Παραγωγος I

Να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης $f$ στο $x_0$, στις παρακάτω περιπτώσεις:

1. $f(x)=x^2 -x$, $x_0=1$
2. $f(x)=x^2 -3x+5$, $x_0=2$
3. $f(x)=-\frac{1}{x}$, $x_0=-2$
4. $f(x)=\sqrt{x-1}$, $x_0=1$
5. $f(x)=\sqrt{x+x^2}$, $x_0=1$
6. $f(x)=\gsin^2 x+1$, $x_0=0$
7. $f(x)=xe^x$, $x_0=0$
8. $f(x)=x+\gsin x$, $x_0=\frac{\pi}{4}$
9. $f(x)=x\ln x$, $x_0=e^2$
10. $f(x)=1-\ln^2 x$, $x_0=1$

Να υπολογίσετε (αν υπάρχει) την παράγωγο της συνάρτησης $f$ στο $x_0$, στις παρακάτω περιπτώσεις:

1. $f(x)=|x-2|$, $x_0=2$
2. $f(x)=|x^2-x|$, $x_0=0$
3. $f(x)=|x^3 -x^2|$, $x_0=0$
4. $f(x)=x^2+|x-3|$, $x_0=3$
5. $f(x)=|x|\sqrt{x}$, $x_0=0$
6. $f(x)=|\gsin x|$, $x_0=0$
7. $f(x)=x+\sqrt{3x+9}$, $x_0=-3$
8. $f(x)=\begin{cases}-x^2+3x+2, &x\lt 1\\ 2\sqrt{x^2+3}, &x\geq 1 \end{cases}~$, $x_0=1$
9. $f(x)=\begin{cases}3x^2-x, &x\leq 2\\ 2\sqrt{x^2-4}, &x\gt 2 \end{cases}~$, $x_0=2$
10. $f(x)=\begin{cases}\sqrt{2-x}, &x\leq 2\\ \sqrt{x^2-4}, &x\gt 2 \end{cases}~$, $x_0=2$
11. $f(x)=\begin{cases}x^2\gsin\dfrac{1}{x}, &x\neq 0\\ 0, &x=0 \end{cases}~$, $x_0=0$
12. $f(x)=\begin{cases}\dfrac{\gsin^3 (x-1)}{x-1}, &x\neq 1\\ 0, &x=1 \end{cases}~$, $x_0=2$
13. $f(x)=\begin{cases}x^2+3, &x\lt \alpha\\ 2\alpha x-\alpha^2 +3, &x\geq \alpha \end{cases}~$, $x_0=\alpha\in\mathbb{R}$
14. $f(x)=\begin{cases}x^3+2, &x\leq\alpha\\ 3\alpha^2 x-2\alpha^3 +2, &x\gt \alpha \end{cases}~$, $x_0=\alpha\in\mathbb{R}$

Να εξετάσετε αν η συνάρτηση $f$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $x_0$, στις παρακάτω περιπτώσεις:

1. $f(x)=\begin{cases} x^2-x^3, & x\lt 0\\ \gsin^2 x, & x\geq 0 \end{cases}~,$ $x_0=0$
2. $f(x)=\begin{cases} x^3+2x^2-12x+3, & x\lt 0\\ 3x^2-12x+3, & x\geq 0 \end{cases}~,$ $x_0=0$
3. $f(x)=\begin{cases} 3x^2-11, & x\lt 2\\ 4x^3-12x^2+12x-7, & x\geq 2 \end{cases}~,$ $x_0=2$

Δίνεται συνάρτηση $f$ στο $\mathbb{R}$ με $f^{\prime}(0)=f(0)=0$. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \[g(x)=\begin{cases} f(x)\gsin(\ln x^2),&x\neq 0\\ 0, &x=0\end{cases}\] είναι παραγωγίσιμη στο 0.

Έστω $f,g:[0,+\infty)\to\mathbb{R}$ παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο $1$ με $f(1)=g(1)$. Θεωρούμε τη συνάρτηση \[h(x)=\begin{cases}g\left(\sqrt[3]{x}\right),&0\lt x\lt 1 \\ f\left(\sqrt{x}\right),&x\geq 1\end{cases}~.\] Αποδείξτε ότι η $h$ παραγωγίζεται στο $1$ μόνο όταν $3f^{\prime}(1)=2g^{\prime}(1)$.

Αν για συνάρτηση $f$ ισχύει $f(h-4)=5h^3-2h+1$, για κάθε $h\in\mathbb{R}$, αποδείξτε ότι $f(-4)= 1$ και $f^{\prime}(-4)=-2$.

Έστω $f$ παραγωγίσιμη στο 2 συνάρτηση και \[g(x)=\begin{cases}f(3x-10),&x\leq 4 \\ f(2x-6),&x\gt 4\end{cases}~.\] Αποδείξτε ότι η $g$ είναι παραγωγίσιμη στο $4$ αν και μόνο αν $f^{\prime}(2)=0$.

Για τη συνάρτηση $f$ είναι γνωστό ότι $f (3)=4$ και $f^{\prime}(3)=2$. Προσδιορίστε τα παρακάτω όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{f^2(x)-16}{x^2-9}$
2. $\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{f(x)-4}{\sqrt{x}-\sqrt{3}}$
3. $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{h^2+5h}{f(3+h)-4}$
4. $\lim\limits_{\alpha\to 1}\dfrac{f(3\alpha)-4}{\alpha-1}$

Για τη συνάρτηση $f$ είναι γνωστό ότι $f(1)=2$ και $f^{\prime}(1)=-3$. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f^3(x)-4f(x)}{x^3-1}$
2. $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f^2(1+h)-4}{\sqrt{1+h}-1}$
3. $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(1+h)-f(1-h)}{h}$
4. $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{\gsin(\frac{\pi}{2}x)-1}{f(x)-2}$

Έστω $f$ παραγωγίσιμη συνάρτηση στο $x_0$. Να υπολογίσετε συναρτήσει των $x_0$, $f(x_0)$ και $f^{\prime}(x_0)$ τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x^2-x_{0}^{2}}$
2. $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{\sqrt{f(x)}-\sqrt{f(x_0)}}{x^2-x_{0}^{2}}$
3. $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f^2(x)-f^2(x_0)}{\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}}}$
4. $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f^3(x)-f^3(x_0)}{\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}}}$
5. $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f^3(x)-f^3(x_0)}{(x-x_{0})^2 f(x)}$
6. $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{e^x-e^{x_{0}}}$
7. $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+2h)-f(x_0-h)}{h}$
8. $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f^2(4h+x_0 )-f^2(x_0 -h)}{h}$

Θεωρούμε συνάρτηση $f$.

1. Αν η $f$ είναι συνεχής στο $1$ και $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)}{x-1}=5$, αποδείξτε ότι $f^{\prime}(1)=5$.
2. Αν η $f$ είναι συνεχής στο $1$ και $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)+x^3}{x-1}=3$, προσδιορίστε τις τιμές $f(1)$ και $f^\prime(1)$.
3. Αν η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $2$ και $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(2+3x)}{x}=5$, προσδιορίστε τις τιμές $f(2)$ και $f^\prime(2)$.

Δίνεται συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, συνεχής στο $x_0=0$, για την οποία ισχύει $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-5}{x}=2$. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0=0$ με $f^\prime(0)=2$.

Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει \[\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)-\sqrt{x+3}}{x^2-1}=\dfrac{7}{8}.\tag{$\ast$}\] Να προσδιοριστούν οι τιμές $f(1)$ και $f^{\prime}(1)$.

Θεωρούµε συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, συνεχή στο $0$, τέτοια ώστε $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}=3$.

1. Αποδείξτε ότι $f(0)=0$ και $f^{\prime}(0)=3$.
2. Υπολογίστε τα όρια $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{3x^2+f^2(x)}{4x^2+2\gsin^2 x}$ και $\lim\limits_{x\to -5}\dfrac{f(x+5)}{x^2-25}$.

Θεωρούµε συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, συνεχή στο $1$, με $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)-x^2+4}{x^2-1}=2$.

1. Αποδείξτε ότι $f(1)=-3$ και $f^{\prime}(1)=6$.
2. Υπολογίστε τα όρια $\lim\limits_{x\to 5}\dfrac{f(11-2x)+3}{x-5}$ και $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(1-2h)+3}{h}$.

Δίνεται συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από την αρχή των αξόνων και ισχύει ότι $f^{\prime}(0)=2$. Υπολογίστε το όριο $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-\gsin x}{\sqrt{x+4}-2}$.

Έστω συνεχής στο $x_0=2$ συνάρτηση $f$ με $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(2-h)}{h}=3$.

1. Αποδείξτε ότι $f(2)=0$ και $f^\prime(2)=-3$.
2. Υπολογίστε τα όρια $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(2+2x)-f(2-x)}{x}$ και $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f^2(4x+2)-f^2(2-x)}{x}$.

Έστω συνεχής στο 1 συνάρτηση $f$ με $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)}{\sqrt{x}-1}=l\in\mathbb{R}$. Θεωρούμε τη συνάρτηση $g(x)=xf(x)$. Αποδείξτε ότι $f^{\prime}(1)=g^{\prime}(1)=\dfrac{l}{2}$

Δίνεται δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ συνάρτηση $f$ με $f(0)=f^{\prime}(0)=0$ και $f^{\prime\prime}(0)=1969$. Να υπολογίσετε το όριο $$l=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{e^x \gsin x-x}.$$

Δίνεται η συνάρτηση \[f(x)=\begin{cases}4x^2-\alpha^2 x, &x\leq 1 \\7x-\alpha-3, &x\gt 1 \end{cases}\ ,\] όπου $\alpha\in\mathbb{R}$. Να προσδιορίσετε τις τιμές του $\alpha$ για τις οποίες η $f$ είναι:

1. συνεχής στο 1,
2. παραγωγίσιμη στο 1.

Να προσδιορίσετε τις τιμές των $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ για τις οποίες η συνάρτηση \[f(x)=\begin{cases} x^2+\alpha x+\beta, & x\gt 1\\ 2x^2-\alpha x+3\alpha+1, & x\leq 1 \end{cases}\] είναι παραγωγίσιμη στο 1.

Να προσδιορίσετε τις τιμές των $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ για τις οποίες η συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$, όταν:

1. $f(x)=\begin{cases} 2x^2+3& x\lt 0 \\ 3\beta+\alpha x& x\geq 0 \end{cases}~$, $x_0=0$
2. $f(x)=\begin{cases}x^2+\alpha x, &x\lt 2 \\ 3x-\beta, &x\geq 2 \end{cases}~$, $x_0=2$
3. $f(x)=\begin{cases}3x^2+2, &x\lt 1 \\ \alpha x-\beta &x\geq 1 \end{cases}~$, $x_0=1$
4. $f(x)=\begin{cases}\alpha\sqrt{x}, &0\leq x\lt 1 \\ x-\beta &x\geq 1 \end{cases}~$, $x_0=1$

Έστω η συνάρτηση \[f(x)=\begin{cases} \dfrac{x^2-\alpha x+2}{x-3},&x\leq 1\\[2ex] \dfrac{\sqrt{3x^2+1}-2}{x-1}, &x\gt 1\end{cases}~,\] όπου $\alpha\in\mathbb{R}$.

1. Να προσδιορίσετε το $\alpha$ ώστε η $f$ να είναι συνεχής.
2. Για την παραπάνω τιμή του $\alpha$, να εξετάσετε αν η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0=1$.

Προσδιορίστε τους $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ ώστε η συνάρτηση \[f(x)=\begin{cases}\alpha x^3-\beta x, &x\lt 0 \\ x^2 , &x\geq 0 \end{cases}\] να είναι παραγωγίσιμη στο $0$.

Αν η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $x_0= 0$ (ορισμένη σε κατάλληλο διάστημα), αποδείξτε ότι η συνάρτηση $g(x)= f(x)\gsin x$ είναι παραγωγίσιμη στο $0$.

Αν $f$ είναι συνάρτηση με $f^{\prime}(0)=3$ και $f(0)=2$, να προσδιορίσετε την $g^{\prime}(0)$ όταν:

1. $g(x)= x^2 f(x)+x$
2. $g(x)=f(x)-\dfrac{x^2}{f(x)}$

Έστω $f$ συνάρτηση παραγωγίσιμη στο $x_0$. Να προσδιορίσετε το $g^{\prime}(x_0)$, αν $$g(x)=f(x)+f^{\prime}(x_0)(x-x_0)-f(x_0),$$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

Δίνεται συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με για οποιαδήποτε $x,y\in\mathbb{R}$. Αν γνωρίζουμε επίσης ότι $f^{\prime}(0)=4$, να αποδείξετε ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο $x_0\in\mathbb{R}$ και να προσδιορίσετε την παράγωγό της.

Δίνεται συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο $x_0=0$ με $f^{\prime}(0)=1$ και για την οποία ισχύει \[f(x+y)=f(x)e^{y}+f(y)e^{x},\tag{$\ast$}\] για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$.

1. Να υπολογίσετε το $f(0)$ και το $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}$.
2. Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού της, με \[f^{\prime}(x_0)=f(x_0)+e^{x_0}.\]

Έστω $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ άρτια και παραγωγίσιµη στο $x_0=0$ συνάρτηση. Θεωρούμε τη συνάρτηση $g(x)=(x^4+2)f(x)+\alpha x$, όπου $\alpha\in\mathbb{R}$.

1. Αποδείξτε ότι $f^{\prime}(0)=0$.
2. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση $g$ είναι παραγωγίσιµη στο $x_0=0$ με $g^\prime(0)= \alpha$.

Θεωρούµε παραγωγίσιµη στο $0$ συνάρτηση $f$ με $f(0)=0$ και \[f(x)\leq x^2,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Αποδείξτε ότι $f^{\prime}(0)=0$.

Θεωρούµε παραγωγίσιµες στο $x_0\in\mathbb{R}$ συναρτήσεις $f,g$ με $f(x_0)=g(x_0)$ και \[f(x)\leq g(x),\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Αποδείξτε ότι $f^{\prime}(x_0)=g^{\prime}(x_0)$.

Θεωρούµε συναρτήση $f$, τέτοια ώστε \[g(x)\leq f(x)\leq h(x),\tag{$\ast$}\] όπου \[\begin{align} g(x)&= -5(x-2)^2+3x-4 \\ h(x)&= 6(x-2)^2+3x - 4 \end{align}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι συνεχής στο $2$.
2. Εξετάστε αν η $f$ είναι παραγωγίσιµη στο $2$.

Θεωρούµε συνάρτηση $f$, τέτοια ώστε \[g(x)\leq f(x)\leq h(x),\tag{$\ast$}\] όπου \[\begin{align} g(x)&= |x-3|^3+x+1 \\ h(x)&= 2|x-3|^3 +x+1 \end{align}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι συνεχής στο $3$.
2. Εξετάστε αν η $f$ είναι παραγωγίσιµη στο $3$.

Αν για τη συνάρτηση $f$ ισχύει \[-2x+1\leq f(x)\leq x^4-2x+1,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$, τότε:

1. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι συνεχής στο $x=0$.
2. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $x=0$ και ισχύει $f^\prime(0)=-2$.

Αν η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $0$ και για κάθε $x\in\mathbb{R}^{\ast}$ ισχύει \[g(x)\leq f(x)\leq h(x),\tag{$\ast$}\] όπου \[ \begin{align} g(x)&=x^2\left(\gcos\dfrac{1}{x}-3\right), \\ h(x)&=x^2\left(\gcos\dfrac{1}{x}+3\right), \end{align} \] να αποδείξετε ότι $f^{\prime}(0)=0$.

Αν για τη συνεχή στο $0$ συνάρτηση $f$ ισχύει για κάθε $x\in\mathbb{R}$, να προσδιορίσετε τις τιμές $f(0)$ και $f^{\prime}(0)$.

Έστω $f,g$ συναρτήσεις στο $\mathbb{R}$ όπου η $f$ είναι συνεχής στο $2$, $g(x)\geq 0$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$, $g(2)=4$, $g^{\prime}(2)=10$ και \[4\sqrt{g(x)}+2 \leq f(x)\leq g(x)+6,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $2$.

Έστω $f,g$ συναρτήσεις στο $\mathbb{R}$ όπου η $g$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0 \in\mathbb{R}$ και \[|f(x)-g(x)|\leq (x-x_0 )^2,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι επίσης παραγωγίσιμη στο $x_0$, με $f^{\prime}(x_0)=g^{\prime}(x_0)$.

Αν $f,g$ είναι συναρτήσεις στο $\mathbb{R}$ με $g(2)=3$, $g^{\prime}(2)=0$ και \[|f(x)-5|\leq |g(x)-3|,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$, αποδείξτε ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $2$.

Έστω ότι $f,g$ είναι συναρτήσεις στο $\mathbb{R}$. Αν η $g$ είναι συνεχής στο $-2$ και για κάθε $x\in\mathbb{R}$, αποδείξτε ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $-2$.

Αν για συνεχή στο $0$ συνάρτηση $f$ ισχύει \[\left| |f(x)-1|-x^2\right|\leq 3x^2,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$, αποδείξτε ότι $f(0)=1$ και $f^{\prime}(0)=0$.

Έστω $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\alpha\lt \beta$. Θεωρούμε συνάρτηση $f$ ορισµένη στο διάστηµα $(\alpha,\beta)$ και παραγωγίσιµη στο σημείο $x_0\in(\alpha,\beta)$. Να προσδιορίσετε συναρτήσει των $x_0$, $f(x_0)$, $f^{\prime}(x_0)$ τα παρακάτω όρια:

1. $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{xf(x_0)-x_0 f(x)}{x-x_0}$
2. $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{xf(x)-x_0 f(x_0)}{x-x_0}$
3. $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{\sqrt{x}f(x)\!-\!\sqrt{x_0}f(x_0)}{x-x_0}$

Προσδιορίστε την παράγωγο της συνάρτησης $f$ στο σημείο $x_0$, όταν:

1. $f(x)=x^5$, $x_0=1$
2. $f(x)=\sqrt{x}$, $x_0=4$
3. $f(x)=\gcos x$, $x_0=\frac{\pi}{4}$
4. $f(x)=\ln x$, $x_0=e^2$
5. $f(x)=\gsin x$, $x_0=\frac{2\pi}{3}$
6. $f(x)=e^x$, $x_0=\ln 5$

Προσδιορίστε την παράγωγο της συνάρτησης $f$, όταν:

1. $f(x)=2x^4+3x^2-7$
2. $f(x)=x^5 + \ln x$
3. $f(x)=\dfrac{x^4}{2}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}$
4. $f(x)=2\sqrt{x}-x^3$
5. $f(x)=e^x+2x^3-3\ln x$
6. $f(x)=\ln x\sqrt{x}$
7. $f(x)=x^{2}e^x+x^{-4}\ln x$
8. $f(x)=x^3\ln x$
9. $f(x)=xe^x\ln x$
10. $f(x)=\gtan x-\gctan x$
11. $f(x)=x\gsin x+x^2\gcos x$
12. $f(x)=(\gsin x+\gcos x)e^x$
13. $f(x)=\dfrac{x^3-5x^2+x+2}{x^2+1}$
14. $f(x)=\dfrac{1+\ln x}{x^2}$
15. $f(x)=\dfrac{1+\gsin x}{1+\gcos x}$
16. $f(x)=\dfrac{x\gsin x}{e^x\ln x}$
17. $f(x)=\dfrac{xe^x}{x+2}$
18. $f(x)=\dfrac{x-e^{x}}{1+x\ln x}$

Προσδιορίστε, όπου ορίζεται, την παράγωγο της συνάρτησης $f$, με τύπο:

1. $f(x)=\begin{cases}x^2+3, &x\leq 1\\ 4\sqrt{x}, &x\gt 1\end{cases}$
2. $f(x)=\begin{cases}3x^2, &x\leq 0\\ -x^2, &x\gt 0\end{cases}$
3. $f(x)=\begin{cases}\sqrt{x}, &x\leq\frac{1}{4} \\ x, &x\gt \frac{1}{4} \end{cases}$
4. $f(x)=\begin{cases}x, & x\lt 1\\ \ln x, &x\geq 1 \end{cases}$
5. $f(x)=\begin{cases}\gcos x, & x\leq 0\\ \ln 3,& x\gt 0 \end{cases}$
6. $f(x)=\begin{cases}x^2, &x\leq 0 \\ e^x, &x\gt 0 \end{cases}$

Προσδιορίστε, όπου ορίζεται, την παράγωγο της συνάρτησης $f$, με τύπο:

1. $f(x)=\begin{cases}x^3, &x\lt 1 \\ \sqrt{x}, &x\geq 1 \end{cases}$
2. $f(x)=\begin{cases}x, &x\leq 0 \\ \gsin x, &x\gt 0 \end{cases}$
3. $f(x)=\begin{cases}3x^2-5 x+6, & x\leq 1\\ 2\sqrt{x^2+3}, & x\gt 1\end{cases}$
4. $f(x)=\begin{cases}x^3+2x-4, & x\lt 0\\ 3x-\gsin x-4, & x\geq 0\end{cases}$
5. $f(x)=\begin{cases}\dfrac{e(x^2+1)}{2}, & x\leq 1\\ e^x, & x\gt 1\end{cases}$
6. $f(x)=\begin{cases}2\ln x +x, & 0\lt x\leq 2\\ 3x-2, & x\gt 2\end{cases}$

Προσδιορίστε, όπου ορίζεται, την παράγωγο της συνάρτησης $f$, με τύπο:

1. $f(x)=5|x-4|+2x$
2. $f(x)=3x^2+|x-1|$

Προσδιορίστε τα $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$, όταν για τη συνάρτηση $f$ ισχύει:

1. $f(x)=\alpha e^x+\beta$, $f^{\prime}(1)=2$, $f^{\prime\prime}(1)=3$
2. $f(x)=\alpha x^2+\dfrac{\beta}{x}$, $f(1)=2$, $f^{\prime\prime}(1)=2$

Προσδιορίστε τις τιμές των $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ για τις οποίες η συνάρτηση με τύπο \[f(x)=\begin{cases}\gcos x, &x\lt \frac{\pi}{2} \\ \alpha x+\beta, &x\geq\frac{\pi}{2} \end{cases}\] είναι παραγωγίσιμη.

Προσδιορίστε, όπου ορίζεται, τη δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης $f$, με τύπο:

1. $f(x)=\begin{cases}x^5, &x\leq 1 \\ \sqrt{x},&x\gt 1 \end{cases}$
2. $f(x)=\begin{cases}x^4+5x, & x\geq 0\\ 5\gsin x, & x\lt 0\end{cases}$
3. $f(x)=\begin{cases}\gsin x, &x\leq 0 \\ x,&x\gt 0 \end{cases}$
4. $f(x)=\begin{cases}e^x, & x\geq 0\\ \gcos x, & x\lt 0\end{cases}$

Να υπολογίσετε τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to e}\dfrac{\ln x-1}{x-e}$
2. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{\gsin x}$
3. $\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{x^{10}-1}{x-1}$
4. $\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{\ln x}{\sqrt{x-1}}$

Αν $f,g$ είναι συναρτήσεις με $f(x)= \dfrac{2x^2+2}{x^2-1}$ και $g(x)=\dfrac{|x|+1}{|x|-1}+\dfrac{|x|-1}{|x|+1}$, να αποδείξετε ότι $f^{\prime}=g^{\prime}$.

Αν η συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$, προσδιορίστε την παράγωγο των συναρτήσεων $g,h$, όπου $g(x) =\dfrac{f(x)}{x^4+1}$ και $h(x)=\dfrac{3+x^2 f(x)}{\sqrt[3]{x}}$.

Αν η συνάρτηση $f$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, προσδιορίστε την τιμή $g^{\prime\prime}(1)$, όπου $g(x)=f(x)\ln x$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=e^{x}\gsin x$. Να αποδείξετε ότι \[f^{(3)}(x)+2f^{\prime}(x)=2f^{\prime\prime}(x),\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

Προσδιορίστε πολυώνυμο τρίτου βαθμού $P$ τέτοιο ώστε να ισχύει: \[ \begin{align} P(0)&=1,\\ P^{\prime}(1)&=7,\\ P^{\prime\prime}\left(\frac{1}{2}\right)&=2,\\ P^{\prime\prime\prime}(10)&=12. \end{align} \]

Να προσδιοριστεί πολυωνυμική συνάρτηση $Ρ$ τέτοια ώστε \[(e^x P(x))^{\prime}= e^x x(x+2),\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

Δίνεται πολυωνυμική συνάρτηση $P$ για την οποία ισχύει \[\left(P^{\prime}(x)\right)^2=P(x),\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$, και $P^{\prime}(1)=8$. Προσδιορίστε τον τύπο της συνάρτησης.

Προσδιορίστε την πολυωνυµική συνάρτηση $P$, µε $P(1) = 2$, για την οποία ισχύει \[x(P^\prime(x))^2=3(P(x)+1),\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

Αποδείξτε ότι μια πολυωνυμική συνάρτηση $P(x)$ διαθέτει ως παράγοντα το $(x-\rho)^2$ αν και μόνον αν $P(\rho)=P^{\prime}(\rho)=0$.

Προσδιορίστε την παράγωγο των συναρτήσεων με τύπο:

1. $\sqrt{5x^8+1}$
2. $\sqrt[3]{x^2+1}$
3. $\sqrt[4]{(x^2-4)^3}$
4. $\sqrt{\gsin x}$
5. $\sqrt[4]{\ln x}$
6. $\sqrt{\dfrac{x^2-1}{x^2+1}}$
7. $\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x +e^{-x}}$
8. $\ln{\dfrac{x+1}{x-1}}$
9. $\dfrac{1}{x^4+x^2+1}$
10. $(x^3+5x^2-1)^4$
11. $e^{x^2-3x}$
12. $\ln(x+e^x)$

Προσδιορίστε την παράγωγο των συναρτήσεων με τύπο:

1. $\gsin\sqrt{x}$
2. $\gsin^{3}x$
3. $\gtan x^2$
4. $\ln(\ln x)$
5. $\gcos(x^3 e^x)$
6. $e^{x^{2}}\ln(x^2+1)$
7. $(x^2+x)^x$
8. $(\ln x)^x$
9. $x^{\gsin^{2} x}$
10. $\gsin (x^x)$
11. $e^{x^x}$
12. $x^{\gsin x}$

Προσδιορίστε την παράγωγο των συναρτήσεων με τύπο:

1. $(5x^2-3)^5$
2. $\ln(x^2-4)$
3. $2\gcos^2 x$
4. $f(x)= \dfrac{1}{4}\gsin^3(3-4x)$
5. $\sqrt{2x^2-4x+5}$
6. $\dfrac{(3x-1)^3}{1-2x}$
7. $3x+\gcos 4x$
8. $\sqrt{\gcos x-\gsin x}$
9. $(((1+x)^2+x^2)^3+x^3)^4$
10. $\gcos(x+\gcos x)$
11. $\gtan(\gsin x)$
12. $\sqrt{\ln^2 x+1}+\ln^2(\sqrt{x}+1)$

Προσδιορίστε την παράγωγο των συναρτήσεων με τύπο:

1. $\gsin^2(x^3-\gcos x)$
2. $\gcos^{1000}x$
3. $\gcos(x^2+x^3)$
4. $\gcos(\gcos x)$
5. $\dfrac{\gcos(\gsin x)}{x}$
6. $\gcos\!\left(\dfrac{\gsin x}{x}\right)$
7. $2e^{-\frac{x}{4}}$
8. $\dfrac{1}{2^x}$
9. $x^3 3^x$
10. $\dfrac{3^x+3^{-x}}{3}$
11. $4^x-x^4$
12. $2^{2^x}$

Προσδιορίστε την παράγωγο των συναρτήσεων με τύπο:

1. $\ln(1+\ln(1+e^{1+x}))$
2. $(\ln x)^{\ln x}$
3. $\ln|\gcos x|$
4. $\ln\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2+3}}\right)$
5. $\dfrac{(\ln x)^{x}}{x^{\ln x}}$
6. $\ln\left(\sqrt[3]{x(1-\gcos 2x)}\right)$
7. $\left(1-\dfrac{1}{x}\right)2^x$
8. $x^2 \gsin 2^x$
9. $x^3-\sqrt[3]{x}$
10. $\sqrt[4]{x\gsin x}$
11. $(\gsin x)^{\gsin x}$
12. $\ln\left(\dfrac{e^x+1}{\gcos^2 x+1}\right)$

Για τις διάφορες τιμές των $\alpha,\beta, \gamma,\delta\in\mathbb{R}$ προσδιορίστε την παράγωγο της συνάρτησης $f$, όταν:

1. $f(x)= \alpha x^3+\beta x^2+\gamma x+\delta$
2. $f(x)= (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$
3. $f(x)=\dfrac{\alpha x+\beta}{\gamma x+\delta}$
4. $f(x)=\sqrt{\alpha x^2+\beta x+\gamma}$
5. $f(x)=\ln(\alpha+e^{\beta x+\gamma})$
6. $f(x)= \gsin(\alpha x^2+\beta x)\gcos(\gamma x+\delta)$

Προσδιορίστε τη δεύτερη παράγωγο των συναρτήσεων με τύπο:

1. $(5x+2)^3$
2. $\ln(e^x +1)$
3. $e^{x^3+2}$

Αν $f(x)=x^2$ και $g(x)=\gsin x$, $x\in\mathbb{R}$, προσδιορίστε τις συναρτήσεις:

1. $f^{\prime}(x)$
2. $g^{\prime}(x)$
3. $f^{\prime}(g(x))$
4. $g^{\prime}(f(x))$
5. $(f\circ g)^{\prime}(x)$
6. $(g\circ f)^{\prime}(x)$

Θεωρούμε τις συναρτήσεις $f,g$, για τις οποίες ορίζεται η $f\circ g$. Προσδιορίστε την παράγωγο στο $x_0=1$ της συνάρτησης $f\circ g$, αν \[g(1)=0,\ \ \ f^{\prime}(0)=0,\ \ \ g^{\prime} (1)=1.\]

Αν η συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0\in\mathbb{R}$ και για την συνάρτηση $F(x)=e^xf(x)$ ισχύει $F^{\prime}(x_0)=0$, να αποδείξετε ότι $f^{\prime} (x_0)+f(x_0)=0$.

Έστω $g$ παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ συνάρτηση και $f(x)=(x-3)^2 g(2x-1)$. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη και προσδιορίστε την τιμή $f^{\prime} (3)$.

'Εστω ότι οι συναρτήσεις $f,g$ είναι παραγωγίσιμες στο $x_0\in\mathbb{R}$ με $f^{\prime} (x_0)\neq 0$. Αν για την συνάρτηση $G(x)=\dfrac{g(x)}{e^{f(x)}}$ ισχύει $G^{\prime} (x_0)=0$, αποδείξτε ότι $\dfrac{g^{\prime} (x_0)}{f^{\prime} (x_0)} =g(x_0)$.

Δίνεται συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$. Να δείξετε ότι:

1. Αν η $f$ είναι άρτια, τότε η $f^{\prime}$ είναι περιττή.
2. Αν η $f$ είναι περιττή, τότε η $f^{\prime}$ είναι άρτια.

Να προσδιορίσετε την παράγωγο της συνάρτησης $f(x)=e^{e^{e^{x}}}$.

Έστω οι συναρτήσεις $f(x)=e^{x^2}$ και $g(x)=e^x\sqrt{1-2x}$. Αποδείξτε ότι \[(f(x)\cdot g(x))^{\prime}=f^{\prime}(x)g^{\prime}(x),\] για κάθε $x\lt \dfrac{1}{2}$.

Έστω $f,g$ συναρτήσεις, δύο φορές παραγωγίσιμες σε κατάλληλα πεδία ορισμού. Αποδείξτε ότι \[(f\circ g)^{\prime\prime}=(f^{\prime\prime}\circ g)\cdot (g^{\prime})^2+(f^{\prime}\circ g)\cdot g^{\prime\prime}.\]

Η περιττή συνάρτηση $f$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$. Θεωρούμε τη συνάρτηση $g(x)=e^{f(x)-k}$. Αποδείξτε ότι:

1. $f(0)=f^{\prime\prime}(0)=0$
2. $g(0)g^{\prime\prime}(0)=(g^{\prime} (0))^2$

Για τη συνάρτηση $f$ με $f(x)=3\gcos 5x-7\gsin 5x$, αποδείξτε ότι \[f^{\prime\prime}(x)+25f(x)=0,\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

Για τη συνάρτηση $f$ με $f(x)=\dfrac{1}{2}\ln^2 x+\ln x+1$, αποδείξτε ότι \[f^{\prime}(x)x+f^{\prime\prime}(x)x^2=1,\] για κάθε $x\gt 0$.

Έστω $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ άρτια και παραγωγίσιμη συνάρτηση. Θεωρούμε τη συνάρτηση \[g(x)=(x^5 +\gcos x)e^{f(x)}+\gsin x+x.\]

1. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση $g$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$.
2. Υπολογίστε την τιμή $g^{\prime}(0)$.

Έστω $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ παραγωγίσιμη συνάρτηση και $g(x)=f(x)-f(2x)$. Υποθέτουμε ότι $g^{\prime}(1)=5$ και $g^{\prime\prime}(1)=7$. Προσδιορίστε την παράγωγο της συνάρτησης $h(x)=g(x)+g(2x)$ στο σημείο $x_0=1$.

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει για κάθε $x,y\in (0,+\infty)$. Αποδείξτε ότι \[xf^{\prime}(x)-yf^{\prime}(y)=2(x^2 -y^2)\] για κάθε $x,y\in (0,+\infty)$.

∆ίνονται οι παραγωγίσιµες στο $\mathbb{R}$ συναρτήσεις $f,g$, µε $g(0)=g^{\prime} (0) = 1$ και \[(f (x))^3 -(g(x))^2+x=0,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Αποδείξτε ότι $f^\prime(0)=\dfrac{1}{3}$.

Προσδιορίστε την εξίσωση της εφαπτομένης της $C_f$ στο σημείο $\textnormal{M}$, όταν:

1. $f(x)=x^2-4x$, $\textnormal{M}\left(3,f(3)\right)$
2. $f(x)=x^3-1$, $\textnormal{M}\left(0,f(0)\right)$
3. $f(x)=x+e^x$, $\textnormal{M}\left(1,f(1)\right)$
4. $f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}$, $\textnormal{M}\left(2,f(2)\right)$
5. $f(x)=x^2+\ln x$, $\textnormal{M}\left(1,f(1)\right)$
6. $f(x)=\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}$, $\textnormal{M}\left(1,f(1)\right)$
7. $f(x)=x^3$, $\textnormal{M}\left(1,f(1)\right)$
8. $f(x)=\dfrac{3}{x}$, $\textnormal{M}\left(1,f(1)\right)$
9. $f(x)=\gsin ^2 x$, $\textnormal{M}\left(0,f(0)\right)$
10. $f(x)=\gsin x+\gcos x$, $\textnormal{M}\left(\frac{\pi}{4},f(\frac{\pi}{4})\right)$
11. $f(x)=\sqrt{x+3}$, $\textnormal{M}\left(1,f(1)\right)$
12. $f(x)=\ln^3 x$, $\textnormal{M}\left(1,f(1)\right)$

Προσδιορίστε την εξίσωση της εφαπτομένης της $C_f$ στο σημείο $\textnormal{M}$, όταν:

1. $f(x)=\begin{cases}x^2+2x, & x\leq 1\\ 2x^2+1, & x\gt 1\end{cases}~$, $\textnormal{M}\left(1,f(1)\right)$
2. $f(x)=\begin{cases}x^2+2, & x\leq 1\\ 3x, & x\gt 1\end{cases}~$, $\textnormal{M}\left(1,f(1)\right)$
3. $f(x)=\begin{cases}3x^2-x+3 , & x\lt 1\\ 5x, & x\geq 1\end{cases}~$, $\textnormal{M}\left(1,f(1)\right)$

Προσδιορίστε την εξίσωση της εφαπτομένης της $C_f$ που διέρχεται από το σημείο $\mathrm{M}$, όταν:

1. $f(x)=x^2$, $\textnormal{M}\left(-1,-1\right)$
2. $f(x)=x^2-6x+11$, $\textnormal{M}\left(3,4\right)$
3. $f(x)=\dfrac{2}{x}$, $\textnormal{M}\left(1,1\right)$
4. $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$, $\textnormal{M}\left(1,1\right)$
5. $f(x)=x+\sqrt{x}$, $\textnormal{M}\left(1,2\right)$
6. $f(x)=x+\dfrac{7-2x}{3-x}$, $\textnormal{M}\left(1,0\right)$

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x^2-3x+1$. Προσδιορίστε αν υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της $f$ στα οποία η εφαπτομένη:

1. Να είναι παράλληλη στην ευθεία $y=x$.
2. Να σχηματίζει γωνία $135^{\circ}$ με τον άξονα $x^{\prime}x$.
3. Να είναι παράλληλη στον άξονα $x^{\prime}x$.
4. Να είναι κάθετη στην ευθεία $y=\dfrac{1}{2}x$.

Έστω η συνάρτηση $f(x)=3x^2-\alpha x+\beta$ και $\varepsilon$ η εφαπτομένη της $C_f$ στο σημείο επαφής $\textnormal{Α}(1,4)$. Να προσδιοριστούν οι $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις:

1. Η κλίση της $\varepsilon$ είναι ίση με $-2$.
2. Η $\varepsilon$ διέρχεται από από το σημείο $\textnormal{B}(3,5)$.
3. Η $\varepsilon$ σχηματίζει με τον $x^\prime x$ γωνία $\omega=\dfrac{\pi}{3}$.
4. Η $\varepsilon$ είναι παράλληλη προς την ευθεία με εξίσωση $4x+2y=1$.

Προσδιορίστε την εξίσωση της εφαπτομένης της $C_f$ η οποία σχηματίζει με τον άξονα $x^{\prime}x$ γωνία $\omega$ όταν:

1. $f(x)= 2\sqrt{x-1}$, $\omega =\dfrac{\pi}{6}$
2. $f(x)=\sqrt{9-x^2}$, $\omega =\dfrac{2\pi}{3}$

Για τη συνάρτηση $f(x)= x^3-4x$ Προσδιορίστε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της $C_f$ στα σημεία τομής της με τον άξονα $x^{\prime}x$.

Έστω οι συναρτήσεις $f(x)= x^2-2$ και $g(x)= -\sqrt{x}$.

1. Να προσδιορίσετε το κοινό σημείο $\textnormal{M}$ των $C_f, C_g$.
2. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτομένες των $C_f, C_g$ στο κοινό σημείο $\textnormal{M}$ είναι κάθετες.

Θεωρούµε τη συνάρτηση $f(x)=x^2-4x$. Προσδιορίστε την εξίσωση της εφαπτοµένης της $C_f$ που σχηματίζει µε τους άξονες $x^{\prime}x$, $y^{\prime}y$ ισοσκελές τρίγωνο.

∆ίνεται η συνάρτηση $f(x)=x^2-4x+5$ και η ευθεία $\varepsilon$ µε εξίσωση $y=-2x+4$. Αποδείξτε ότι η $\varepsilon$ εφάπτεται στη γραφική παράσταση της $f$.

∆ίνεται η συνάρτηση $f(x)=e^x$ και η ευθεία $\varepsilon$ µε εξίσωση $y=x+1$. Αποδείξτε ότι η $\varepsilon$ εφάπτεται στη γραφική παράσταση της $f$.

∆ίνεται η συνάρτηση $f(x)=e^x+5$ και η ευθεία $\varepsilon$ µε εξίσωση $y=\lambda x + 5$, όπου $\lambda\in\mathbb{R}$. Προσδιορίστε το $\lambda$ ώστε η $\varepsilon$ να εφάπτεται στη γραφική παράσταση της $f$. Προσδιορίστε το σηµείο επαφής.

Θεωρούµε τη συνάρτηση $f(x)=x^3+2$.

1. Προσδιορίστε την εξίσωση της εφαπτοµένης της $C_f$ στο σηµείο της $\mathrm{A}(1, f(1))$.
2. Eξετάστε αν η εφαπτόµενη στο $\mathrm{A}$ διαθέτει και άλλο κοινό σηµείο µε τη $C_f$.

Έστω η συνάρτηση $f(x) =\dfrac{\kappa}{4+x^2}$. Προσδιορίστε την τιμή του $\kappa\in\mathbb{R}$ για την οποία η εφαπτομένη της $C_f$ στο σημείο της με τετμημένη $-1$ είναι κάθετη στην ευθεία $\varepsilon$ εξίσωση $y=-5x+2$.

∆ίνονται οι συναρτήσεις $f(x)=x^2-x$ και $g(x)=e^x-2$.

1. Αποδείξτε ότι η εξίσωση της εφαπτοµένης $\varepsilon$ της $C_f$ στο $x_0=1$ είναι η $y=x-1$.
2. Αποδείξτε ότι η ευθεία $\varepsilon$ εφάπτεται στη $C_g$. Προσδιορίστε το σηµείο επαφής.

Θεωρούµε τις συναρτήσεις $f(x)=x^2+1$ και $g(x)=-2x^2-2$.

1. Αποδείξτε ότι οι $C_f$ και $C_g$ δεν διαθέτουν κοινό σηµείο.
2. Προσδιορίστε τις εξισώσεις των κοινών εφαπτοµένων των $C_f$ και $C_g$.

Θεωρούµε τις συναρτήσεις $f(x)=\dfrac{1}{x}$ και $g(x)=-x^2$. Προσδιορίστε την εξίσωση της κοινής εφαπτοµένης των γραφικών παραστάσεων των $f$ και $g$.

Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x)= \alpha x^2-\beta x+9$ και $g(x)= \dfrac{1}{x-1}$. Προσδιορίστε τους $\alpha, \beta\in\mathbb{R}$ ώστε οι $C_f$ και $C_g$ να διαθέτουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό σημείο με τετμημένη $2$.

Προσδιορίστε τον $\alpha\in\mathbb{R}$ για τον οποίο οι εφαπτομένες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων $f(x)=x^2-2x+\alpha$, $g(x)=\ln(x-1)$, οι οποίες διέρχονται από το σημείο $\textnormal{Α}(1,0)$, να είναι κάθετες.

Προσδιορίστε τους $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης \[f(x)=\dfrac{2x^2-2\alpha x-\beta}{x^2-3x-2}\] να διέρχεται από την αρχή των αξόνων $\textnormal{O}(0,0)$ και η εφαπτομένη της στο σημείο $\textnormal{M}(1,f(1))$ να είναι κάθετη στην ευθεία με εξίσωση $3x+3y-4=0$.

Θεωρούµε τις συναρτήσεις $f(x)=\alpha x^2+\beta$ και $g(x)=e^x$. Οι γραφικές παραστάσεις των $f$ και $g$ διαθέτουν κοινή εφαπτόµενη στο κοινό σηµείο τους µε τετµηµένη $x_0 = 1$. Προσδιορίστε τους $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ και την εξίσωση της κοινής εφαπτοµένης.

Έστω η συνάρτηση \[f(x)=\begin{cases}\alpha x^2-\beta, & x\leq 1\\[1ex] \dfrac{\gamma}{x}, & x\gt 1\end{cases}~.\] Να προσδιορίσετε τις τιμές $\alpha, \beta, \gamma\in\mathbb{R}$ για τις οποίες η $C_f$ διαθέτει στο σημείο $\textnormal{Α}(1,f(1))$ εφαπτομένη κάθετη στην ευθεία $\varepsilon$ με εξίσωση $x-2y-3=0$.

Προσδιορίστε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f(x)= \dfrac{4x^2}{2x+1}$ στα σημεία $\textnormal{M}(x_0,f(x_0))$ όπου ισχύει $f^{\prime}(x_0)=2f(x_0)$.

Δίνεται ότι η συνάρτηση f, συνεχής στο $x_0=5$, με \[\lim\limits_{u\to 1}\dfrac{f(5u)}{1-u} = 11.\tag{$\ast$}\]

1. Προσδιορίστε την εφαπτομένη $\varepsilon$ της $C_f$ στο σημείο $\textnormal{Α}(5,f(5))$.
2. Αποδείξτε ότι η $\varepsilon$ διέρχεται από το σημείο $\textnormal{B}(0,11)$.
3. Υπολογίστε το εμβαδό του τριγώνου που σχηματίζει η ευθεία με τους άξονες $x^{\prime}x$, $y^{\prime}y$.

Έστω συναρτήσεις \[ \begin{align} f(x) &= e^x+1,\\ g(x) &= \dfrac{e^x+1}{e^x},\\ h(x) &= \dfrac{(e^x+1)^2}{2 e^x}. \end{align} \] Αν $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ οι εφαπτομένες των $C_f$, $C_g$, $C_h$ στα σημεία $\textnormal{Α}(\alpha, f(\alpha)), \textnormal{Β}(\alpha,g (\alpha)), \Gamma(\alpha, h(\alpha))$ αντιστοίχως, αποδείξτε ότι οι $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ διέρχονται από το ίδιο σημείο, για κάθε $\alpha \in\mathbb{R}$.

Έστω οι συναρτήσεις \[ \begin{align} f(x) &= \ln(1+2x),\\ g(x) &= 2x-2x^2,\\ h(x) &= 2x-2x^2+\dfrac{8x^3}{3}. \end{align} \] Αποδείξτε ότι οι $C_f$, $C_g$, $C_h$ διαθέτουν κοινή εφαπτομένη στο μοναδικό κοινό τους σημείο.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)= x^2+4x$. Προσδιορίστε την εξίσωση:

1. της εφαπτομένης $\varepsilon$ της $C_f$ στο σημείο της με τετμημένη $-3$,
2. της εφαπτομένης $\varepsilon^{\prime}$ της $C_f$ που είναι κάθετη στην $\varepsilon$.

Προσδιορίστε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f(x)=x^2$ που διέρχονται από το σημείο $\textnormal{A}\left(\frac{1}{2},-2\right)$.

Έστω η συνάρτηση $f(x)=\alpha x^2$, όπου $\alpha\in\mathbb{R}$, και $x_0\neq 0$.

1. Αποδείξτε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία $\textnormal{Α} (x_0,f(x_0))$ , $\textnormal{B} (0,-f(x_0))$ εφάπτεται της $C_f$ στο σημείο $\textnormal{Α}$.
2. Αποδείξτε ότι το εμβαδό $\textnormal{E}$ του τριγώνου που σχηματίζει η εφαπτομένη της $C_f$ στο $\textnormal{Α}$ με τους άξονες δίνεται από τη σχέση $\textnormal{E}=\dfrac{|x_0 f(x_0)|}{4}$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{4}{x}$, όπου $x\neq 0$.

1. Προσδιορίστε την εξίσωση της εφαπτομένης της $C_f$ στο σημείο $\textnormal{M}(x_0,f(x_0))$ με $x_0\neq 0$.
2. Αποδείξτε ότι το τρίγωνο το οποίο σχηματίζει η προηγούμενη εφαπτομένη με τους άξονες έχει σταθερό εμβαδό.
3. Αν A και B είναι τα σημεία που η εφαπτομένη στο Μ τέμνει τους άξονες, αποδείξτε ότι το M είναι το μέσο του τμήματος AB.

Προσδιορίστε, αν υπάρχουν, τις εξισώσεις των εφαπτομένων της $C_f$ που διέρχονται από το σημείο $\mathrm{A}$ όταν:

1. $f(x)= \dfrac{x}{x+2}$, $\textnormal{A}(0,1)$
2. $f(x)=x+x^3$, $\textnormal{A}(2,2)$

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x^2-4x+3$.

1. Να προσδιοριστεί η εξίσωση της εφαπτομένης της $C_f$ που είναι κάθετη στην ευθεία με εξίσωση $y=-\dfrac{1}{2}x+7$.
2. Να προσδιοριστούν τα σημεία επαφής των εφαπτόμενων της $C_f$ που διέρχονται από το $\textnormal{O}(0,0)$.
3. Υπάρχουν εφαπτόμενες που διέρχονται από σημείο $\textnormal{A}(2,0)$;

Έστω πολυωνυμική συνάρτηση $P$ και $x_0\in\mathbb{R}$. Θεωρούμε το υπόλοιπο $\upsilon(x)$ της διαίρεσης του $P(x)$ δια $(x-x_0)^2$. Αποδείξτε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της $C_P$ στο $x_0$ είναι η $y=\upsilon(x)$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)= \dfrac{3}{5}\sqrt{25-x^2}$. Έστω ότι η εφαπτομένη $\varepsilon$ της $C_f$ στο σημείο $\textnormal{Α}(\alpha,f(\alpha))$ με $-5\lt \alpha\lt 5$ τέμνει τους άξονες $x^{\prime}x$ και $y^{\prime}y$ στα σημεία $\textnormal{K}$ και $\Lambda$ αντιστοίχως. Έστω επίσης $\textnormal{M},\textnormal{N}$ οι προβολές του $\textnormal{Α}$ στους άξονες $x^{\prime}x,y^{\prime}y$ αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι:

1. $(\textnormal{OM})\cdot(\textnormal{OK})=25$,
2. $(\textnormal{ON})\cdot(\textnormal{O}\Lambda)=9$.

Έστω $f(x) =\alpha x^3+\beta x^2+\gamma x+\delta$. Προσδιορίστε τις τιμές των $\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R}$ για τις οποίες οι εφαπτομένες της $C_f$ στα σημεία της $\textnormal{O}(0,0)$ και $\textnormal{Α}(-1,1)$ είναι παράλληλες στον άξονα $x^{\prime}x$.

Έστω παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ συνάρτηση $f$ με $f^{\prime}(0)=-1$, για την οποία υπάρχει $\alpha\in\mathbb{R}$ ώστε \[f(\alpha+x)+x=f(\alpha-x)-x,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Αποδείξτε ότι η εφαπτομένες της $C_f$ στα σημεία $\textnormal{Α} (\alpha, f(\alpha))$ και $\textnormal{B} (2\alpha, f(2\alpha))$ είναι κάθετες στην ευθεία με εξίσωση $y=x$.

Έστω παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ συνάρτηση $f$, για την οποία υπάρχει $\kappa\in\mathbb{R}$ ώστε \[f(\kappa -x)=f(\kappa +x),\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Αποδείξτε ότι για κάθε $\alpha\in\mathbb{R}$ οι εφαπτομένες της $C_f$ στα σημεία της με τετμημένες $\kappa -\alpha,\kappa+\alpha$ τέμνονται επί της ευθείας με εξίσωση $x=\kappa$.

Δίνεται η παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ συνάρτηση $g$. Η εφαπτομένη της $C_g$ στο σημείο της $\textnormal{A}(-1,g(-1))$ είναι η ευθεία $\varepsilon: y=3x+1$. Αν $f(x)= g\left(e^{x-2}-2\gcos\pi x\right)$, προσδιορίστε την εξίσωση της εφαπτομένης της $C_f$ στο σημείο της $\textnormal{Α}(2,f(2))$.

Έστω η συνάρτηση $f(x)= x-4\sqrt{x}+4$. Αν η εφαπτομένη $\varepsilon$ της $C_f$ στο σημείο $\textnormal{M}(x_0,f(x_0))$ με $0\lt x_0\lt 4$ τέμνει τους άξονες $x^{\prime}x$, $y^{\prime}y$ στα σημεία $\textnormal{A}$ και $\textnormal{B}$ αντιστοίχως, αποδείξτε ότι το άθροισμα $\textnormal{OA}+\textnormal{OB}$ είναι σταθερό, όπου $\textnormal{O}$ η αρχή των αξόνων.

Δίνεται η συνάρτηση $f$ με τύπο $f(x)=x^3+\alpha x^2+\beta x+3$ με $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$. Η ευθεία $y=10x-9$ εφάπτεται στη $C_f$ στο σημείο $\textnormal{M}(2,f(2))$.

1. Προσδιορίστε τις τιμές των $\alpha,\beta$.
2. Αποδείξτε ότι η ευθεία $y=3x+2$ εφάπτεται στη $C_f$.

Έστω η συνάρτηση $f(x)=\sqrt{x}$ και $\textnormal{Α}\left(4\alpha,2\sqrt{\alpha}\right)$, $\alpha\gt 0$, σημείο της $C_f$. Να αποδειχθεί ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία $\textnormal{Α}$ και $\textnormal{Β}\left(-8\alpha,-\sqrt{\alpha}\right)$ εφάπτεται της $C_f$ στο σημείο $\textnormal{Α}$.

Έστω η συνάρτηση $f(x)=\alpha^x$, όπου $\alpha\gt 0, \alpha\neq 1$. Αν η εφαπτομένη $\varepsilon$ της $C_f$ στο σημείο $\textnormal{M}(x_0,f(x_0))$ τέμνει τον άξονα $x^{\prime}x$ στο σημείο $\textnormal{Α}$ και $\textnormal{M}^{\prime}$ η προβολή του $\textnormal{M}$ στον $x^{\prime}x$, αποδείξτε ότι το ευθύγραμμο τμήμα $\textnormal{AM}^{\prime}$ έχει μήκος ανεξάρτητο του $x_0$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)= x^2$ και το σημείο $\textnormal{Α}(x_0,y_0)$ της $C_f$. Να αποδείξετε ότι η ευθεία $\varepsilon$ που διέρχεται από το $\textnormal{Α}$ καθώς και από το σημείο $\textnormal{B}(0, -y_0)$ εφάπτεται της $C_f$ στο σημείο Α.

Για τις συναρτήσεις $f(x)=\gsin 3x-x^3$ και $g(x)= \dfrac{x^3}{3}-2x^2+7x$, προσδιορίστε τις εξισώσεις των εφαπτομένων των $C_f$, $C_g$ οι οποίες είναι παράλληλες μεταξύ τους.

Έστω οι συναρτήσεις $f(x)=\kappa e^{x+\lambda}$ και $g(x)=\dfrac{e^{-x-\lambda}}{\kappa}$, όπου $\kappa,\lambda\in\mathbb{R}$ με $\lambda\neq 0$. Αποδείξτε ότι στα σημεία των $C_f$, $C_g$ με ίδιες τετμημένες, οι εφαπτομένες τους είναι κάθετες.

Αν $f(x)= x^2$, προσδιορίστε την εφαπτομένη της $C_f$ που απέχει από το σημείο $\textnormal{Α}(0,-1)$ απόσταση $d=1$.

Αν $f(x)= \dfrac{1}{4}x^2-1$, προσδιορίστε την εξίσωση της εφαπτομένης της $C_f$ που απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση $d$, στις περιπτώσεις $d=1$ και $d=\sqrt{2}$.

Έστω $f(x)= x^2-3x+1$. Προσδιορίστε το σημείο στο οποίο η εφαπτομένη της $C_f$ έχει εξίσωση $y=-x$.

Έστω $f(x)= x^5+x+2$ και $g(x)=\gcos x$. Προσδιορίστε την εξίσωση της εφαπτομένης της $C_f$ για την οποία υπάρχει παράλληλη προς αυτή εφαπτομένη της $C_g$.

Έστω $f(x)= \dfrac{x^2-x-1}{x-1}$ και $g(x)= x^2-2x+1$. Αποδείξτε ότι οι $C_f , C_g$ διαθέτουν ακριβώς δύο κοινά σημεία, σε ένα εκ των οποίων διαθέτουν κοινή εφαπτομένη.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x^3-3x^2+8$.

1. Προσδιορίστε την εξίσωση της εφαπτομένης της $C_f$ στο σημείο της $\textnormal{Α}(\alpha, f(\alpha))$.
2. Για ποια τιμή του $\alpha$ η παραπάνω εφαπτομένη διαθέτει με την $C_f$ ακριβώς ένα κοινό σημείο;

Αποδείξτε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$ στο σημείο της $\textnormal{A}$ εφάπτεται και στη γραφική παράσταση της συνάρτησης $g$, όταν:

1. $f(x)=x^3$, $g(x)=2x^2+7x$, $\textnormal{A}(1,f(1))$.
2. $f(x)= x^2-2x+2$, $g(x)= x^2+4x-1$, $\textnormal{Α}(2,f(2))$.

Προσδιορίστε τις κοινές εφαπτομένες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων $f,g$ με $f(x)=x^2-3x$ και $g(x)=x^2+x$.

Έστω οι συναρτήσεις $f(x)=\dfrac{1}{2}(e^x+e^{-x})^2$ και $g(x)=4\gcos^2\dfrac{x}{2}-x^2-2$.

1. Προσδιορίστε την εξίσωση της εφαπτομένης $\varepsilon$ της $C_f$ στο σημείο $\textnormal{Α}(0,f(0))$.
2. Αποδείξτε ότι η ευθεία $\varepsilon$ εφάπτεται και στην $C_g$.
3. Για $x\neq 0$, αποδείξτε ότι οι $C_f$, $C_g$ βρίσκονται εκατέρωθεν της $\varepsilon$.
4. Αποδείξτε ότι οι $C_f$ και $C_g$ διαθέτουν μοναδικό κοινό σημείο.

Η θέση $x(t)$ ενός υλικού σημείου, σε $\mathrm{cm}$, που κινείται πάνω σε έναν άξονα, δίνεται από τη σχέση \[x(t)=2t^3 -12t^2+18t-5,\tag{$\ast$}\] όπου $t\in[0,4]$ ο χρόνος σε $\mathrm{s}$.

1. Προσδιορίστε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του σημείου τη χρονική στιγμή $t=2\,\mathrm{s}$.
2. Προσδιορίστε τις χρονικές στιγμές όπου το σημείο είναι στιγμιαία ακίνητο.
3. Προσδιορίστε τα χρονικά διαστήματα στα οποία το σημείο κινείται προς τη θετική κατεύθυνση και σε ποια προς την αρνητική κατεύθυνση.
4. Προσδιορίστε το ολικό διάστημα που διήνυσε το σημείο κατά τα $4\,\mathrm{s}$ της κίνησής του.

Η θέση $x(t)$ ενός υλικού σημείου, σε $\mathrm{cm}$, που κινείται πάνω σε έναν άξονα, δίνεται από τη σχέση \[x(t)=3t^2-6t+1,\tag{$\ast$}\] όπου $t\geq 0$ ο χρόνος σε $\mathrm{s}$.

1. Προσδιορίστε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του υλικού σημείου.
2. Προσδιορίστε το πρόσηµο της ταχύτητας του υλικού σημείου για κάθε $t\geq 0$.
3. Προσδιορίστε το ολικό διάστημα που διήνυσε το σημείο κατά τα πρώτα $3\,\mathrm{s}$ της κίνησης.

Η θέση $x(t)$ ενός υλικού σημείου, σε $\mathrm{cm}$, που κινείται πάνω σε έναν άξονα, δίνεται από τη σχέση \[x(t)=2t^3-15t^2+24t+2,\tag{$\ast$}\] όπου $t\geq 0$ ο χρόνος σε $\mathrm{s}$.

1. Προσδιορίστε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του υλικού σημείου.
2. Προσδιορίστε το πρόσηµο της ταχύτητας του υλικού σημείου για κάθε $t\geq 0$.
3. Προσδιορίστε το ολικό διάστημα που διήνυσε το σημείο κατά τα πρώτα $3\,\mathrm{s}$ της κίνησης.

Σύμφωνα με την ειδική θεωρία της σχετικότητας, το μήκος $l$ ράβδου που κινείται με ταχύτητα $v$ ως προς αδρανειακό παρατηρητή δίνεται από τον τύπο $l=l_0\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}$, όπου $l_0$ σταθερά και $c$ η ταχύτητα του φωτός. Προσδιορίστε τον ρυθμό μεταβολής του μήκους της ράβδου ως προς την ταχύτητα.

Ένας κυκλικός τομέας έχει εμβαδό $25\,\mathrm{cm}^2$. Αν $g(r)$ είναι η περίμετρος σε συνάρτηση με την ακτίνα $r$, προσδιορίστε τον ρυθμό μεταβολής ως προς την ακτίνα.

Οι κάθετες πλευρές $\textnormal{AB},\textnormal{A}\Gamma$ ενός ορθογωνίου τριγώνου $\textnormal{AB}\Gamma$ (με $\textnormal{A} =90^{\circ}$) μεταβάλλονται ούτως ώστε $(\textnormal{AB}\Gamma)=24\,\mathrm{cm}^2$. Να προσδιοριστεί ο ρυθμός μεταβολής του τετραγώνου της υποτείνουσας ως προς την πλευρά $\textnormal{AB}$.

Δίνεται η συνεχής και παραγωγίσιμη συνάρτηση $f$, για την οποία ισχύει \[f(e^x \gsin x)=2e^x\tag{$\ast$},\] για κάθε $x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$.

1. Να δείξετε ότι $f^{\prime}(0)=2$.
2. Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της $C_f$ στο $\textnormal{A}(0,f(0))$ είναι η $y=2x+2$.
3. Αν ένα σημείο κινείται πάνω στην προηγούμενη ευθεία και η τετμημένη του αυξάνεται με ρυθμό $2\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$, προσδιορίστε το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του σημείου.

Προσδιορίστε το ρυθμό με τον οποίο μεταβάλλεται το εμβαδό του τριγώνου με κορυφές τα σημεία $\textnormal{A}(1,0)$, $\textnormal{B}(x,\ln x)$ και $\Gamma(x,0)$, $x\gt 1$, τη χρονική στιγμή $t_0$ κατά την οποία $x=2\,\mathrm{cm}$. Δίνεται ότι ο ρυθμός μεταβολής του $x$ ως συνάρτηση του χρόνου είναι σταθερός και ίσος με $0,5\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$.

Το εμβαδό ενός τετραγώνου αυξάνεται με ρυθμό $24\,\mathrm{cm}^2/\mathrm{s}$ τη χρονική στιγμή που η πλευρά του ισούται με $4\,\mathrm{cm}$. Σε αυτήν τη χρονική στιγμή, προσδιορίστε το ρυθμό μεταβολής της διαγωνίου του τετραγώνου.

∆ίνεται η ορθή γωνία $\widehat{x\mathrm{O}y}$ και το ευθύγραµµο τµήµα $\mathrm{AB}$, µήκους $10\,\mathrm{m}$, του οποίου τα άκρα $\mathrm{A}$ και $\mathrm{B}$ ολισθαίνουν πάνω στις πλευρές $\mathrm{O}y$ και $\mathrm{O}x$ αντιστοίχως. Το σηµείο $\mathrm{B}$ κινείται µε σταθερή ταχύτητα $v =2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ και η θέση του πάνω στην $\mathrm{O}x$ δίνεται από τη συνάρτηση $s(t)=vt$, $t\in[0, 5]$, όπου $t$ ο χρόνος σε $\mathrm{s}$.

1. Να προσδιοριστεί το εµβαδόν $\mathrm{E}(t)$ του τριγώνου $\mathrm{AOB}$ ως συνάρτηση του χρόνου.
2. Ποιος είναι ο ρυθµός µεταβολής του εµβαδού $\mathrm{E}(t)$ τη στιγµή κατά την οποία το µήκος του τµήµατος $\mathrm{OA}$ είναι $6\,\mathrm{m}$;

Θεωρούµε το ορθογώνιο τρίγωνο $\mathrm{OAB}$, όπου $\mathrm{O}(0,0)$, $\mathrm{A}(4, 0)$ και $\mathrm{B}(0, 3)$. Έστω $\mathrm{M}(x, 0)$ εσωτερικό σηµείο του τµήµατος $\mathrm{OA}$ µε $x = x(t) = 2t$ (το $x$ σε $\mathrm{cm}$ και το $t$ σε $\mathrm{s}$). Η κάθετη από το $\mathrm{M}$ στον άξονα $x^\prime x$ τέµνει το τµήµα $\mathrm{AB}$ στο $\mathrm{N}$.

1. Προσδιορίστε το εµβαδό $\mathrm{E}(t)$ του τραπεζίου $\mathrm{OMNB}$ ως συνάρτηση του χρόνου.
2. Ποιος είναι ο ρυθµός µεταβολής του εµβαδού $\mathrm{E}(t)$ τη στιγµή κατά την οποία το µήκος του τµήµατος $\mathrm{OM}$ είναι $2\,\mathrm{cm}$;

To βάρος ενός κουνελιού $x$ εβδομάδες μετά την γέννησή του δίνεται από την σχέση $f(x)= 20+(x+1)^2$, με $x\lt 8$. Προσδιορίστε τον ρυθμό αύξησης του βάρους του έπειτα από 2 εβδομάδες.

Ο όγκος μιας σφαίρας αυξάνεται με ρυθμό $10\,\mathrm{m}^3/\mathrm{s}$.

1. Προσδιορίστε τον ρυθμό αύξησης της επιφάνειας της σφαίρας τη χρονική στιγμή που η ακτίνα της είναι $r=5\,\mathrm{m}$.
2. Ποια είναι η ακτίνα της σφαίρας τη χρονική στιγμή που η επιφάνεια της αυξάνεται με ρυθμό $2\,\mathrm{m}^2/\mathrm{s}$;

Ένα σφαιρικό αντικείμενο αυξάνεται σε μέγεθος διατηρώντας το σφαιρικό του σχήμα. Όταν η ακτίνα του ισούται με $3\,\mathrm{cm}$, ο ρυθμός μεταβολής της είναι $2\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$.

1. Προσδιορίστε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του.
2. Προσδιορίστε τον ρυθμό μεταβολής του όγκου του.

Ο ρυθμός μεταβολής του όγκου σφαιρικού μπαλονιού το οποίο χάνει αέρα, ως προς τον χρόνο, είναι $100\,\mathrm{cm}^3/\mathrm{s}$. Προσδιορίστε τον ρυθμό μεταβολής της ακτίνας $R(t)$ του μπαλονιού ως προς τον χρόνο, την χρονική στιγμή $t_0$ για την οποία είναι $R(t_0)=10\,\mathrm{cm}$.

Το μήκος ενός ορθογωνίου μειώνεται με ρυθμό $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ και το πλάτος του αυξάνεται με ρυθμό $2\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$. Κάποια χρονική στιγμή $t_0$, το μήκος ισούται με $8\mathrm{cm}$ και το πλάτος ισούται με $6\,\mathrm{cm}$. Τη χρονική στιγμή αυτή προσδιορίστε:

1. Τον ρυθμό μεταβολής της περιμέτρου του ορθογωνίου.
2. Τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου.
3. Τον ρυθμό μεταβολής της διαγωνίου του ορθογωνίου.

Μια πισίνα έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου και ο πυθμένας της έχει πλάτος $25\,\mathrm{m}$ και και μήκος $40\,\mathrm{m}$. Η πισίνα γεμίζει με νερό, με ρυθμό $500\,\mathrm{m}^3/\mathrm{min}$. Προσδιορίστε με ποιον ρυθμό αυξάνεται το ύψος του νερού στην πισίνα.

Ένας πληθυσμός μικροβίων μεταβάλλεται σύμφωνα με την σχέση \[N(t)= \dfrac{40}{1+19\cdot 2^{-t}},\] όπου $t$ ο χρόνος σε $\mathrm{min}$. Αν οι φυσιολογικές απώλειες του πληθυσμού $M(t)$ κάθε λεπτό είναι ανάλογες του τετραγώνου του υπάρχοντος πληθυσμού με συντελεστή $\kappa=10^{-3}$, προσδιορίστε τον ρυθμό μεταβολής του εναπομείναντος πληθυσμού.

Το εμβαδό επιφάνειας ενός κύβου αυξάνεται με ρυθμό $10\,\mathrm{cm}^2/\mathrm{s}$. Προσδιορίστε τον ρυθμό μεταβολής του όγκου του κύβου τη χρονική στιγμή που η ακμή του είναι $2\,\mathrm{cm}$.

Ένα ποδήλατο βρίσκεται $4\,\mathrm{km}$ δυτικά από ένα σταυροδρόμι και κινείται προς αυτό με ταχύτητα $9\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Ταυτόχρονα, ένα άλλο ποδήλατο βρίσκεται $4\,\mathrm{km}$ βόρεια από το σταυροδρόμι και απομακρύνεται από αυτό με ταχύτητα $10\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Προσδιορίστε τον ρυθμό μεταβολής της απόστασης των ποδηλάτων εκείνη την χρονική στιγμή.

Ευθεία $\epsilon$ στρέφεται γύρω από το σημείο $\textnormal{Α}(4,2)$. Ο ρυθμός μεταβολής του συντελεστή διεύθυνσης $\lambda$, όπου $\lambda\gt 0$, ισούται με $10^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$. Αν η ευθεία τέμνει τους άξονες $x^{\prime}x$, $y^{\prime}y$ στα σημεία $\textnormal{M}$ και $\textnormal{N}$ αντιστοίχως, να προσδιοριστεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού $(\textnormal{OMN})$ ως προς τον χρόνο, τη χρονική στιγμή που η ευθεία διέρχεται από το σημείο $\textnormal{B}(5,4)$.

Η ακτίνα $r$ μιας σφαίρας μεταβάλλεται με τον χρόνο σύμφωνα με τη συνάρτηση $r(t)=t^2+1$, όπου $t$ σε $\mathrm{s}$ και $r(t)$ σε $\mathrm{cm}$. Κάποια χρονική στιγμή $t_0$ ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού της επιφάνειας της σφαίρας είναι $32\pi\,\mathrm{cm}^2/\mathrm{s}$. Προσδιορίστε:

1. Τη χρονική στιγμή $t_0$.
2. Τον ρυθμό μεταβολής του όγκου της σφαίρας τη χρονική στιγμή $t_0$.

Το εμβαδό της περιοχής ανάμεσα σε δύο ομόκεντρους κύκλους είναι σταθερό και ίσο με $9\pi\,\mathrm{m}^2$. Ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του μεγαλύτερου κύκλου είναι $10\pi\,\mathrm{cm}^2 /\mathrm{s}$. Προσδιορίστε τον ρυθμό μεταβολής της περιφέρειας του μικρού κύκλου τη χρονική στιγμή που αυτός έχει εμβαδόν $16\pi\,\mathrm{cm}^2$.

Ένα κινητό σημείο $\textnormal{M}$ κινείται πάνω στη καμπύλη $y=\dfrac{x^3+2}{6}$.

1. Τη χρονική στιγμή που το $\textnormal{M}$ βρίσκεται στο σημείο $\textnormal{A}(-2,-1)$, η τετμημένη του αυξάνεται με ρυθμό 2 μονάδων ανά $\mathrm{s}$. Προσδιορίστε τον ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του $\textnormal{M}$ όταν διέρχεται από το $\textnormal{A}$.
2. Υποθέτουμε ότι ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του $\textnormal{M}$ είναι θετικός. Προσδιορίστε σε ποια σημεία της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης του $\textnormal{M}$ είναι οκταπλάσιος του ρυθμού μεταβολής της τετμημένης.

Σφαιρικό αντικείμενο συρρικνώνεται και η επιφάνεια του μειώνεται με ρυθμό $2\,\mathrm{cm}^2/\mathrm{min}$. Προσδιορίστε τον ρυθμό μεταβολής της διαμέτρου του αντικειμένου τη χρονική στιγμή που η διάμετρος της είναι ίση με $5\,\mathrm{cm}$.

Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις $f$ ικανοποιούν τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα $\Delta$ που δίνεται. Στη συνέχεια, για τις συναρτήσεις που ισχύουν οι υποθέσεις, προσδιορίστε τον αριθμό $\xi$ του συμπεράσματος.\\

1. $f(x)=x^2-3x+2$, $\Delta=[0,3]$
2. $f(x)=\gsin 4x$, $\Delta=\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$
3. $f(x)= 3+\gcos 2x$, $\Delta=[0,\pi]$
4. $f(x)=|x|$, $\Delta=[-2,2]$
5. $f(x)= \dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}$, $\Delta=\left[\dfrac{1}{2},2\right]$
6. $f(x)=e^{2x}-3e^x+2$, $\Delta=[0,\ln 2]$

Δίνεται συνάρτηση $f(x) = \begin{cases}{x^3}\gsin\dfrac{1}{x}, & x\neq 0\\ 0, & x=0 \end{cases}~$.

1. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0=0$.
2. Αποδείξτε ότι εφαρμόζεται το Θεώρημα Rolle για την $f$ στο $\left[\dfrac{1}{2\pi},\dfrac{1}{\pi}\right]$.
3. Αποδείξτε ότι η εξίσωση $\gctan\dfrac{1}{x}=3x$ διαθέτει τουλάχιστον μία λύση στο $\left(\dfrac{1}{2\pi},\dfrac{1}{\pi}\right)$.

Θεωρούµε τη συνάρτηση $f(x)=(x-3)(e^x-1) + 8$.

1. Αποδείξτε ότι η γραφική παράσταση της $f$ διαθέτει µία τουλάχιστον εφαπτόµενη παράλληλη στον άξονα $x^{\prime}x$.
2. Αποδείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi\in(0, 3)$ τέτοιο ώστε $\xi-2=e^{-\xi}$.

Δίνεται η συνάρτηση \[f(x) = \begin{cases} \alpha x^2 -3x+1, & x\lt 0\\ x^2+\beta x-\gamma, & x\geq 0 \end{cases}~,\] όπου $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}$. Για την $f$ είναι γνωστό ότι εφαρμόζεται το Θεώρημα Rolle στο διάστημα $[-1,1]$.

1. Προσδιορίστε τους $\alpha,\beta,\gamma$.
2. Προσδιορίστε το σημείο $\xi\in(-1,1)$ για το οποίο ισχύει $f^{\prime}(\xi)=0$.

Δίνεται η συνάρτηση \[f(x) = \begin{cases} \alpha x^2 +\alpha x+2, &\hspace{-0.9em} -1\leq x\lt 0\\ x^3+\beta x^2 +3x +\gamma, &0\leq x\leq 1 \end{cases}~,\] όπου $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}$. Για την $f$ είναι γνωστό ότι εφαρμόζεται το Θεώρημα Rolle στο διάστημα $[-1,1]$.

1. Προσδιορίστε τους $\alpha,\beta,\gamma$.
2. Προσδιορίστε το σημείο $\xi\in(-1,1)$ για το οποίο ισχύει $f^{\prime}(\xi)=0$.

Θεωρούμε τη συνάρτηση \[f(x)=\begin{cases}\alpha x+x^2 \gsin\dfrac{\pi}{2x}, & x\in[-1,0) \\ \beta x+\gamma & x\in(0,1] \end{cases}~,\] όπου $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}$. Να υπολογιστούν οι $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}$ ώστε να ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο διάστημα $[-1,1]$.

Έστω η συνάρτηση $f(x)=4x-\pi^2 \gsin x$. Αποδείξτε ότι η $C_f$ διαθέτει ένα τουλάχιστον σηµείο τοµής µε τον άξονα $x^\prime x$, µε τετµηµένη αριθµό του διαστήµατος $(0, \pi)$.

Έστω $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\alpha\lt \beta$. Θεωρούµε συνάρτηση $f$, η οποία είναι συνεχής στο $[\alpha,\beta]$, παραγωγίσιµη στο $(\alpha,\beta)$ και $f(\alpha)=f (\beta)=0$.

1. Για τη συνάρτηση $g(x)= \dfrac{f(x)}{x-c}$, όπου $c\notin[\alpha,\beta]$ , αποδείξτε ότι υπάρχει $c_0\in(\alpha,\beta)$ τέτοιο ώστε $g^\prime(c_0) = 0$.
2. Για τα $c, c_0$ του ερωτήµατος (1), αποδείξτε ότι η εφαπτόµενη της γραφικής παράστασης της $f$ στο $\mathrm{M}(c_0, f(c_0))$ διέρχεται από το σηµείο $\mathrm{N}(c, 0)$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)= x^{\nu}(x-1)^{\nu}$, όπου $\nu\in\mathbb{N}^{\ast}$. Αποδείξτε ότι υπάρχει υπάρχει $\xi\in(0,1)$ τέτοιο ώστε $f^{\prime}(\xi)=0$.

Αποδείξτε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f(x)=e^{3x}+3x^7$ και $g(x)=e^{-x}-5x^3$ διαθέτουν μοναδικό κοινό σημείο, το οποίο βρίσκεται στον άξονα $y^{\prime}y$.

Αν η συνεχής συνάρτηση $f: [2,3]\to\mathbb{R}$ είναι παραγωγίσιμη στο $(2,3)$ και ισχύει $f(3)-f(2)=\ln 3-\ln 2$, αποδείξτε ότι υπάρχει $\xi\in(2,3)$ ώστε $f^{\prime}(\xi)= \dfrac{1}{\xi}$.

Αν η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $[-1,1]$ και παραγωγίσιμη στο $(-1,1)$, αποδείξτε ότι υπάρχει $\xi\in(-1,1)$ τέτοιο ώστε $2f^{\prime}(\xi) =5\xi^4 (f(1)-f(-1))$.

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $f:[1,2]\to\mathbb{R}$ η οποία είναι παραγωγίσιμη στο $(1,2)$, με $f(1)=1$ και $f(2)=2$.

1. Αποδείξτε ότι υπάρχει $\xi_1\in(1,2)$ με $f^{\prime}(\xi_1)(\xi_1 -3)=-f(\xi_1)$.
2. Αποδείξτε ότι υπάρχει $\xi_2\in(1,2)$ με $f^{\prime}(\xi_2)=\dfrac{f(\xi_2)}{\xi_2}$.
3. Αποδείξτε ότι υπάρχει $\xi_3\in(1,2)$ με $f^{\prime}(\xi_3)f(\xi_3)=\xi_3$.

Αν $f(x)= x^6+4x^4+5x^2+x-7$, αποδείξτε ότι η $C_f$ δεν διαθέτει εφαπτομένες παράλληλες μεταξύ τους.

Έστω $\alpha\gt 0$ και συνάρτηση $f$, συνεχής στο διάστημα $[0,1]$ και παραγωγίσιμη στο διάστημα $(0,1)$. Αν $0\lt f(x)\lt \alpha$ και $f^{\prime}(x)\neq\alpha$, για κάθε $x\in(0,1)$, αποδείξτε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός $\xi\in(0,1)$ με $f(\xi)=\alpha\xi$.

Έστω $f,g$ συνεχείς συναρτήσεις στο $[0,1]$ και παραγωγίσιμες στο $(0,1)$. Για την $f$ ισχύει $f(0)=f(1)=0$ και $f(x)\neq 0$ για κάθε $x\in (0,1)$.

1. Να δείξετε ότι ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle για τη συνάρτηση $h(x)=f^2(x)e^{g(x)}$ στο διάστημα $[0,1]$.
2. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $\xi\in (0,1)$ ώστε $\dfrac{f^{\prime}(\xi)}{f(\xi)}=-\dfrac{g^{\prime}(\xi)}{2}$.

Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με συνεχή πρώτη παράγωγο. Αν για τους αριθμούς $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}$ με $\alpha\lt \beta\lt \gamma$ ισχύει $f(\alpha)\lt f(\beta)$ και $f(\gamma)\lt f(\beta)$, να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $x_0\in (\alpha,\gamma)$ τέτοιο ώστε $f^{\prime}(x_0)=0$.

Θεωρούμε $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\alpha\lt \beta$. Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο διάστημα $[\alpha, \beta]$ και παραγωγίσιμη στο $(\alpha, \beta)$, με $f^{\prime}(x)\neq 0$ για κάθε $x\in(\alpha, \beta)$.

1. Να αποδειχθεί ότι $f(\alpha)\neq f(\beta)$.
2. Αν επιπλέον $f(\beta)=0$, να επιλυθεί η εξίσωση $f(x)=0$ στο διάστημα $[\alpha, \beta]$.

Η συνεχής συνάρτηση $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα $(0,1)$ με $f(0)=3$ και $f(1)=e+2$. Αν $f^{\prime\prime}(x)\neq e^x$, για κάθε $x\in(0,1)$, αποδείξτε ότι υπάρχει μοναδικός $\xi\in(0,1)$ με $f^{\prime}(\xi)=e^{\xi}$.

H συνάρτηση $f$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με $f^{\prime} (0)\lt 1 \lt f^{\prime} (2)$. Αν ισχύει $f^{\prime\prime}(x)\neq 0$, για κάθε $x\in(0,2)$, αποδείξτε ότι υπάρχει ακριβώς ένα $x_0 \in(0,2)$ τέτοιο ώστε $f^{\prime}(x_0) =1$.

Έστω $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\alpha\lt \beta$. Θεωρούμε συνάρτηση $f$ που ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle στο $[\alpha,\beta]$. Αν $\lambda=f(\alpha)=f(\beta)$, αποδείξτε ότι υπάρχει $\xi\in(\alpha,\beta)$ με $f^{\prime}(\xi)=f(\xi)-\lambda$.

Να επιλυθούν οι εξισώσεις:

1. $2x^2-2x+\ln x=0$
2. $e^x=x+1$
3. $2x+\gcos x=1$
4. $x^3+2x=\gsin x$

Αποδείξτε ότι οι παρακάτω εξισώσεις διαθέτουν το πολύ δύο λύσεις στο $\mathbb{R}$:

1. $x^{10}-20x+4=0$
2. $x^4+24x^2+4x=40$
3. $6x^4-8x+1=0$
4. $\gcos x+2x=0$
5. $\gsin x+3x^2-5=0$
6. $5e^x=23-x^2$

Αποδείξτε ότι η εξίσωση $3x^5-2x^3=4$ διαθέτει μόνο μία λύση στο $(1,2)$.

Αποδείξτε ότι η εξίσωση $x^2=x\gsin x+\gcos x$ διαθέτει ακριβώς δύο λύσεις στο $\left(-\frac{\pi}{2},0\right)$ και μία λύση στο $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$.

Να αποδείξετε ότι για $\alpha\in\mathbb{R}$, η εξίσωση $x^3-12x+\alpha=0$ διαθέτει το πολύ μία λύση στο διάστημα $(-2,2)$.

Αν $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\alpha\gt 0$, αποδείξτε ότι η εξίσωση $x^4+\alpha x^2+\beta x=0$ διαθέτει το πολύ μία μη μηδενική λύση στο $\mathbb{R}$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=4x^3+2(\lambda-1)x-\lambda$, με $\lambda\in\mathbb{R}$. Αποδείξτε ότι υπάρχει τουλάχιστον μία λύση της εξίσωσης $f(x)=0$ στο διάστημα $(0,1)$.

Αν $f(x)= x+ \alpha\gsin x-e^{\beta}$ με $-1\lt \alpha\lt 0$ και $\beta\in\mathbb{R}$, αποδείξτε ότι η εξίσωση $f(x)=0$ διαθέτει ακριβώς μία λύση στο διάστημα $(0,e^{\beta}-\alpha)$.

Θεωρούµε την παραγωγίσιµη στο $\mathbb{R}$ συνάρτηση $f$. Αποδείξτε ότι η εξίσωση $f^{\prime}(x)\gsin x+f(x)\gcos x=0$ διαθέτει µία τουλάχιστον λύση στο διάστηµα $(\pi, 2\pi)$.

Θεωρούµε τη συνάρτηση $f$, παραγωγίσιµη στο $\mathbb{R}$, τέτοια ώστε $f(2)=2f (1)$. Αποδείξτε ότι η εξίσωση $xf^{\prime}(x)-f (x)=0$ διαθέτει µία τουλάχιστον λύση στο διάστηµα $(1, 2)$.

Αποδείξτε ότι η εξίσωση $2x^3+9x^2+12x+\alpha=0$, όπου $\alpha\in(4,5)$, διαθέτει μοναδική λύση στο διάστημα $(-2,-1)$.

Αποδείξτε ότι η εξίσωση $8\alpha x^3+9\beta x^2-6\beta x-2\alpha=0$, όπου $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$, διαθέτει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα $(0,1)$.

Έστω $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}$.

1. Αποδείξτε ότι η εξίσωση $4\alpha x^3-3\beta x^2+2\gamma x=\alpha -\beta +\gamma$ διαθέτει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα $(0,1)$.
2. Αποδείξτε ότι η εξίσωση $2x^3-3x^2-\alpha^4 x-\beta=0$ διαθέτει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα $[0,1]$ όταν $\alpha\gt 1$.
3. Aποδείξτε ότι η εξίσωση $\alpha x^2+\beta x+\gamma =e^x$ διαθέτει το πολύ τρεις λύσεις.

Αποδείξτε ότι η εξίσωση $2x^3+9x^2+12x+\alpha=0$, με $\alpha\in(4,5)$, διαθέτει μοναδική λύση στο διάστημα $(-2,-1)$.

Αν $f(x)=(x^2-1)(x^2-4)(x-3)$, αποδείξτε ότι η εξίσωση $f^{\prime}(x)=0$ διαθέτει ακριβώς τέσσερις λύσεις.

Να λυθεί η εξίσωση $(2x^2-2x+\ln x)^2+(e^{x-1}-x)^2=0$.

Θεωρούµε τη συνάρτηση $f(x)=x^4 e^x-x-1$.

1. Αποδείξτε ότι η εξίσωση $f(x)=0$ διαθέτει µία τουλάχιστον λύση στο $(-1,0)$ και µία τουλάχιστον λύση στο $(0,1)$.
2. Αποδείξτε ότι η εξίσωση $4x^3 e^x+x^4 e^x-1=0$ διαθέτει µία τουλάχιστον λύση στο $(-1,1)$.

Έστω $\nu\in\mathbb{N}^{\ast}$ και $\alpha\in\mathbb{R}$. Θεωρούμε την εξίσωση \[(x+\alpha)^{\nu}=x^{\nu}+\alpha^{\nu}.\tag{$\ast$}\]

1. Αν ο $\nu$ είναι άρτιος, αποδείξτε ότι η εξίσωση ($\ast$) διαθέτει μοναδική λύση, την $x=0$.
2. Αν ο $\nu$ είναι περιττός με $\nu\geq 3$, αποδείξτε ότι η εξίσωση ($\ast$) διαθέτει ως μοναδικές λύσεις τις $x=0$ και $x=-\alpha$.

Έστω $\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R}$ και $\nu,\mu,\kappa\in\mathbb{N}^{\ast}$ με Αποδείξτε ότι η εξίσωση $\alpha x^{\nu}+\beta x^{\mu}+\gamma x^{\kappa}+\delta x=0$ διαθέτει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα $(0,1)$.

Αν $f(x)= x^2+\gsin x$, αποδείξτε ότι η ευθεία με εξίσωση $y=x$ εφάπτεται στη γραφική παράσταση της $f$.

Αν $f(x)=x^4$, αποδείξτε ότι οποιαδήποτε εφαπτομένη της $C_f$ έχει με αυτήν ένα μόνο κοινό σημείο.

Έστω ότι η παραγωγίσιμη διάστημα $\Delta$ συνάρτηση $f$ διαθέτει τουλάχιστον $\nu$ ρίζες. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση $(f^2(x))^{\prime}$ διαθέτει τουλάχιστον $2\nu-1$ ρίζες.

Για τη συνάρτηση $f:[1,4]\to\mathbb{R}$, επιβεβαιώστε ότι ικανοποιούνται οι υποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής και προσδιορίστε το αριθμό $\xi$ του συμπεράσματος, όταν:

1. $f(x)=2x+1$
2. $f(x)=2x^2+1$
3. $f(x)=2x^3+x^2+1$
4. $f(x)=\dfrac{2x+3}{x+2}$
5. $f(x)=\dfrac{1}{x}-x$
6. $f(x)=\sqrt{-x^2+5x-4}$

Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις ικανοποιούν τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στο διάστημα $[-1,1]$:

1. $f(x)=\begin{cases}3x^2-x, &x\lt 0 \\ x^3-x, &x\geq 0\end{cases}$
2. $g(x)=\begin{cases}3-x^3, &x\neq 1 \\ 4, &x=1 \end{cases}$

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x)=\dfrac{x}{1+|x|}$.

1. Αποδείξτε ότι $f$ είναι παραγωγίσιμη και προσδιορίστε την παράγωγό της.
2. Εφαρμόστε για την $f$ το Θεώρημα Μέσης Τιμής στο διάστημα $[-1,1]$ και προσδιορίστε τον αριθμό $\xi$ του συμπεράσματος.

Θεωρούμε τη συνάρτηση \[f(x)=\begin{cases}\ln^2 x, &1\leq x\leq e \\ \alpha x+\beta, & e\leq x\leq 5\end{cases}~.\] Προσδιορίστε τους $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ ώστε να ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στο διάστημα $[1,5]$.

Αν $f(x)= \sqrt{4-x^2}$, $x\in[0,2]$, εξετάστε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής για την $f$ στο διάστημα $[0,2]$. Αν ναι, προσδιορίστε $\xi\in(0,2)$ τέτοιο ώστε $f^{\prime}(\xi)= \dfrac{f(2)- f(0)}{2}$.

Θεωρούµε τη συνάρτηση $f(x)=3x^{11}-5x^9+4$. Αποδείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi\in(0, 1)$ τέτοιο ώστε η εφαπτόµενη της γραφικής παράστασης της $f$ στο σηµείο $\mathrm{M}(\xi,f(\xi))$ να είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση $y=-2x+5$.

Αν για τη συνεχή στο $[-1,1]$ συνάρτηση $f$ ισχύει $f(-1)=-2$, $f(1)=2$ και $f^{\prime}(x)\leq 2$, για κάθε $x\in(-1,1)$, να υπολογίσετε το $f(0)$.

Έστω $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\alpha\lt \beta$. Θεωρούμε συνάρτηση $f$, συνεχή στο διάστημα $[\alpha,\beta]$ και παραγωγίσιμη στο $(\alpha,\beta)$, με $f(\alpha)=\beta\sqrt{3}$ και $f(\beta)=\alpha\sqrt{3}$. Αποδείξτε ότι υπάρχει $\xi\in(\alpha,\beta)$ ώστε η εφαπτομένη της $C_f$ στο σημείο $\textnormal{Α}(\xi,f(\xi))$ να σχηματίζει με τον άξονα $x^{\prime}x$ γωνία $\frac{2\pi}{3}$.

Έστω $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\alpha\lt \beta$. Θεωρούµε συνάρτηση $f$ που ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle στο διάστημα $[\alpha,\beta]$. Αποδείξτε ότι υπάρχουν $\xi_1,\xi_2\in(\alpha,\beta)$, διαφορετικά μεταξύ τους, µε $f^{\prime}(\xi_1) + f^{\prime}(\xi_2) = 0$.

Θεωρούµε τη συνάρτηση $f$, η οποία είναι συνεχής στο $[0, 10]$, παραγωγίσιµη στο $(0, 10)$ και $f(0)=2$, $f(10)=12$.

1. Αποδείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi\in(0, 10)$ τέτοιο ώστε $f^{\prime}(\xi)= 1$.
2. Αποδείξτε ότι υπάρχουν $\xi_1, \xi_2\in(0, 10)$ µε $\xi_1\neq\xi_2$ τέτοια ώστε $f^{\prime}(\xi_1)+ f^{\prime}(\xi_2)=2$.
3. Αποδείξτε ότι υπάρχουν $x_1, x_2\in(0, 10)$ µε $x_1\neq x_2$ τέτοια ώστε $4f^{\prime}(x_1)+ f^{\prime}(x_2)=5$.

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει $f(1)=2$ και $f(3)=6$.

1. Αποδείξτε ότι υπάρχει $\xi\in(1,3)$ με $f(\xi)=8-2\xi$.
2. Αποδείξτε ότι υπάρχουν $x_1,x_2\in(1,3)$, διαφορετικά μεταξύ τους, με $f^{\prime}(x_1)f^{\prime}(x_2)=4$.

Δίνεται η συνάρτηση $f:[1,6]\to\mathbb{R}$ η οποία είναι συνεχής στο $[1,6]$ και παραγωγίσιμη στο $(1,6)$ με $f(1)=f(6)$.

1. Αποδείξτε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $x_0\in (1,6)$ τέτοιο ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ να έχει στο σημείο $\textnormal{A}(x_0,f(x_0))$ οριζόντια εφαπτομένη.
2. Αποδείξτε ότι υπάρχουν $\xi_1,\xi_2\in (1,6)$ με $\xi_1\neq\xi_2$ τέτοια ώστε $f^{\prime}(\xi_1)+4f^{\prime}(\xi_2)=0$.

Έστω $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\alpha\lt \beta$. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $f:[\alpha,\beta]\to\mathbb{R}$, παραγωγίσιμη στο $(\alpha,\beta)$, με $f(\alpha)=3\alpha-\beta$ και $f(\beta)=\alpha+\beta$. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν $\xi_1,\xi_2\in(\alpha,\beta)$ με $f^{\prime}(\xi_1)+f^{\prime}(\xi_2)=4$.

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με $f(2)-f(1)=16$. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi\in(1,2)$ με $f^{\prime}(\xi)=3\xi^2+6\xi$.

Έστω $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\alpha\lt \beta$. Θεωρούμε τη συνάρτηση $f$, συνεχή στο $[\alpha,\beta]$ και παραγωγίσιμη στο $(\alpha,\beta)$ με $f(\alpha)=\beta$ και $f(\beta)=\alpha$.

1. Αποδείξτε ότι η εξίσωση $f(x)=x$ διαθέτει λύση στο $(\alpha,\beta)$.
2. Αποδείξτε ότι υπάρχουν $\xi_1,\xi_2\in(\alpha,\beta)$, διάφορα μεταξύ τους, με $f^{\prime}(\xi_1) =\dfrac{1}{f^{\prime}(\xi_2)}$.

Δίνεται συνάρτηση $f$, συνεχής στο $\left[\frac{1}{2},3\right]$ και παραγωγίσιμη στο $\left(\frac{1}{2},3\right)$, με $f\left(\frac{1}{2}\right)=2$ και $f(3)=12$.

1. Αποδείξτε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $\xi\in\left(\frac{1}{2},3\right)$ τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της $C_f$ στο $\textnormal{A}(\xi,f(\xi))$ να είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση $y=4x+2$.
2. Αποδείξτε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $\gamma\in\left(\frac{1}{2},3\right)$ τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της $C_f$ στο $\textnormal{B}(\gamma,f(\gamma))$ να διέρχεται από το $\textnormal{O}(0,0)$.

Θεωρούμε συνάρτηση $f$, δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$. Υποθέτουμε ότι υπάρχει εφαπτομένη $\varepsilon$ της $C_f$ η οποία διαθέτει με την $C_f$ δύο τουλάχιστον κοινά σημεία.

1. Αποδείξτε ότι η $f^{\prime}$ δεν είναι $1-1$.
2. Αποδείξτε ότι υπάρχει $\xi\in\mathbb{R}$ με $f^{\prime\prime}(\xi)=0$.

Έστω $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\alpha\lt \beta$. Θεωρούμε τη συνάρτηση $f$, συνεχή στο $[\alpha,\beta]$ και παραγωγίσιμη στο $(\alpha,\beta)$ με σύνολο τιμών εντός του διαστήματος $(0,+\infty)$. Αποδείξτε ότι υπάρχει $\xi\in(\alpha,\beta)$ με $\dfrac{f(\beta)}{f(\alpha)}=e^{(\beta-\alpha) \frac{f^{\prime}(\xi)}{f(\xi)}}$

Έστω $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\alpha\lt \beta$. Θεωρούμε συνάρτηση $f$, δύο φορές παραγωγίσιµη στο $[\alpha,\beta]$ με \[f\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)=\dfrac{f(\alpha)+f(\beta)}{2}.\] Αποδείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi\in(\alpha,\beta)$ τέτοιο ώστε $f^{\prime\prime}(\xi) = 0$.

Έστω $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\alpha\lt \beta$. Θεωρούμε τη συνάρτηση $f$, συνεχή στο $[\alpha,\beta]$ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο $(\alpha,\beta)$. Αν οι αριθμοί $f(\alpha), f(\mu), f(\beta)$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, όπου $\mu$ το μέσο του $[\alpha,\beta]$, αποδείξτε ότι υπάρχει $x_0\in(\alpha,\beta)$ με $f^{\prime\prime} (x_0)=0$.

Έστω $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\alpha\lt \beta$ και συνάρτηση $f$, συνεχής στο $[\alpha,\beta]$ και παραγωγίσιμη στο $(\alpha,\beta)$, με $f(\alpha)=f(\beta)$. Αποδείξτε ότι υπάρχουν $\xi_1,\xi_2$ με $\alpha\lt \xi_1\lt \mu\lt \xi_2\lt \beta$ και $f^{\prime} (\xi_1) + f^{\prime} (\xi_2) =0$, όπου $\mu$ το μέσο του $[\alpha,\beta]$

Αποδείξτε ότι:

1. $\dfrac{y-x}{\gcos^2 x}\lt \gtan y-\gtan x\lt \dfrac{y-x}{\gcos^2 y}$,
   αν $0\lt x\lt y\lt \dfrac{\pi}{2}$.
2. $e^{-x}\lt \dfrac{x-y}{e^x-e^y}\lt e^{-y}$,
   αν $x\gt y$.
3. $x\leq e^{x-1}\leq 1+(1-x)e$,
   αν $1\lt x\lt 2$.
4. $1+\dfrac{x}{2\sqrt{1+x}}\lt \sqrt{1+x}\lt 1+\dfrac{x}{2}$,
   αν $-1\lt x\lt 0$.
5. $\gsin (x + y) \lt \gsin x + y\gcos x$,
   αν $0\lt x\lt x+y\lt \dfrac{\pi}{2}$.
6. $1+x\lt e^x\lt 1+ex$,
   αν $0\lt x\lt 1$.
7. $\ln(x + 1)-\ln x \lt \dfrac{1}{x}$,
   αν $x \gt 0$.
8. $\dfrac{x}{x+1}\lt \ln(x + 1) \lt x$,
   αν $x \gt 0$.

Αποδείξτε τις παρακάτω ανισότητες:

1. $\ln\pi - \ln 3\lt \dfrac{\pi}{3}-1$
2. $5e^4(\pi-e)\lt \pi^5-e^5\lt 5\pi^4(\pi-e)$
3. $2-\dfrac{e}{3}\lt \ln 3\lt \dfrac{3}{e}$
4. $e\lt \dfrac{4-e}{2\ln2-1}\lt 4$
5. $2+\dfrac{2}{165}\lt \sqrt[5]{33}\lt 2+\dfrac{1}{80}$
6. $\gsin\dfrac{5\pi}{18}+\dfrac{\pi}{36}\lt \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Έστω $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\alpha\lt \beta$. Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\gsin^2 x$, $x\in[\alpha,\beta]$.

1. Αποδείξτε ότι ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής για την $f$ στο $[\alpha,\beta]$.
2. Αποδείξτε την ανισότητα $|\gsin^2 \beta-\gsin^2 \alpha|\leq |\beta-\alpha|$.

Έστω $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $0\lt \alpha\lt \beta$. Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\ln x$, $x\in[\alpha,\beta]$.

1. Αποδείξτε ότι ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής για την $f$ στο $[\alpha,\beta]$.
2. Αποδείξτε την ανισότητα $1-\dfrac{\alpha}{\beta}\lt \ln\alpha -\ln\beta\lt \dfrac{\beta}{\alpha}-1$.

Αν $\alpha\gt 0$, αποδείξτε ότι $\left|\sqrt{x^2+\alpha^2}-\sqrt{y^2+\alpha^2}\right|\leq |x-y|$, για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$.

Αποδείξτε ότι \[\left|\ln\left(\dfrac{\alpha^2+4}{\beta^2 +4}\right)\right|\leq \dfrac{1}{2}|\beta-\alpha|,\] για κάθε $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$.

Έστω $f$ παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ συνάρτηση με $f(1)=0$ και $|f^{\prime}(x)|\leq 1$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Αποδείξτε ότι $|f(x)|\leq x-1$, για κάθε $x\geq 1$.

Η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο διάστημα $[3,+\infty)$ και παραγωγίσιμη στο $(3,+\infty)$. Αν $f(3)=0$ και $0\lt f^{\prime}(x) \lt 1$ για κάθε $x\gt 3$, αποδείξτε ότι $0\lt f(x)\lt x-3$, για κάθε $x\gt 3$.

Έστω $f$ παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ συνάρτηση για την οποία υπάρχει $M\in\mathbb{R}$ με $|f^{\prime}(x)|\geq M$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Αποδείξτε ότι $f(\beta)\geq f(\alpha)+M(\beta-\alpha)$, για κάθε $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\beta\geq\alpha$.

H συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ και η $f^{\prime}(x)$ είναι γνησίως φθίνουσα.

1. Αποδείξτε ότι
   \[ \begin{gather} (\beta-\alpha)f^{\prime}(\beta)+f(\alpha)\leq \\ \leq f(\beta) \leq \\ (\beta-\alpha)f^{\prime}(\alpha)+f(\alpha), \end{gather} \]
   $(\beta-\alpha)f^{\prime}(\beta)+f(\alpha)\leq f(\beta)\leq (\beta-\alpha)f^{\prime}(\alpha)+f(\alpha)$, για κάθε $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\beta\geq\alpha$.
2. Αποδείξτε ότι
   \[ \begin{gather} f(x+2)-f(x)\lt \\ \lt 2f^{\prime}(x)\lt \\ \lt f(x)-f(x-2), \end{gather} \]
   $f(x+2)-f(x)\lt 2f^{\prime}(x)\lt f(x)-f(x-2)$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

Αν η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $[0,3]$, με $f(0)=2$ και $3\leq f^{\prime}(x)\leq 6$, για κάθε $x\in(0,3)$, αποδείξτε ότι $11\leq f(3)\leq 20$.

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $f:[2,6]\to\mathbb{R}$ η οποία είναι παραγωγίσιμη στο $(2,6)$ με $f(2)=-6$ και $1\lt f^{\prime}(x)\lt 2$, για κάθε $x\in(2,6)$. Να αποδείξετε ότι $|f(6)|\lt 2$.

Η συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με $f(0)=0$ και $f^{\prime}(x)\gt M\gt 0$, για κάθε $x\in[0,4]$. Αποδείξτε ότι $f(x)\geq M$, για κάθε $x\geq 1$.

Έστω $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\alpha\lt \beta$. Θεωρούμε συνάρτηση $f$, παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο στο διάστημα $[\alpha,\beta]$. Αν η $f$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $(\alpha,\beta)$ με $f^{\prime}(\alpha)\leq 0$ και $f^{\prime\prime}(x)\lt 0$, για κάθε $x\in(\alpha,\beta)$, αποδείξτε ότι $f(\beta)\lt f(\alpha)$.

Έστω παραγωγίσιµη στο $\mathbb{R}$ συνάρτηση $f$ με $-2\leq f^{\prime}(x)\leq 1$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Αποδείξτε ότι $|f (x + 1) - f (x)| \leq 2$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

Έστω συνάρτηση $f$, συνεχής στο $[4, 6]$ και παραγωγίσιµη στο $(4, 6)$, τέτοια ώστε $f (4) = 8$ και $|f^\prime (x)|\leq 2$, για κάθε $x\in(4, 6)$. Αποδείξτε ότι:

1. $4\leq f(6)\leq 12$
2. $4\lt f(t)\lt 12$, για κάθε $t\in(4, 6)$

Θεωρούµε τις παραγωγίσιµες συναρτήσεις $f,g: [0,+\infty)\to\mathbb{R}$, για τις οποίες ισχύει η σχέση \[ f^{\prime}(x) = g^{\prime}(x) + \gsin^2 x + e^x,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in[0, +\infty)$. Αποδείξτε ότι $f (0) + g(x) \lt g(0) + f (x)$, για κάθε $x \gt 0$.

∆ίνεται παραγωγίσιµη στο $[0, +\infty)$ συνάρτηση $f$ με $f (0) = 0$. Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση $f^\prime$ είναι γνησίως αύξουσα στο $(0, +\infty)$. Αποδείξτε ότι $f^{\prime}(x)\gt \dfrac{f(x)}{x}$, για κάθε $x\in(0, +\infty)$.

Θεωρούµε συνάρτηση $f$ τέτοια ώστε η $f^\prime$ να είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$. Αποδείξτε ότι:

1. $f (3)\lt \dfrac{f (1) + f (5)}{2}$
2. $f (2) \lt \dfrac{3f (1) + f (5)}{4}$

Θεωρούµε συνάρτηση $f$ τέτοια ώστε η $f^\prime$ να είναι γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$. Για κάθε $x\in\mathbb{R}$ αποδείξτε ότι:

1. $ \begin{gather} f^\prime(x+1)\lt \\ \lt f(x+1)-f(x)\lt \\ \lt f^\prime(x+1). \end{gather} $ $f^\prime(x+1)\lt f(x+1)-f(x)\lt f^\prime(x+1)$.
2. $f (2x)\geq\dfrac{f(x)+f(3x)}{2}$.

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με $f(1)-f(0)=e$. Αποδείξτε ότι η εξίσωση $f^\prime(x)-2x=e^x$ διαθέτει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα $(0,1)$.

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\left[0, \frac{\pi}{4}\right]\to\mathbb{R}$ με $f\left(\frac{\pi}{4}\right)-f(0)=1$. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi\in\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ τέτοιο ώστε $f^\prime(\xi)\gcos^2 \xi=1$.

Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[1,3]\to\mathbb{R}$, με $f(1)=2$, $f(2)=\ln(2e^3)$ και $f(3)=ln(3e^4)$.

1. Αποδείξτε ότι η γραφική παράσταση της $g(x)=f(x)-\ln x-x$ διαθέτει δύο οριζόντιες εφαπτομένες στο διάστημα $[1,3]$.
2. Αποδείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi\in(1,3)$ τέτοιο ώστε $\xi^2 f^{\prime\prime}(\xi)=-1$.