{R}$, τέτοια ώστε $\lim\limits_{x\to 1}f(x)=3$. Υποθέτουμε ότι \[f(x)-f(x-2)=4, \tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Αποδείξτε ότι για κάθε $x\in\mathbb{R}$ ισχύει $f(x+6)-f(x)=12$.
2. Να προσδιορίσετε τα όρια $\lim\limits_{x\to 3}f(x)$ και $\lim\limits_{x\to 7}f(x)$.

Θεωρούµε συνάρτηση $f$, ορισµένη στο $\mathbb{R}$, τέτοια ώστε $\lim\limits_{x\to 2}f(x)=4$. Υποθέτουμε ότι \[f(2x)=f(x)+3x,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Αποδείξτε ότι για κάθε $x\in\mathbb{R}$ ισχύει $f(8x)=f(x)+21x$.
2. Να προσδιορίσετε τα όρια $\lim\limits_{x\to 4}f(x)$ και $\lim\limits_{x\to 16}f(x)$.

Έστω $f$ συνάρτηση για την οποία ισχύει \[2\sqrt{3x}\leq f(x) \leq x+3, \tag{$\ast$}\] για κάθε $x \geq 0$. Να υπολογίσετε τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 3}f(x)$
2. $\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{f(x)-6}{x-3}$
3. $\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{f(x)-2x}{x-3}$
4. $\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{f(x)-x^2+3}{x^2-9}$

Να προσδιορίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to 1}f(x)$ σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις:

1. $x^2 − 2x + 3\leq f(x) \leq 2x^2-4x+4$, $x\in\mathbb{R}$
2. $\ln^2 x\leq f(x) \leq 3\ln^2 x$ , $x\gt 0$

Έστω $f$ συνάρτηση για την οποία ισχύει \[|\gsin x-xf(x)|\leq|x-\gsin x|, \tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Να υπολογίσετε το όριο της $f$στο $x_0=0$.

Έστω $f$ συνάρτηση για την οποία ισχύει για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Να υπολογίσετε το όριο της $f$ στο $x_0=5$.

Έστω $f$ συνάρτηση για την οποία ισχύει \[ f^2(x)+4\lt x+4f(x), \tag{$\ast$}\] για κάθε $x\gt 0$. Αποδείξτε ότι $\lim\limits_{x\to 0^{+}}f(x)=2$.

Υπολογίστε το όριο $\lim\limits_{x\to 0^{+}}\dfrac{\gsin\sqrt{x\sqrt{x}}}{\sqrt{x^2+\sqrt{x^3}}}$.

Να υπολογιστούν τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 2^+}\dfrac{1}{x-2}$
2. $\lim\limits_{x\to 2^+}\dfrac{1}{2x-4}$
3. $\lim\limits_{x\to 2^+}\dfrac{1}{x^2-4}$
4. $\lim\limits_{x\to 2^+}\dfrac{1}{x^4-16}$
5. $\lim\limits_{x\to 2^+}\dfrac{1}{8-x^3}$
6. $\lim\limits_{x\to 2^+}\dfrac{1}{x^2-3x+2}$

Να υπολογιστούν τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to -3^-}\dfrac{1}{x+3}$
2. $\lim\limits_{x\to -3^+}\dfrac{1}{x+3}$
3. $\lim\limits_{x\to 2^+}\dfrac{x+2}{2-x}$
4. $\lim\limits_{x\to 2^+}\dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{x}}$
5. $\lim\limits_{x\to -3^+}\dfrac{1}{x^2-9}$
6. $\lim\limits_{x\to -3^-}\dfrac{1}{x^3+27}$

Να υπολογιστούν τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to -3^+}\dfrac{1}{x^2+x-6}$
2. $\lim\limits_{x\to -3^+}\dfrac{1}{-3x-x^2}$
3. $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x-3}{(x-2)^2}$
4. $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x+7}{x^3+x^2-5x+3}$
5. $\lim\limits_{x\to -2^+}\dfrac{|x^2-3x|+x}{x+2}$
6. $\lim\limits_{x\to -2^+}\dfrac{\sqrt{x+3}+\sqrt{x+4}}{\sqrt{x+2}}$

Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-2}{x^4-2x^2}$
2. $\lim\limits_{x\to 3^+}\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{(x-3)^2}$
3. $\lim\limits_{x\to 8^-}\dfrac{\sqrt[3]{x}-2}{(x-8)^2}$
4. $\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{|x+4|}{|x+1|}$
5. $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{1-\sqrt{x}}{x^3-3x^2+3x-1}$
6. $\lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{3x+\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x^2+7}-2}$

Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{\sqrt{2x^2+1}-3}{(x-2)^5}$
2. $\lim\limits_{x\to -2^+}\dfrac{x^2-3x}{|x|-2}$
3. $\lim\limits_{x\to -1^-}\dfrac{x^3-2x^2+x}{|x|-1}$
4. $\lim\limits_{x\to 0^+}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{1}{x}\right)$
5. $\lim\limits_{x\to 0^+}\left(\dfrac{1}{|x|}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)$
6. $\lim\limits_{x\to 2^-}\dfrac{ x^3-2x^2+x-2}{ x^3-3x^2+4}$

Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2-1}{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}$
2. $\lim\limits_{x\to 3^-}\dfrac{|x^2-4x+1|+3|x-2|}{|x-1|-2}$
3. $\lim\limits_{x\to 4}\dfrac{x-1}{x-5\sqrt{x}+6}$
4. $\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{3\sqrt{x}}\right)$
5. $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{3x^2-10}{ x-2\sqrt{2x}+2}$
6. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt[4]{x^3}}{\sqrt[5]{x^6}}$

Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 0^-}\dfrac{4x-5}{\gsin x}$
2. $\lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{4}{\gsin\pi x}$
3. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2-x}{1-\gcos^3 x}$
4. $\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\dfrac{x-2}{1-\gsin x}$
5. $\lim\limits_{x\to -\frac{\pi}{2}}\dfrac{2\gtan x-3\gsin x}{1+\gsin x}$
6. $\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{4}}\dfrac{2\gsin x+1}{2\gsin^2 x-1}$

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{1}{|x+1|}$. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της $f$ και από αυτήν να προσδιορίσετε το όριο της $f$ στο $x_0=-1$.

Δίνεται η συνάρτηση \[f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2}{x^2-4}, & -2\lt x\lt 2 \\[2ex] \dfrac{\sqrt{x^2+1}-2}{x-3},& 2\leq x\lt 3 \end{cases}.\] Υπολογίστε τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 2^-}f(x)$
2. $\lim\limits_{x\to 2^+}f(x)$
3. $\lim\limits_{x\to 3^-}f(x)$

Δίνεται η συνάρτηση \[f(x)=\begin{cases}-\dfrac{5}{(x+2)^3}\,, &x\lt -2\\[2ex] \dfrac{\sqrt{x+2}}{x+2}, &x\gt -2\end{cases}.\] Εξετάστε αν υπάρχει το όριο της $f$ στο $x_0=-2$.

Να προσδιορίσετε τα πλευρικά όρια της συνάρτησης $f(x)= \dfrac{1+\gsin^2 x}{\sqrt{2x^2-x+5}-\sqrt{x+9}}$ στο $x_0=-1$.

Να υπολογίσετε το όριο της συνάρτησης $f$ στο $1$, όταν:

1. $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{2x-1}{f(x)}=+\infty$
2. $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)}{4x+3}=-\infty$
3. $\lim\limits_{x\to 1}((3x+4)f(x))=+\infty$

Να υπολογίσετε το όριο της συνάρτησης $f$ στο $3$, όταν:

1. $\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{3x-2}{f(x)}=+\infty$
2. $\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{f(x)}{x^2+1}+\infty$
3. $\lim\limits_{x\to 3}(f(x)(x^2-3x+1))=-\infty$
4. $\lim\limits_{x\to 3}(x^2 f(x))=+\infty$
5. $\lim\limits_{x\to 3}(2x-f(x))=+\infty$
6. $\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{\sqrt{x+1}-2}{(x-3)f(x)}=-\infty$

Έστω συναρτήσεις $f,g$ με $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{g(x)-1}=+\infty$ ή $+\infty$ και $\lim\limits_{x\to 0}f(x)=1$. Αποδείξτε ότι $\lim\limits_{x\to 0}g(x)=1$.

Έστω συναρτήσεις $f,g$ με \begin{align} \lim\limits_{x\to -3}(2f(x)-3g(x))&=-\infty\\[1ex] \lim\limits_{x\to -3}(3f(x)+2g(x))&=-1. \end{align} Υπολογίστε τα $\lim\limits_{x\to -3}f(x)$ και $\lim\limits_{x\to -3}g(x)$.

Έστω συναρτήσεις $f,g$ με \[f^2(x)g(x)= -4, \tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$, και $\lim\limits_{x\to 1}f(x)=0$. Υπολογίστε το $\lim\limits_{x\to 1}g(x)$.

Έστω συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, για την οποία η $C_f$ βρίσκεται κάτω από τον άξονα $x^{\prime}x$. Αν $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^2+3}{f(x)}=0$, υπολογίστε τα όρια $\lim\limits_{x\to 2}f(x)$ και $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{3f^2(x)-12}{3-f(x)}$.

Θεωρούµε τις συναρτήσεις $f (x) =\dfrac{1}{|x-1|}$ και $g (x) =\dfrac{1}{|x^2-1|}$. Να υπολογίσετε τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 1}f(x)$
2. $\lim\limits_{x\to 1}g(x)$
3. $\lim\limits_{x\to 1}(f (x) + g(x))$
4. $\lim\limits_{x\to 1}(f (x)g(x))$
5. $\lim\limits_{x\to 1}(f (x) − g(x))$
6. $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)}{g(x)}$
7. $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{g(x)}{f(x)}$
8. $\lim\limits_{x\to 1}(f^2(x)+g^2(x))$
9. $\lim\limits_{x\to 1}((x^2-3x+2)f(x))$

Θεωρούµε τις συναρτήσεις $f (x) =\dfrac{x^2-1}{(x-5)^4}$ και $g (x) =\dfrac{2x}{(x-5)^4}$. Να υπολογίσετε τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 5}f(x)$
2. $\lim\limits_{x\to 5}g(x)$
3. $\lim\limits_{x\to 5}(f (x) + g(x))$
4. $\lim\limits_{x\to 5}(f(x)g(x))$
5. $\lim\limits_{x\to 5}(f(x)−g(x))$
6. $\lim\limits_{x\to 5}\dfrac{f(x)}{g(x)}$
7. $\lim\limits_{x\to 5}\dfrac{g(x)}{f(x)}$
8. $\lim\limits_{x\to 5}(f^2(x)-g^2(x))$
9. $\lim\limits_{x\to 1}((x^2-5x)f(x))$

Έστω συνάρτηση $f$ με $\lim\limits_{x\to 3}f(x)= +\infty$. Υπολογίστε τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{x^2-9}{f(x)}$
2. $\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{f^2(x)-5f(x)}{3f^2(x)+10}$

Αποδείξτε ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός $\lambda$ ώστε το όριο της συνάρτησης $f(x)=\dfrac{\lambda x^2+x-6}{|x-2|}$ στο $x_0=2$ να υπάρχει και να είναι πραγματικός αριθμός.

Να προσδιορίσετε τους $\kappa,\lambda\in\mathbb{R}$ ώστε η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{x^2+3}{x^2-\kappa x-\lambda}$ να διαθέτει μη πεπερασμένα πλευρικά όρια στα σημεία $x_1=2$ και $x_2=-3$.

Για τις διάφορες τιμές των $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$, υπολογίστε, εφόσον υπάρχουν, τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{2x^2+\alpha}{|x-\beta|}$
2. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x}{\alpha x^2-3x+\beta}$
3. $\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{x+2+\alpha}{x^2-\beta}$
4. $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{ x^2-\alpha x+\beta-3}{x^2-4}$
5. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\alpha\gcos x+3\gsin x-\beta}{x}$
6. $\lim\limits_{x\to\alpha}\dfrac{2x-6+\alpha}{|x-\alpha|}$

Για τις διάφορες τιμές του $\alpha\in\mathbb{R}$, υπολογίστε, εφόσον υπάρχουν, τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to\alpha}\dfrac{\sqrt{x^2-3\alpha x+3\alpha^2-\alpha}}{|x|-\alpha}$
2. $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{\alpha x^2-2}{|x-1|}$
3. $\lim\limits_{x\to 5}\dfrac{x^2-10x+\alpha}{(x-5)^2}$
4. $\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{2x^2-3\alpha}{|x-3|}$
5. $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^2-5\alpha}{x-\alpha}$
6. $\lim\limits_{x\to \alpha}\dfrac{x^2-\alpha}{x^2+\alpha}$

Σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις, να εξετάσετε αν υπάρχει $\alpha\in\mathbb{R}$ ώστε να είναι πραγµατικός αριθµός το όριο:

1. $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^2-\alpha x+2}{x-2}$
2. $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^2-\alpha x+2}{(x-2)^2}$
3. $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^2-\alpha x+2}{(x-2)^3}$

Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to +\infty}(x+3)$
2. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x+3}$
3. $\lim\limits_{x\to +\infty}(3-2x)$
4. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1}{3-2x}$
5. $\lim\limits_{x\to +\infty}(x^2-9)$
6. $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(x(x-3)\right)$

Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to +\infty}(3x^2-7x + 9)$
2. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x^2-x+1}{x^2+1}$
3. $\lim\limits_{x\to -\infty}(-3x^8 + 3x^2 + 6x)$
4. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x^2}{x^2-9x}$
5. $\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{x^2-x+1}{x^2+2}$
6. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{(1-x)(x^2 -3)}{2x^2-1}$

Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to +\infty}(3x^2-4x+2)$
2. $\lim\limits_{x\to -\infty}(x-x^2+3-4x^3)$
3. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{3x^2-x+2}{4x^2-7x}$
4. $\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{2x-1}{3x^3+5x-2}$
5. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{3x^2+x+1}{-2x^4+3x^3}$
6. $\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{x-5x^4}{x^3 -9x}$

Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\sqrt{5x^2+3}+\sqrt{x^2-x+2}\right)$
2. $\lim\limits_{x\to +\infty}\sqrt{5x^2 -x + 1}$
3. $\lim\limits_{x\to -\infty}\sqrt{4x^4 -x^3 + 1}$
4. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}}$
5. $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^2 -3x + 1}-x^2\right)$
6. $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\sqrt{\dfrac{x^2-1}{x-1}}-\sqrt{\dfrac{x^2+x}{x+2}}\right)$

Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac{\sqrt{x^2+x}}{x}-x\right)$
2. $\lim\limits_{x\to -\infty}\left(\sqrt{(x-1)(x-2)}+x\right)$
3. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\sqrt{16x^2+1}}{|x-3|}$
4. $\lim\limits_{x\to +\infty}\Big(\sqrt{x^2+1}-2x+5\Big)$
5. $\lim\limits_{x\to +\infty}\Big(\sqrt[3]{x^4+3}-4\sqrt{x^4+4x+2}\Big)$
6. $\lim\limits_{x\to -\infty}\Big(\sqrt{4x^2+x}+2x\Big)$

Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{\sqrt{2-x}+2x}{x^2-1}$
2. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\sqrt{x+3}-\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-2}}$
3. $\lim\limits_{x\to +\infty}\!\left(\!\!\sqrt{(x-1)(x-2)(x-3)}-x^2\right)$
4. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt[3]{x^3+2x}-x}$
5. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\sqrt{x^4+4x^2+5}-x^2}{x+4}$
6. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x\sqrt{x^2+5x+7}-7}{x-1}$

Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to +\infty}\Big(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}-\sqrt{x}\Big)$
2. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x+\sqrt{x^2+1}}{2x+3\sqrt{x^2+1}}$
3. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x-\sqrt{x^2+1}}{x+\sqrt{x^2+1}}$
4. $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)$
5. $\lim\limits_{x\to +\infty}\!\Big(\!\!\sqrt[3]{x-5}+\sqrt[3]{x-2}-\sqrt[3]{x-1}\Big)$
6. $\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}-|x+1|}{\sqrt{1-x}}$

Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to +\infty}\Big(\sqrt{16x^2+5x+3}-4x+1\Big)$
2. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\sqrt{9x^2+x-2}+\sqrt{9x^2+2}}{\sqrt{x^2+2x}+x-3}$
3. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+2x}-x+3}{\sqrt{9x^2+x-2}-\sqrt{9x^2+2}}$
4. $\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{\sqrt{x^2-1}-\sqrt{x^2+x}}{\sqrt{(x-1)(3x+2)}}$
5. $\lim\limits_{x\to +\infty}\sqrt[3]{\dfrac{x^2+3}{x}-\dfrac{x^2-4}{x-1}}$
6. $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\!x\!\left(\!\sqrt{\dfrac{(1-2x)^2}{x^2}+5}-3\right)\!\right)$

Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to -\infty}(|x+1|-3)$
2. $\lim\limits_{x\to +\infty}(|x+1|-|x-1|)$
3. $\lim\limits_{x\to +\infty}(x+|-x+1|)$
4. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{|x^2-3x|+x}{x+2}$
5. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{|x-1|+x}{x+3}$
6. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x+|1-x|}{2x-1}$

Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to -\infty}(x|x^3-1|+x^2+1)$
2. $\lim\limits_{x\to +\infty}|x^3 -3x + 2|$
3. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{|x-5|-|9-x^2|+2}{3x-6}$
4. $\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{|2x-1|-3|4-2x| +1}{5x^4+2}$
5. $\lim\limits_{x\to -\infty}\left|\dfrac{1}{x^2+5}+\dfrac{1}{x-2}\right|$
6. $\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{(x+1)|x+2||x+3|+1}{x^2+1}$

Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to +\infty}4^{x+1}$
2. $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac{3}{5}\right)^{x}$
3. $\lim\limits_{x\to +\infty}\sqrt{2^x+1}$
4. $\lim\limits_{x\to -\infty}(2^x+x)$
5. $\lim\limits_{x\to +\infty}(2^x+2^{-x})$
6. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{2^x+3^x}{4^x+5^x}$
7. $\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{2^x+3^x}{4^x+5^x}$
8. $\lim\limits_{x\to -\infty}\left(3+\dfrac{1}{x}\right)^{x-1}$

Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to -\infty}x\cdot3^\frac{3}{x}$
2. $\lim\limits_{x\to +\infty}2^{\sqrt{x}-\sqrt{x+1}}$
3. $\lim\limits_{x\to \infty}e^{\,\frac{x^2+1}{x-2}}$
4. $\lim\limits_{x\to \infty}e^{\frac{2-x^3}{x^2+x}}$
5. $\lim\limits_{x\to +\infty}(5^x-4^x)$
6. $\lim\limits_{x\to -\infty}(3^x-10^x)$

Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to -\infty}\left(\left(\dfrac{5}{4}\right)^{x}-\left (\dfrac{3}{2}\right)^{x}\,\right)$
2. $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\left(\dfrac{4}{9}\right)^{x}-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{x}\,\right)$
3. $\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{3^x+2}{x^5+1}$
4. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{e^x+1}{e^{2x}+3}$
5. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{2^x+1}{2^{x+1}+3}$
6. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{e^{x+1}+2^x}{e^x+2^{x+3}}$

Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{1+\ln^2 |x|}{4-\ln^2 |x|}$
2. $\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{\ln^2 x+1}{\ln^2 x-\ln x+1}$
3. $\lim\limits_{x\to +\infty}(2\ln 3x-\ln(x^2+1))$
4. $\lim\limits_{x\to +\infty}(3\ln x-\ln(2x^2-x+1))$
5. $\lim\limits_{x\to +\infty}(\ln(x+\gsin x)-2\ln x)$
6. $\lim\limits_{x\to +\infty}(x-\ln(2+e^{x+3}))$

Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\ln(1+e^{-x})-\sqrt{x}\right)$
2. $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(x^2-\ln\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)\right)$
3. $\lim\limits_{x\to +\infty}(x^3\ln(2x)-x^2)$
4. $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\ln(\sqrt{x^2+1})-x+1\right)$
5. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(x^2+1)}{\ln(x^3+1)}$
6. $\lim\limits_{x\to -\infty}\left(\ln(x^3-5)(x^5+1)-8\ln|x|\right)$

Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(e^{1-x}\gsin x\right)$
2. $\lim\limits_{x\to -\infty}\left((2x-3)\gcos\dfrac{1}{x}\right)$
3. $\lim\limits_{x\to -\infty}\left(x\gtan\left(\dfrac{1}{x}+2\right)\right)$
4. $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(x^5 \gsin\dfrac{1}{x}\right)$
5. $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(x^2 \gsin^4 \dfrac{1}{x}\right)$
6. $\lim\limits_{x\to -\infty}\left(\left(\dfrac{1}{\sqrt{|x|}}+\dfrac{1}{x}\right)\gtan\left(\dfrac{2}{x^2}\right)\right)$

Έστω $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ συνάρτηση ώστε το όριο $\lim\limits_{x\to -\infty}\left(xf(x)\right)$ να είναι πραγματικός αριθμός. Αποδείξτε ότι $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=0$.

Να υπολογίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to +\infty}(f(x) -\lambda x)$, όπου $\lambda=\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)$, όταν:

1. $f(x)= \dfrac{3x^2-x+1}{x+1}$
2. $f(x)= \dfrac{x\sqrt{x^2+2}}{x+1}$
3. $f(x)=\sqrt{9x^2-x}-3x$

Έστω συνάρτηση $f$ με $\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{(x^2-1)f(x)}{x+2}= \dfrac{4}{5}$. Υπολογίστε το $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)$.

Έστω συνάρτηση $f$ με $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=+\infty$. Υπολογίστε το όριο \[\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{3f^2(x)-2f(x)}{f^2(x)+4f(x)+5}.\]

Έστω συνάρτηση $f$ με $\lim\limits_{x\to +\infty}(xf(x)-5)=2$. Υπολογίστε τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to +\infty}(f(x)-x^2)$
2. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x+f(x)}{f(x)-x^2}$

Δίνεται η συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=1$. Να αποδειχθεί ότι \[\lim\limits_{x\to +\infty}(f(x+2)-2f(x+1)+ f(x))=0.\]

Για τις διάφορες τιμές του $\alpha\in\mathbb{R}$, υπολογίστε το όριο $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)$, όταν:

1. $f(x)=\left((\alpha-1)x^4+x^3-2x-5\right)$
2. $f(x)=\dfrac{(\alpha-1)x^2+2x+3}{4x+7}$
3. $f(x)=\dfrac{\alpha(x^2+x)-(2x^2+1)}{\alpha^2 x^2-4x(x+2) +1}$
4. $f(x)=\dfrac{(\alpha-2)x^3+(\alpha+3)x+5}{(\alpha-5)x^2+x+1}$
5. $f(x)=\alpha x+\sqrt{3+4x-x^2}$
6. $f(x)=\sqrt{x^2-3x+2}-\alpha x-12$

Για τις διάφορες τιμές του $\alpha\in(0,+\infty)$, υπολογίστε το όριο $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)$, όταν:

1. $f(x)=\dfrac{\alpha^x +4}{2\alpha^x+3}$
2. $f(x)=\dfrac{\alpha^x+5\cdot 3^x}{4\alpha^x+3^{x+1}}$
3. $f(x)=\dfrac{2\alpha^x+3\cdot 2^x}{\alpha^x+5^x}$

Έστω η συνάρτηση $f$ με όπου $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$.

1. Να υπολογίσετε το όριο της $f$ στο $+\infty$, για τις διάφορες τιμές των $\alpha,\beta$.
2. Να υπολογίσετε τα $\alpha,\beta$ ώστε το όριο της $f$ στο $-\infty$ να ισούται με $0$.

Δίνεται η συνάρτηση με $f(x)=\dfrac{\alpha x^2+5x-2}{\beta x^2-4}$, όπου $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$. Για τις διάφορες τιμές των $\alpha,\beta$, να υπολογίσετε τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 2}f(x)$
2. $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)$

Έστω οι συναρτήσεις \[\begin{align} f(x)&=\dfrac{x^2+4x+3}{x+1},\\[1ex] g(x)&=\sqrt{4x^2+2x+3}. \end{align} \] Να προσδιορίσετε τους αριθμούς $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$, όταν:

1. $\lim\limits_{x\to +\infty}\Big(f(x)-(\alpha x+\beta)\Big)=3$
2. $\lim\limits_{x\to -\infty}\Big(g(x)-(\alpha x+\beta)\Big)=2$

Έστω η συνάρτηση $f(x)=\sqrt{4x^2+1}-2x\gsin\alpha$, όπου $\alpha\in[0,2\pi]$.

1. Υπολογίστε το $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)$.
2. Προσδιορίστε την τιμή του $\alpha$ ώστε $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=0$.

Να υπολογίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to \infty}\Big(\sqrt{4x^2+x+1}+\alpha x+1\Big)$, για τις διάφορες τιμές του $\alpha\in\mathbb{R}$.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x)= \sqrt{4x^4+3x^2+2}-\kappa x^2+\lambda x-\mu$, όπου $\kappa,\lambda,\mu\in\mathbb{R}$. Προσδιορίστε τους $\kappa,\lambda,\mu$ ώστε $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\frac{11}{4}$.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x)=\dfrac{\sqrt{9x^2+x+1}-\kappa x}{\sqrt{x^2+2x+3}-\lambda x}$, όπου $\kappa,\lambda \in\mathbb{R}$. Προσδιορίστε τους $\kappa,\lambda $ ώστε $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\frac{1}{6}$.

Να προσδιορίσετε τις τιμές των $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ για τις οποίες \[\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\sqrt{4x^2+x+1}+\alpha x-2\beta\right)=1.\]

Για τις διάφορες τιμές του $\alpha\in\mathbb{R}$, να υπολογίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\alpha^{x+1}+e^x}{\alpha^x +e^{x+1}}$.

Έστω $\alpha,\beta\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\cup\left (\frac{\pi}{2},\pi\right)$. Θεωρούμε τη συνάρτηση \[f(x)=\sqrt{4x^2\gcos^2\alpha-4x+1}-x+\gsin\beta.\]

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της $f$.
2. Να προσδιορίσετε τις τιμές των $\alpha,\beta$ έτσι ώστε $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=-\dfrac{3}{2}$.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f$ με τύπο $f(x)=\dfrac{(x^4-x^2)}{1+x^2}\gsin\dfrac{1}{x^2}$. Να υπολογίσετε τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 0}f(x)$
2. $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)$
3. $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)$

Δίνεται συνάρτηση $f$ με \[\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)+2x\gsin(1/x)}{\sqrt{x^2+2x+3}-x}=3.\tag{$\ast$}\] Να προσδιορίσετε το $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)$.

Δίνεται συνάρτηση $f$ με Υπολογίστε το $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)$.

Θεωρούμε συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Να προσδιορίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)$ σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις:

1. $x^2-x+1\leq f (x)\leq 2x^2-x+1$ , $x\in\mathbb{R}$
2. $|(1 + x^3) f(x)-2x^2|\leq x$, $x \gt 0$

Έστω $f$ συνάρτηση με \[g(x)\leq f(x)\leq h(x),\tag{$\ast$}\] όπου \[ \begin{align} g(x)&=\dfrac{x^3+x^2+x}{x^2+1},\\[1ex] h(x)&=\dfrac{x^3+2x^2+x}{x^2+1}. \end{align} \] για κάθε $x\gt 0$. Να υπολογίσετε τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)$
2. $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(f(x)\gsin\dfrac{2}{x}\right)$

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x)= \dfrac{x\gsin x-\gcos x}{1+x^2}$.

1. Να αποδείξετε ότι $\dfrac{-|x|+1}{1+x^2}\leq f(x)\leq\dfrac{|x|+1}{1+x^2}$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.
2. Να προσδιορίσετε τα $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)$ και $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)$.

Έστω $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\beta\neq 0$. Θεωρούμε πολυωνυμική συνάρτηση $P$ για την οποια ισχύουν \[\begin{align} \lim\limits_{x\to 0}P(x)&=-4,\\[1ex] \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{P(x)}{x+\alpha}&=2,\\[1ex] \lim\limits_{x\to 2}\,\dfrac{P(x)}{x+\alpha}&=\beta. \end{align}\] Να προσδιορίσετε τον τύπο της $P$ και τους $\alpha,\beta$.

Θεωρούμε γνησίως αύξουσα πολυωνυμική συνάρτηση $P$. Αποδείξτε ότι είναι περιττού βαθμού.

Θεωρούµε τη συνάρτηση $f$, τέτοια ώστε $f (x)\geq e^x$, για κάθε $x \gt 0$. Αποδείξτε ότι $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)= +\infty$.

Θεωρούµε τη συνάρτηση $f$, τέτοια ώστε $f(x)\leq -\ln x$, για κάθε $x \gt 0$. Αποδείξτε ότι $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)= -\infty$.