Συναρτησεις

Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f$ όταν o τύπος $f(x)$ είναι:

1. $f(x)=\dfrac{x-3}{3x^2-5x+2}$
2. $f(x)=\sqrt{5x-30}$
3. $f(x)=\sqrt[5]{x-1}$
4. $f(x)=\dfrac{\sqrt{x-2}}{x-3}$
5. $f(x)=\dfrac{\sqrt{9-x^2}}{x}$
6. $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f$ όταν o τύπος $f(x)$ είναι:

1. $f(x)=\dfrac{1}{x^2-4x+3}$
2. $f(x)=\sqrt{x^2-4x+3}$
3. $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2-4x+3}}$
4. $f(x)=\ln(x^2-4x+3)$
5. $f(x)=\dfrac{1}{\ln(x^2-4x+3)}$
6. $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{\ln(x^2-4x+3)}}$

Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f$ όταν o τύπος $f(x)$ είναι:

1. $f(x)=\sqrt{\dfrac{x-1}{x-2}}$
2. $f(x)=\dfrac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-2}}$
3. $f(x)=\sqrt{x-1}\sqrt{x-2}$
4. $f(x)=\sqrt{(x-1)(x-2)}$
5. $f(x)=\sqrt{1-\sqrt{1-x^2}}$
6. $f(x)=\ln(e^{2x}-5e^x +6)$

Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f$ όταν o τύπος $f(x)$ είναι:

1. $f(x)=\dfrac{\sqrt{10-x^2}}{x-1}$
2. $f(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+2x-15}}{x^2-16}$
3. $f(x)=\sqrt{x^2-9x}-\sqrt[3]{x+2}$
4. $f(x)=\dfrac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{x-4}}$
5. $f(x)=\dfrac{\sqrt{2-x}}{\sqrt{x+3}}$
6. $f(x)=\sqrt{\dfrac{2-x}{x+3}}$

Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f$ όταν o τύπος $f(x)$ είναι:

1. $f(x)=\sqrt{\ln(x-1)}$
2. $f(x)=1-\sqrt{2-\ln x}$
3. $f(x)=\ln(2-\ln x)$
4. $f(x)=\gtan\dfrac{x}{2}$
5. $f(x)=\left(\gctan\dfrac{x}{2}\right)^{-1}$
6. $f(x)=\dfrac{|x|-x+2}{\sqrt{x}+|x|-1}$

Δίνεται η συνάρτηση $f$ με $f(x)= 2-3x$. Να προσδιορίσετε το $f((-2,4])$.

Δίνεται η συνάρτηση $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ με $f(x)=\dfrac{(x+1)(x+\alpha)}{x^2+1}$. Να προσδιοριστεί ο $\alpha\in\mathbb{R}$, ώστε $f([0,1])\subseteq[0,1]$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)= \dfrac{x^2-\alpha x+6}{x^2-\alpha x+4}$. Να προσδιοριστούν οι τιμές του $\alpha\in\mathbb{R}$ για τις οποίες το πεδίο ορισμού της $f$ είναι το $\mathbb{R}$.

Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού $\alpha$, να προσδιοριστεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f(x)=\sqrt{x^2-\alpha x+4}-x$.

Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις $f,g$ στις παρακάτω περιπτώσεις. Αν $f\neq g$, να προσδιορίσετε το ευρύτερο υποσύνολο $\textnormal{A}$ του $\mathbb{R}$ στο οποίο είναι $f(x)=g(x)$, για κάθε $x\in\textnormal{A}$.

1. $f(x)=\dfrac{x^3-1}{(x-1)^2}$, $g(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x-1}$
2. $f(x)=2x$, $g(x)=\dfrac{2x^3+4x}{x^2+2}$
3. $f(x)= (2-x)^2$, $g(x)=x-2$
4. $f(x)=\sqrt{x^2}$, $g(x)=\left(\sqrt{x}\right)^2$
5. $f(x)=\ln x^2$, $g(x)=2\ln x$
6. $f(x)=\ln x^3$, $g(x)=3\ln x$

Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x)= \dfrac{x-\lambda -1}{x-\lambda+1}$ και $g(x)= \dfrac{x^2-2x+\lambda -1}{(x-\lambda^2+\lambda)^2}$. Να προσδιορίσετε το $\lambda\in\mathbb{R}$ ώστε $f=g$.

Θεωρούμε τις συναρτήσεις $f(x)=\dfrac{(\lambda+1)x-1}{x+\lambda^2 -1}$ και $g(x)= \dfrac{(1-2\lambda)x+1-\lambda}{\lambda-x-5}$. Να εξετάσετε αν υπάρχει $\lambda\in\mathbb{R}$ ώστε να είναι ίσες.

Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις $f+g$, $fg$, $\dfrac{f}{g}$, όταν:

1. $f(x)= \dfrac{ x^2+1}{x-2}$, $g(x)= \dfrac{4x-3}{2-x}$
2. $f(x)= \dfrac{x-4}{2-x}$, $g(x)= \dfrac{x^2-3x}{x-2}$
3. $f(x)= \dfrac{1}{3-|x|}$, $g(x)= \dfrac{|x|-2}{x^2-9}$
4. $f(x)= \dfrac{|x|}{3+|x|}$, $g(x)= \dfrac{6-2|x|}{x^2-9}$
5. $f(x)=\sqrt{4-x^2}$, $g(x)=\dfrac{1}{2}\sqrt{x}$
6. $f(x)=\dfrac{1}{x^2-9}$, $g(x)=\dfrac{x-3}{x}$

Να προσδιοριστούν τα διαστήματα στα οποία είναι ίσες οι συναρτήσεις $f,g$, όταν:

1. $f(x)=|x-1|+2|x+1|+x$, $g(x)=2x+3$
2. $f(x)=|x-2|+3|x|$, $g(x)=4x-2$

Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x)= x^3-x^2-2x$ και $g(x)= x^2-2x$. Να ορίσετε τις συναρτήσεις $\dfrac{1}{f}$ και $\dfrac{1}{g}$.

Θεωρούμε τις συναρτήσεις $f(x)=\dfrac{x+2}{x^2-9}$ και $g(x)= \dfrac{x-3}{x^2+5x+6}$. Να ορίσετε τις συναρτήσεις $f-g$ και $fg$.

Για τις συναρτήσεις \[\begin{align} f(x)&=\begin{cases} 1-x,&x\leq 0 \\ 1-2x,&0\lt x\lt 4\end{cases}\ ,\\[1ex] g(x)&=\begin{cases} -2x,&-3\leq x\leq 2\\ 0, &x\gt 2 \end{cases} \end{align}\] να προσδιορίσετε την $f\cdot g$ και το σύνολο τιμών της.

Αποδείξτε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ για την οποία να ισχύει η σχέση \[f(2-x)+f(x)=x^3+3,\tag{$\ast$}\] Για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$, όταν:

1. $f(x)= x^2-1$
2. $f(x)=-x^2+3$
3. $f(x)=(x-2)^2$
4. $f(x)= (x-1)^2+2$
5. $f(x)=x^2-6x+8$
6. $f(x)=-2(x-1)(x-3)$

Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$, όταν:

1. $f(x)=1+\dfrac{3}{x}$
2. $f(x)=\dfrac{x-4}{x}$
3. $f(x)=\dfrac{1}{x+2}$
4. $f(x)=-1-\dfrac{2}{x-2}$
5. $f(x)=\dfrac{x}{x-1}$
6. $f(x)=\dfrac{1-2x}{x-1}$

Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$, όταν:

1. $f (x) = |x - 2|$
2. $f(x) =\sqrt{9-x^2}$
3. $f(x) =\sqrt{1-4x^2}$
4. $f (x)=|\ln x|$
5. $f(x) = |\gsin x|$
6. $f(x) = |\gcos x|$

Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµα συντεταγµένων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f(x)=\ln x$ και \[ \begin{array}{ll} f_1(x) = -f(x),& f_2(x)=f(-x),\\[1ex] f_3(x)=f(x)-2, & f_4(x)=f(x - 2). \end{array} \]

Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµα συντεταγµένων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f(x)=e^{x}$ και \[\begin{array}{ll} f_1(x) = -f(x),& f_2(x)=f(-x),\\[1ex] f_3(x) = f(x)+1,& f_4(x)=f(x+1). \end{array}\]

Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση και να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της συνάρτησης $f$, όταν:

1. $f(x)=\begin{cases}3x, &x\lt 1\\ x^2,& x\geq 1\end{cases}$
2. $f(x)=\begin{cases}2x-2,& x\leq 2\\ x^2-2 , &x\gt 2\end{cases}$
3. $f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{x},& x\lt 0\\[1ex] x, &x\geq 0\end{cases}$
4. $f(x)=|x^2-1|+x^2$
5. $f(x)=\begin{cases}-x, &x\leq e \\ \ln x,& x\gt e\end{cases}$
6. $f(x)=\begin{cases}\ln x,& 0\lt x\leq e\\ x-1, &x\gt e\end{cases}$

Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση και να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της συνάρτησης $f$, όταν:

1. $f(x)=\begin{cases} 2x^2, & x\lt 1 \\ -x^2,& x\geq 1\end{cases}$
2. $f(x)=\begin{cases}-x, &-2\pi\leq x\lt 0 \\ \gsin x,& 0\leq x\leq 2\pi \end{cases}$
3. $f(x)=|3x - 6| + (x+1)^2$
4. $f(x) =\dfrac{|x|e^x}{x}$
5. $f(x)=\dfrac{(x-1)^2}{|x-1|}\ln x$
6. $f(x)=\dfrac{|x-2|+|x|}{|x|}$

Να προσδιορίσετε, αν υπάρχουν, τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$ με τους άξονες, όταν:

1. $f(x)= x^3-5x+4$
2. $f(x)=2x^3-7x^2+7x-2$
3. $f(x)= \dfrac{3}{x-2}$
4. $f(x)= \dfrac{x-4}{x-1}$
5. $f(x)= \dfrac{x^2+x-6}{x+3}$
6. $f(x)= \dfrac{3x^2+x-4}{3x-1}$

Να προσδιορίσετε, αν υπάρχουν, τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$ με τους άξονες, όταν:

1. $f(x)= x-\sqrt{x}+2$
2. $f(x)=x-\sqrt{x^2+4}$
3. $f(x)=\sqrt[4]{x-4}+7$
4. $f(x)= 3-\ln(x+2)$
5. $f(x)=\ln(x-2)-3$
6. $f(x)= e^x-\dfrac{1}{e^x}$

Να προσδιορίσετε, αν υπάρχουν, τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$ με τους άξονες, όταν:

1. $f(x)=\ln\dfrac{1+x}{1-x}$
2. $f(x)= 9^x+3^x-12$
3. $f(x)= 25^x -15^x -10^x$
4. $f(x)=\sqrt{3}+2\gsin x$
5. $f(x)= 2\gcos 2x -\sqrt{2}$
6. $f(x)=\sqrt{\dfrac{2x-4}{x^2+x}}$

Να προσδιορίσετε, αν υπάρχουν, τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων $f$, $g$, όταν:

1. $f(x)=3x^2-4x$, $g(x)=2x^2-3$
2. $f(x)=5x^2+x+2$, $g(x)=3x^2$
3. $f(x)= 4x^3+5x$, $g(x)=12x^2-6$
4. $f(x)=8x^2+10x+4$, $g(x)=\dfrac{11}{2x}$
5. $f(x)= \dfrac{x+3}{x}$, $g(x)=\dfrac{2}{x-1}$
6. $f(x)= x^2-x$, $g(x)=\dfrac{6}{x+1}$

Να προσδιορίσετε, αν υπάρχουν, τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων $f$, $g$, όταν:

1. $f(x)=4x$, $g(x)=2\sqrt{x}$
2. $f(x)=\dfrac{x^2-2}{1+2x}$, $g(x)=\dfrac{1}{x(1+2x)}$
3. $f(x)=-\sqrt{x}$, $g(x)=x^2-2$
4. $f(x)=2^x-3$, $g(x)=2^{-x}$
5. $f(x)=x+\sqrt{x^2+9}$, $g(x)=2x+1$
6. $f(x)=\ln 2x$, $g(x)=\ln(3-2x^2)$

Να προσδιορίσετε τις τιμές του $x\in\mathbb{R}$ για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ βρίσκεται πάνω από τον άξονα $x^\prime x$, όταν:

1. $f(x)=x^2-5x+4$
2. $f(x)= \dfrac{2+x}{2-x}$
3. $f(x)= \dfrac{1-e^x}{e^x}$

Να προσδιορίσετε τις τιμές του $x\in\mathbb{R}$ για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ βρίσκεται κάτω από τον άξονα $x^\prime x$, όταν:

1. $f(x)= \dfrac{5-x}{4+x}$
2. $f(x)=(3-x)(x^2-2x+1)(x^2-4x+3)$
3. $f(x)=\ln(x+1)-1$

Να προσδιορίσετε τις τιμές του $x\in\mathbb{R}$ για τις οποίες η γραφική παράσταση της $f$ βρίσκεται πάνω από την γραφική παράσταση της $g$, όταν:

1. $f(x)=1+2x-x^3$, $g(x)=1-x^4$
2. $f(x)=x^3+x+2$, $g(x)=2+x-x^2$
3. $f(x)=e^{2x}-e^x$, $g(x)=5e^x-5$

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{|x+2|-|x-2|}{|x+2|+|x-2|}$. Να παρασταθεί γραφικά και να προσδιοριστεί το σύνολο τιμών της.

Δίνεται η συνάρτηση \[f(x)=\begin{cases}\ \dfrac{1}{x},& |x|\geq 1\\[1ex] x|x|,&|x|\lt 1 \end{cases}.\] Να παρασταθεί γραφικά και να προσδιοριστεί το σύνολο τιμών της.

Να χαράξετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)=|x-2|+|x+1|$ και στην συνέχεια, με την βοήθεια της, να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της $f$.

Να χαράξετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)= \sqrt{16-x^2}$ και στην συνέχεια, με την βοήθεια της, να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της $f$.

Για τις συναρτήσεις \[\begin{align} f(x)&=\begin{cases} -x-1,&x\lt 1 \\ 2x-3,&x\geq 1 \end{cases}\ ,\\[2ex] g(x)&=\begin{cases} -4x+1,&x\lt 0 \\ 3x-3, &x\geq 0 \end{cases} \end{align}\] να χαράξετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης $f-g$ και στην συνέχεια, με την βοήθεια της, να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της $f$.

Για τις συναρτήσεις \[\begin{align} f(x)&=\begin{cases} x^2-1,&x\lt 1 \\ 1,&x\geq 1 \end{cases}\ ,\\[1ex] g(x)&=\begin{cases} |x|+1,&x\lt 1 \\ x, &x\geq 1 \end{cases} \end{align}\] να χαράξετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης $\dfrac{f}{g}$ και στην συνέχεια, με την βοήθεια της, να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της $f$.

Aν $f(x)=\alpha|x^2-1|-\beta|x+3|$, να προσδιορίσετε τους $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ ώστε η γραφική παράσταση της $f$ να διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σημείο $\mathrm{A}(-1,4)$.

Αν $f(x)= (\alpha^2-5)x^2+2x+3$ και $g(x)= x^2+\beta x+1$, να προσδιορίσετε τις τιμές των $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ ώστε οι $f$, $g$ να έχουν κοινά σημεία πάνω στις ευθείες με εξισώσεις $x=-1$ και $x=1$.

Αν $f(x)= 2x^2$ και $g(x)=2x+\kappa$, να προσδιοριστεί ο $\kappa\in\mathbb{R}$ ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$ και $g$ να διαθέτουν ακριβώς ένα κοινό σημείο. Ποιο είναι το σημείο αυτό;

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)= \alpha x^3-13x^2+\beta x+1$.

1. Να προσδιοριστούν οι $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ ώστε τα σημεία $\mathrm{A}(2,33)$ και $\mathrm{B}(1,0)$ να ανήκουν στην $C_f$.
2. Να μετασχηματιστεί η συνάρτηση $f$ σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων.
3. Να προσδιοριστούν τα $x\in\mathbb{R}$ για τα οποία η $C_f$ βρίσκεται πάνω από τον άξονα $x^\prime x$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)= \dfrac{\alpha x+12}{3x+\alpha}$, όπου $\alpha\in\mathbb{R}$. Να προσδιοριστούν τα σταθερά σημεία του επιπέδου, από τα οποία διέρχεται η γραφική παράσταση της $f$.

Θεωρούµε τις συναρτήσεις $f(x)=5|x-3|-10$ και $g(x) = 4x-x^3$.

1. Να προσδιορίσετε για ποιες τιµές του $x$ η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ βρίσκεται πάνω από τον άξονα $x^\prime x$.
2. Να προσδιορίσετε για ποιες τιµές του $x$ η γραφική παράσταση της συνάρτησης $g$ βρίσκεται κάτω από τον άξονα $x^\prime x$.

Για $\alpha\in\mathbb{R}$ θεωρούµε τη συνάρτηση $f_\alpha(x)=x^6 + \alpha x^4-\alpha$.

1. Αποδείξτε ότι οι γραφικές παραστάσεις των $f_0$ και $f_1$ διαθέτουν ακριβώς δύο κοινά σηµεία.
2. Αποδείξτε ότι η γραφική παράσταση της $f_\alpha$, για τις διάφορες τιµές του $\alpha\in\mathbb{R}$, διέρχεται από δύο σταθερά σηµεία.

Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Να αποδειχθεί ότι η $C_f$ βρίσκεται πάνω από τον άξονα $x^\prime x$.

Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Να αποδειχθεί ότι η $C_f$ βρίσκεται κάτω από τον άξονα $x^\prime x$.

Θεωρούμε τις συναρτήσεις $f(x)=x^3-\alpha x^2+\beta x+2$ και $g(x)=x^2+\alpha x +3\beta$. Να προσδιορίσετε τα $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$, $g$ να τέμνονται επί των ευθειών $x=1$ και $x=2$.

Δίνονται οι συναρτήσεις $f,g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, για τις οποίες ισχύει \[f(x)+1=g(x)+x^3,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Να προσδιοριστεί η σχετική θέση των $C_f$, $C_g$.

Έστω οι συναρτήσεις $f(x)= \dfrac{3}{x}$ και $g(x)=\alpha x+3-\alpha$, όπου $\alpha\in\mathbb{R}$.

1. Αποδείξτε ότι, για κάθε $\alpha\in\mathbb{R}$, η γραφική παράσταση της $g$ διέρχεται από σταθερό σημείο.
2. Αποδείξτε ότι, για κάθε $\alpha\in\mathbb{R}$, οι γραφικές παραστάσεις των $f$ και $g$ διαθέτουν κοινά σημεία.
3. Να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό $\alpha$ για τον οποίο οι γραφικές παραστάσεις των $f$ και $g$ διαθέτουν κοινό σημείο.

Για τις συναρτήσεις $f,g$, να προσδιορίσετε τις $f\circ g$ και $g\circ f$, όταν:

1. $f(x)= 3x-1$, $g(x)= -2x+1$
2. $f(x)= 3x^2-2$, $g(x)= \gsin x$
3. $f(x)=\sqrt{x+2}$, $g(x)=\sqrt{x}-2$
4. $f(x)= x^2+2$ , $g(x)=\dfrac{1}{x-3}$
5. $f(x)=2x-1$, $g(x)= \sqrt{1-x^2}$
6. $f(x)= \dfrac{1}{x}$, $g(x)= \dfrac{x}{x+1}$

Για τις συναρτήσεις $f,g$, να προσδιορίσετε τις $f\circ g$ και $g\circ f$, όταν:

1. $f(x)= \gcos x$, $g(x)= \dfrac{1}{2x}$
2. $f(x)= \gsin x$, $g(x)= \dfrac{1}{x}$
3. $f(x)= x^2$, $g(x)= \sqrt{x}$
4. $f(x)= \gsin x$, $g(x)= \sqrt{1-x^2}$
5. $f(x)= x^2+1$, $g(x)= \sqrt{x-2}$
6. $f(x)=x^2-2x$, $g(x)=1+\sqrt{x+1}$

Να εκφράσετε τη συνάρτηση $f$ ως σύνθεση δύο ή τριών συναρτήσεων, όταν:

1. $f(x)= \gcos(4x^2+1)$
2. $f(x)=\gsin(\gcos x)$
3. $f(x)= 2\ln^4\dfrac{3}{x}$
4. $f(x)=\left(e^{x+x^2}\right)^3$
5. $f(x)=\sqrt{\ln(e^x+1)}$
6. $f(x)=\sqrt[3]{1-|x-2|}$

Να ορίσετε τη συνάρτηση $g\circ f$ στις ακόλουθες περιπτώσεις:

1. $f(x)=1+\dfrac{1}{x}$, $g(x)=\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}$
2. $f(x)=x^2 +x$, $g(x)=\sqrt{x-5}+\sqrt{x-2}$
3. $f(x)=x^3 -2x^2 -x+2$, $g(x)=\ln x$
4. $f(x)=\sqrt{1-x^2}$, $g(x)=3\sqrt{x}-2$
5. $f(x)=\ln(x-e)$, $g(x)=\sqrt{x-1}$
6. $f(x)=\dfrac{\ln(1-x)}{x^2-1}$, $g(x)=\sqrt{x}$

Να προσδιορίσετε τον τύπο της συνάρτησης $f:\mathrm{A}\to\mathbb{R}$, στο ευρύτερο δυνατό πεδίο ορισμού $\mathrm{A}$, αν για κάθε $x\in\mathrm{A}$ ισχύει:

1. $f(x+1)=2x+1$
2. $f(x+1)=e^{x}+x+1$
3. $f(e^x)=2x+1$
4. $f^{2}(x)+x^{2}e^{2x}=2xe^{x}f(x)$
5. $f(2x-1)=x^2-2x+3$
6. $f\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)=\dfrac{x^2}{x^2+1}$

Στις περιπτώσεις όπου είναι δυνατό, να προσδιορίσετε τον τύπο της συνάρτησης $f:\mathrm{A}\to\mathbb{R}$, στο ευρύτερο δυνατό πεδίο ορισμού $\mathrm{A}$, αν για κάθε $x\in\mathrm{A}$ ισχύει:

1. $xf(1-x)+f(x)=1$
2. $5f(x)+f(2-x)=x$
3. $3f(1-x)+f(x)=4+x^2$
4. $f(x-2)-4f(3-x)=10x-31$
5. $2f(x)-f\left(\dfrac{1}{x}\right)=x$
6. $xf^2(x)f(2-x)=1$

Έστω οι συναρτήσεις $f(x)=\sqrt[3]{1-x}$, $g(x)=\gcos x$, $h(x)=\sqrt{x}$. Να ορίσετε την συνάρτηση $f\circ(g\circ h)$.

Θεωρούμε τις συναρτήσεις $f(x)=\ln x$, $g(x)=\sqrt{x}-1$, $h(x)=\sqrt[3]{x}$. Να ορίσετε τις συναρτήσεις $f\circ g\circ h$ και $g\circ h\circ f$.

Αν $f(x)=4-|x|$, να ορίσετε τη συνάρτηση $f\circ f$, να χαράξετε την γραφική της παράσταση και να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της.

Έστω $f,h$ συναρτήσεις με τύπους $f(x)=x^2 -x+2$ και $h(x)=x(x-1)$. Να προσδιορίσετε συνάρτηση $g$ της οποίας ο τύπος έχει τη μορφή $g(x)=\alpha x+\beta$ και ισχύει $g\circ f=h$.

Θεωρούμε τις συναρτήσεις $g(x)=3x-2$ και $f(x)= \alpha x+\beta$. Να προσδιορίσετε τα $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ ώστε να ισχύει $g\circ g=f$.

Έστω συνάρτηση $f:[-4,2]\to\mathbb{R}$. Να προσδιοριστεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $g$, με τύπο $g(x)=f(5-x^2)$.

Δίνονται οι συναρτήσεις $I(x)=x$ και $f(x)=\dfrac{\alpha x-\beta}{3x-\alpha}$, όπου $\alpha\in\mathbb{R}$. Αποδείξτε ότι οι συναρτήσεις $f\circ f$ και $I$ είναι ίσες στο σύνολο $\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\alpha}{3}\right\}$.

Έστω $\alpha,\beta, \gamma,\delta\in\mathbb{R}$. Θεωρούμε τις συναρτήσεις στο $\mathbb{R}$ με $f(x)= \alpha x+\beta$ και $g(x)=\gamma x+\delta$. Αποδείξτε ότι $f\circ g=g\circ f$ αν και μόνο αν $(\alpha-1) \delta-(\gamma-1)\beta=0$.

Θεωρούμε συναρτήσεις $f,g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Αν για κάθε σταθερή συνάρτηση $h$ ισχύει $f\circ h=g\circ h$, αποδείξτε ότι $f=g$.

Δίνεται συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Αν για κάθε σταθερή συνάρτηση $g$ ισχύει $g\circ f=-(f\circ g)$, αποδείξτε ότι $f(x)=-x$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

Δίνεται συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ για την οποία ισχύουν $(f\circ f)(x)=4x-3$ και $(f\circ f\circ f)(x)=8x+\alpha$, όπου $\alpha \in\mathbb{R}$. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση $f$.

Θεωρούμε τις συναρτήσεις $g,h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με $g(x)=2^x$ και $h(x)= x^2$. Αποδείξτε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $f:(0,+\infty) \to\mathbb{R}$ για την οποία $(f\circ g)^2+1=f\circ h$.

Έστω $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ άρτια συνάρτηση. Θεωρούμε τη συνάρτηση απόλυτης τιμής $h$, ορισμένη στο $\mathbb{R}$. Αποδείξτε ότι υπάρχει συνάρτηση $g$ ώστε $f=g\circ h$.

Έστω συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με $f^5(x)+x^5=1$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Αποδείξτε ότι $f\circ f=I$, όπου $I(x)=x$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

Θεωρούµε συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με $f(x^2+ 6)+f (5x) = 0$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Αποδείξτε ότι η γραφική παράσταση της $f$ τέµνει τον άξονα $x^\prime x$ σε δύο τουλάχιστον σηµεία.

Θεωρούµε συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με $f(f (x)) = x^2-2x + 2$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Αποδείξτε ότι $f(x^2-2x+2)=f^2(x)-2f(x)+2$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.
2. Αν η γραφική παράσταση της $f$ δεν διέρχεται από το σηµείο $\textnormal{Α}(1, 2)$, να υπολογίσετε την τιµή $f (1)$.

Θεωρούµε συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με $f(f (x)) = x^2-8x +20$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Αποδείξτε ότι $f(x^2-8x + 20)=f^2(x)-8f (x) + 20$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.
2. Αν η γραφική παράσταση της $f$ δεν διέρχεται από το σηµείο $\textnormal{Α}(4,5)$, να υπολογίσετε την τιµή $f (4)$.

Να μελετήσετε ως προς μονοτονία τη συνάρτηση $f$, όταν:

1. $f(x)=x^3+2x-3$
2. $f(x)=1-3x+\sqrt{2-x}$
3. $f(x)= 3e^{7-x}+5$
4. $f(x) =2\ln(x-3)+5$
5. $f(x)=\dfrac{1}{x^2+1}$
6. $f(x)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x -3^x$

Να μελετήσετε ως προς μονοτονία τη συνάρτηση $f$ στο διάστημα $\Delta$, όταν:

1. $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$, $\Delta=(-\infty,2)$
2. $f(x)=-2x^3+\dfrac{1}{x}$, $\Delta=(0, +\infty)$
3. $f(x)=-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{1}{e^x}$, $\Delta=[0, +\infty)$
4. $f(x)=(x-3)^2+1$, $\Delta=[3,+\infty)$
5. $f(x)= x(x+4)-4$, $\Delta=(-\infty,-2]$
6. $f(x)= x(x+4)-4$, $\Delta=[-2,+\infty)$

Να μελετήσετε ως προς μονοτονία τη συνάρτηση $f$, όταν:

1. $f(x)=\begin{cases}-x, & x\lt 0 \\ x^2 , & x\geq 0 \end{cases}$
2. $f(x)=\begin{cases}-x^2 , &x\lt 0 \\ x, & x\geq 0\end{cases}$
3. $f(x)=\begin{cases}5x-1,& x\lt 2 \\ -2x+3, & x\geq 2 \end{cases}$
4. $f(x)=\begin{cases}2x^2 , &x\leq 0 \\ 2x^4, & x\gt 0\end{cases}$
5. $f(x)=\begin{cases}x+5,& x\lt 0 \\ \sqrt{x}, & x\geq 0 \end{cases}$
6. $f(x)=\begin{cases}-x^2+1 , &x\lt 0 \\ x^3+1, & x\geq 0\end{cases}$

Με την βοήθεια της γραφικής παράστασης, να προσδιορίσετε τη μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης $f$, όταν:

1. $f(x)=-3|x+1|+2$
2. $f(x)= 2|x-2|+1$
3. $f(x)= -3\sqrt{x-1}+2$
4. $f(x)= 5\sqrt{x-2}+7$
5. $f(x)=\sqrt{|x|}$
6. $f(x)=x^2-|x|$

Με την βοήθεια της γραφικής παράστασης, να προσδιορίσετε τη μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης $f$, όταν:

1. $f(x)=\begin{cases}-x+1, &x\lt 0\\ x^2-1,& x\geq 0 \end{cases}$
2. $f(x)=\begin{cases}(x-1)^2+3, &0\lt x\lt 1 \\ \dfrac{x^2}{2}+1,& 1\leq x\leq 2 \end{cases}$
3. $f(x)=\begin{cases}e^x, &x\lt 1 \\ \ln x,& x\geq 1 \end{cases}$
4. $f(x)=\begin{cases}-x^2, &x\leq 0 \\ -e^x,& x\gt 0 \end{cases}$

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=(x-1)^2-4$. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα μονοτονίας της $f$, καθώς και το σύνολο $f(\Delta)$, όταν:

1. $\Delta=[2,3]$
2. $\Delta=(-4,1]$
3. $\Delta=(-2,2)$
4. $\Delta=(5,+\infty)$
5. $\Delta=[0,+\infty)$
6. $\Delta=\left(-\infty, \frac{1}{2}\right)$
7. $\Delta=\left(-\infty, \frac{3}{2}\right]$
8. $\Delta=\mathbb{R}$

Σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις, αποδείξτε ότι η συνάρτηση $f$ διαθέτει ολικό ακρότατο, το οποίο να προσδιορίσετε:

1. $f(x) = 3|x-2|+4$
2. $f(x) =-\ln^2 x + 2$
3. $f(x)=(x-1)^2+2(x-1)^4-3$
4. $f (x) = -(x-5)^4 + 1$
5. $f (x) = 2\sqrt{x+1} + 5$
6. $f (x) = -2 |x-1|-|x^2-1|$

Για τις διάφορες τιμές του $\alpha\in\mathbb{R}$, να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση $f(x)= 5x+\alpha (1-x)$.

Έστω $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ περιττή συνάρτηση. Αν η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $(0,+\infty)$, αποδείξτε ότι είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $(-\infty,0)$.

Έστω $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ άρτια συνάρτηση. Αν η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $(0,+\infty)$, αποδείξτε ότι είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $(-\infty,0)$.

Έστω $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ περιττή και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση. Αποδείξτε ότι $f(x)\gt 0$ αν και μόνο αν $x\lt 0$.

Έστω $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ γνησίως μονότονη συνάρτηση. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση $f\circ f$ είναι γνησίως αύξουσα.

Έστω $f,g$ δύο γνησίως μονότονες συναρτήσεις με το ίδιο είδος μονοτονίας. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση $f+g$ διαθέτει επίσης το ίδιο είδος μονοτονίας.

Έστω $f,g$ δύο γνησίως μονότονες συναρτήσεις, με διαφορετικό είδος μονοτονίας. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση $f-g$.

Έστω $f,g$ δύο μη αρνητικές και γνησίως μονότονες συναρτήσεις, με το ίδιο είδος μονοτονίας. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση $fg$ διαθέτει επίσης το ίδιο είδος μονοτονίας.

Έστω $f,g$ δύο μη θετικές και γνησίως μονότονες συναρτήσεις, με το ίδιο είδος μονοτονίας. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση $fg$ διαθέτει διαφορετικό είδος μονοτονίας.

Έστω συναρτήσεις $f,g$, ορισμένες στα σύνολα $\textnormal{A}$, $\textnormal{B}$ ώστε να ορίζεται η $g\circ f$. Υποθέτουμε ότι οι $f,g$ είναι γνησίως μονότονες.

1. Αν οι $f,g$ διαθέτουν το ίδιο είδος μονοτονίας, αποδείξτε ότι $g\circ f$ είναι γνησίως αύξουσα.
2. Αν οι $f,g$ διαθέτουν διαφορετικό είδος μονοτονίας, αποδείξτε ότι $g\circ f$ είναι γνησίως φθίνουσα.

Έστω $f,g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ συναρτήσεις, όπου η $f$ είναι γνησίως αύξουσα και η $g$ γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$.

1. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση $h_1= 3f-2g$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$.
2. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση $h_2= -5f+ 4g$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$.
3. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση $h_3=(f\circ g)+(g\circ f)$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$.
4. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση $h_4=(f\circ f)+(g\circ g)$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$.

Να μελετήσετε ως προς μονοτονία τη συνάρτηση $f$ στο διάστημα $\Delta$, όταν:

1. $f(x)=\gcos x+\dfrac{1}{x}$, $\Delta=(0,\pi]$
2. $f(x)= \ln x+x^3$, $\Delta=(0,+\infty)$
3. $f(x)=x-\gctan x$, $\Delta=(0,\pi)$
4. $f(x)=\dfrac{\gcos x}{x}$, $\Delta=\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$
5. $f(x)=x^3\gctan x$, $\Delta=\left(-\frac{\pi}{2},0\right)$
6. $f(x)=-x^2\gctan x$, $\Delta=\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$

Να μελετήσετε ως προς μονοτονία τη συνάρτηση $f$ στο διάστημα $\Delta$, όταν:

1. $f(x)=3(5-2x^3)^5-1$, $\Delta=\mathbb{R}$
2. $f(x)=2-(1-x^5)^7$, $\Delta=\mathbb{R}$
3. $f(x)=\sqrt{x}-\sqrt{2-x}$, $\Delta=(0,1)$
4. $f(x)=x^3-2x^2+x$, $\Delta=[1,+\infty)$
5. $f(x)=\dfrac{1}{x^2+2x+1}$, $\Delta=[1,+\infty)$
6. $f(x)=\dfrac{x+1}{x^2+1}$, $\Delta=\left[\frac{1}{2},+\infty\right)$

Θεωρούμε τις συναρτήσεις $f(x)= 3\cdot 2^x+3\cdot 2^{-x}+1$ και $g(x)= 2+5\gcos x$.

1. Αποδείξτε ότι η $f$ παρουσιάζει ελάχιστο στο $x=0$.
2. Αποδείξτε ότι η $g$ παρουσιάζει μέγιστο στο $x=2\kappa\pi$, όπου $\kappa\in\mathbb{Z}$.
3. Επιλύστε την εξίσωση $f(x)=g(x)$.

Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x)= x^2-3x+10$ και $g(x)= 3x^2-9x+\dfrac{29}{2}$.

1. Να προσδιορίσετε τα ακρότατα των $f,g$.
2. Να επιλύσετε την εξίσωση $f(x)=g(x)$.
3. Να αποδείξετε ότι $\dfrac{4f(x)}{31}\geq\dfrac{31g(x)}{4}$.

Να προσδιοριστεί ο $\kappa\in\mathbb{R}$ ώστε το μέγιστο της συνάρτησης $f(x)= \kappa x^2-3\kappa x-\dfrac{13}{2}$ να είναι ο $\kappa$.

Να προσδιοριστεί ο θετικός αριθμός $\kappa$ ώστε η συνάρτηση $f(x)= \kappa x^2+\sqrt{k}x +\kappa$ να διαθέτει ως ελάχιστο το $0$.

Να προσδιοριστεί ο $\alpha\in\mathbb{R}$ ώστε η συνάρτηση $f(x)= -\alpha^2 x^2-4\alpha^2 x-|\alpha|$ να διαθέτει ως μέγιστο το $3$.

Να προσδιοριστεί ο $\alpha\in\mathbb{R}$ ώστε η συνάρτηση $f(x)= 2x^2-(4\alpha-1)x+1$ να διαθέτει ως ελάχιστο το $-1$.

Για τις διάφορες τιμές του $\lambda\in\mathbb{R}$, να προσδιοριστεί το μέγιστο ή το ελάχιστο της συνάρτησης $f(x)=\lambda x^2-2\lambda x +4$.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f$ με $f(x)= x^2-(2\lambda+1)x+\lambda$, όπου $\lambda\in\mathbb{R}$.

1. Να αποδείξετε ότι για κάθε $\lambda\in\mathbb{R}$, η γραφική παράσταση της $f$ τέμνει τον άξονα $x^{\prime}x$ σε δύο σημεία $\textnormal{A}(x_1,0)$, $\textnormal{B}(x_2,0)$.
2. Να προσδιορίσετε για ποιο $\lambda$ η παράσταση $\Pi=x_1(x_1+3x_2)+x_2(x_2+3x_1)$ παρουσιάζει ελάχιστη τιμή και ποια είναι αυτή.

Έστω $f$ γνησίως μονότονη συνάρτηση με πεδίο ορισμού $\Delta$ και $f(\Delta)\subseteq(-1,1)$. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση $g$ με $g(x)=\dfrac{f(x)}{1+f(x)^2}$ διαθέτει ίδιο είδος μονοτονίας με την $f$.

Έστω $f,g$ δύο συναρτήσεις με κοινό πεδίο ορισμού, που παρουσιάζουν μέγιστο (αντιστοίχως ελάχιστο) στο σημείο $x_0$.

1. Αποδείξτε ότι η $f+g$ παρουσιάζει μέγιστο (αντιστοίχως ελάχιστο) στο σημείο $x_0$.
2. Αν οι $f,g$ είναι θετικές, αποδείξτε ότι η $f\cdot g$ παρουσιάζει μέγιστο (αντιστοίχως ελάχιστο) στο σημείο $x_0$.

Έστω $f:(0,1)\to\mathbb{R}$ μια γνησίως μονότονη συνάρτηση. Αποδείξτε ότι δεν παρουσιάζει ακρότατα.

Θεωρούµε τη συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ µε \[f (x)\cdot 2^{f(x)} = e^x, \tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Αποδείξτε ότι η γραφική παράσταση της $f$ βρίσκεται πάνω από τον άξονα $x^\prime x$.
2. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$.

Θεωρούµε τη συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ µε \[e^x \cdot 3^{f(x)}+f(x) = 0, \tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Αποδείξτε ότι η γραφική παράσταση της $f$ βρίσκεται κάτω από τον άξονα $x^\prime x$.
2. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$.

Θεωρούµε τη συνάρτηση $f$, ορισµένη και γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$. Αποδείξτε ότι για κάθε $x \gt 0$ ισχύει $f(x) + f (4x) \gt f(2x) + f (8x)$.

Θεωρούµε τη συνάρτηση f ορισµένη και γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$. Αποδείξτε ότι για κάθε $x \lt 0$ ισχύει $f(2x) + f (4x)\gt f(3x) + f (5x)$.

Θεωρούµε τη συνάρτηση f ορισµένη και γνησίως φθίνουσα στο $(0,+\infty)$. Να επιλυθεί η εξίσωση $f(x^2) +f(x^5) = f(x^3) +f(x^6)$.

Να εξετάσετε αν η συνάρτηση $f$ είναι 1-1, όταν:

1. $f(x)=\dfrac{1}{3}x+2$
2. $f(x)=x^3 +1$
3. $f(x)=3^{3x+1}+1$
4. $f(x)=|x|+1$
5. $f(x)=\dfrac{1}{x^4 +1}+x^2$
6. $f(x)=x^2 +x+1$

Να εξετάσετε αν η συνάρτηση $f$ είναι 1-1, όταν:

1. $f(x)=-x^2+2x$
2. $f(x)= x^2-8x+3$
3. $f(x)=x^2-6x+2$
4. $f(x)=\dfrac{2x-1}{x-3}$
5. $f(x)=\dfrac{x-1}{2x-3}$
6. $f(x)=\dfrac{1}{(x-1)^2}$

Να εξετάσετε αν η συνάρτηση $f$ είναι 1-1, όταν:

1. $f(x)=(x-1)^{10} (x-2)^{8}$
2. $f(x)=\sqrt[3]{x-3}$
3. $f(x)=\sqrt[4]{|x+2|}$
4. $f(x)=|x|+x$
5. $f(x)=\gcos x+\gsin x$
6. $f(x)=e^{x}-e^{-x}$

Να προσδιορίσετε την αντίστροφη της συνάρτησης $f$, καθώς και το σύνολο τιμών της $f$, όταν:

1. $f(x)=-3x+4$
2. $f(x)=\dfrac{2}{x+1}$
3. $f(x)= \dfrac{x+1}{3-x}$
4. $f(x)=\sqrt{\dfrac{x}{2}+1}$
5. $f(x)=\sqrt{4-\sqrt{x-1}}$
6. $f(x)=\ln(x-2)$

Να προσδιορίσετε την αντίστροφη της συνάρτησης $f$, καθώς και το σύνολο τιμών της $f$, όταν:

1. $f(x)= \dfrac{e^x+1}{e^x}$
2. $g(x)=\ln(2+e^x)$
3. $f(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$
4. $f(x)= \dfrac{e^x-1}{e^x+1}$
5. $f(x)= \sqrt{\dfrac{x}{x+1}}$
6. $f(x)= \dfrac{1}{\sqrt{1-x^3}}$

Να προσδιορίσετε την αντίστροφη της συνάρτησης $f:\Delta\to\mathbb{R}$, καθώς και το σύνολο τιμών της $f$, όταν:

1. $f(x)=4-3x^2$, $\Delta=(-\infty,0]$
2. $f(x)= 1-x^4$, $\Delta=(0,+\infty)$
3. $f(x)= 4x^2-2$, $\Delta=(0,+\infty)$
4. $f(x)=(x+1)^2-9$, $\Delta=(-1,+\infty)$
5. $f(x)=x^2-2x-3$, $\Delta=[2,+\infty)$
6. $f(x)=x^6-2x^3+5$, $\Delta=[1,+\infty)$

Να προσδιορίσετε την αντίστροφη της συνάρτησης $f$, καθώς και το σύνολο τιμών της $f$, όταν:

1. $f(x)=\begin{cases}x-1, &x\lt 0\\ x+1,&x\geq 0 \end{cases}$
2. $f(x)=\begin{cases}2x-2, &x\lt 1 \\ \ln x,&x\geq 1 \end{cases}$
3. $f(x)=\begin{cases}x+1, &x\leq 0 \\ x-2,&x\gt 0 \end{cases}$

Να επιλύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:

1. $x^{10}+x^6=(3x-2)^5+(3x-2)^3$
2. $x^7+2x^5=4-x$
3. $e^{x-2}=3-x$
4. $e^{e-x}=\ln x$
5. $\ln\dfrac{x^2+x+1}{x^2-x+5}=-2x+4$
6. $\left(\dfrac{3}{5}\right)^{x}=1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^{x}$

Να προσδιορίσετε την αντίστροφη της συνάρτησης $f:(-\infty,2]\to\mathbb{R}$ με $f(x)= 4x-x^2$ και να χαράξετε την γραφική παράσταση των $f$ και $f^{-1}$ στο ίδιο σύστημα αξόνων.

Αποδείξτε ότι η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{1}{3^x}-2x$ είναι $1-1$ και έπειτα επιλύστε την εξίσωση $f(x^2-9)=f(x+3)$.

Έστω συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με $f(x+1)=f(x^2)$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Εξετάστε αν είναι αντιστρέψιμη.

Έστω συνάρτηση $f$ µε $f(f(x))= 2x-1+f(x)$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι 1-1. Στη συνέχεια, εξετάστε αν η γραφική παράσταση της $f$ διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

Έστω συνάρτηση $f$ µε πεδίο ορισµού το $\mathbb{R}$. Να εξετάσετε αν η $f$ είναι 1-1, όταν για κάθε $x\in\mathbb{R}$ ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις:

1. $f(f(x))=4x-1$
2. $f(f(x))=x^9$
3. $f(f(x))=x^4$
4. $f(f(x))=2$

Έστω $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ άρτια συνάρτηση. Αποδείξτε ότι η $f$ δεν αντιστρέφεται.

Έστω οι συναρτήσεις $f(x)= 4x+1$ και $g(x)= 3x-2$. Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις \[\begin{array}{ll} (f\circ g)^{-1}\ , & (g\circ f)^{-1}\ ,\\ g^{-1}\circ f^{-1}\ , & f^{-1}\circ g^{-1}\ . \end{array}\] Τι παρατηρείτε;

Έστω ότι οι συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ είναι $1-1$. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση $g\circ f$ είναι επίσης $1-1$.

Δίνεται η συνάρτηση $f$ με $f(x)=4\sqrt{e^x-2}+3$.

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της.
2. Να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της.
3. Να ορίσετε την $f^{-1}$.

Θεωρούµε τις συναρτήσεις $f,g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με για κάθε $x\in\mathbb{R}$, όπου $\alpha,\beta\in\mathbb{R}^{\ast}$. Αν η $f$ είναι 1-1, αποδείξτε ότι η $g$ είναι 1-1.

Δίνεται η συνάρτηση $f$ με $f(x)=\ln(3e^x+1)-2$.

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της $f$.
2. Να αποδείξετε ότι η $f$ αντιστρέφεται.
3. Να ορίσετε την $f^{-1}$.
4. Να λύσετε την ανίσωση $f(x)\lt f^{-1}(\ln 5-2)-2$.

Έστω οι συναρτήσεις $f(x)= \dfrac{2\ln x-3}{5}$ και $g(x)= 1+\ln x$.

1. Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις $f^{-1}$ και $g^{-1}$.
2. Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις $F=f^{-1}\circ g$ και $G=g^{-1}\circ f$.
3. Αποδείξτε ότι $F^{-1}=G$.

Έστω $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\alpha\neq 0$. Θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x)= \alpha x+\beta$.

1. Να προσδιορίσετε την $f^{-1}$.
2. Να προσδιορίσετε τους $\alpha,\beta$ ώστε να ισχύει $f^{-1}= f$.

Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, η οποία είναι $1-1$ και για την οποία ισχύει

Έστω η συνάρτηση $f$ µε $f(f (x))= x^5$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι 1-1.
2. Αποδείξτε ότι $f^5(x)= f(x^5)$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.
3. Προσδιορίστε τα κοινά σηµεία της γραφικής παράστασης της $f$ µε την ευθεία $y = x$.

Έστω η συνάρτηση $f$ µε \[f(2f (x))=x+6+f (x), \tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι αντιστρέψιµη.
2. Αποδείξτε ότι η γραφική παράσταση της $f^{-1}$ διέρχεται από το σηµείο $\mathrm{A}(-3,-6)$.
3. Για κάθε $x$ που ανήκει στο σύνολο τιµών της $f$, αποδείξτε ότι $f (2x)-f^{-1}(x) = x+6$.

Θεωρούµε συνάρτηση $f$, γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισµού της $\mathrm{A}$. Απο- δείξτε ότι η εξίσωση $(f\circ f)(x)=x$ είναι ισοδύναµη µε την εξίσωση $f(x)=x$.

Δίνεται η συνάρτηση $f$ με $f(x)=3x^{15}+2x-5$, $x\in\mathbb{R}$

1. Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$.
2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=0$ διαθέτει μοναδική λύση.
3. Να προσδιορίσετε το πρόσημο της $f$.

Δίνεται η συνάρτηση $f$ με τύπο $f(x)=2x^{21}+5x-7$, $x\in\mathbb{R}$.

1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$.
2. Να επιλύσετε την εξίσωση $f(x)=0$.
3. Να προσδιορίσετε το πρόσημο της συνάρτησης $f$.

Δίνεται η συνάρτηση $f$ με $f(x)=2\ln\left(\sqrt{x-1}+1\right)+3$.

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της $f$.
2. Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι 1-1.
3. Να ορίσετε την $f^{-1}$.
4. Να επιλύσετε την εξίσωση $f^{-1}(1+x)=2$.

Δίνεται συνάρτηση $f:\mathbb{R}^{\ast}\to\mathbb{R}$ και η συνάρτηση $g$ με τύπο $g(x)=\ln\left(\dfrac{2+x}{2-x}\right)$.

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της $f\circ g$.
2. Να προσδιορίσετε συνάρτηση $h$ για την οποία να ισχύει $(h\circ g)(x)=x$.
3. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $h$ είναι περιττή.

Δίνεται η συνάρτηση $f$ με $f(x)=-2x^3-3x-1$, $x\in\mathbb{R}$

1. Να προσδιορίσετε το είδος μονοτονίας της $f$.
2. Να αποδείξετε ότι η $f$ αντιστρέφεται.
3. Να λυθεί η εξίσωση $f^{-1}(x)=2$.
4. Να λυθεί η ανίσωση $f^{-1}(x)\geq x-1$.

Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει \[(f\circ f)(x)+2f(x)=2x+1,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$, και $f(2)=5$.

1. Να προσδιορίσετε το $f(5)$.
2. Να αποδείξετε ότι η $f$ αντιστρέφεται.
3. Να προσδιορίσετε το $f^{-1}(2)$.
4. Να επιλύσετε την εξίσωση $f\left(f^{-1}(2x^2 +7x)-1\right)=2$.

Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει \[3f(x)+2f^{3}(x)=4x+1,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Να αποδείξετε ότι η $f$ αντιστρέφεται και να ορίσετε την $f^{-1}$.
2. Να αποδείξετε ότι η $f^{-1}$ είναι γνησίως αύξουσα.
3. Να προσδιορίσετε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων $f$ και $f^{-1}$, αν γνωρίζετε ότι αυτά βρίσκονται πάνω στην ευθεία με εξίσωση $y=x$.
4. Να επιλύσετε την εξίσωση $f(2e^{x-1})=f(3-x)$.

Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x)=\sqrt{x+1}-1$ και $g(x)=2-x$.

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων $f$ και $g$.
2. Να ορίσετε τη συνάρτηση $f\circ g$.
3. Να αποδείξετε ότι η $f$ αντιστρέφεται και να προσδιορίσετε την $f^{-1}$.
4. Να προσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της συνάρτησης $f\circ f\circ g$.

Δίνεται συνάρτηση $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει

• $f(x)-f(y)=f\left(\dfrac{x}{y}\right)$, για κάθε $x,y\gt 0$,
• η εξίσωση $f(x)=0$ διαθέτει μοναδική λύση.

1. Να προσδιορίσετε την τιμή $f(1)$.
2. Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι αντιστρέψιμη.
3. Να αποδείξετε ότι $f(x)+f(y)=f(xy)$, για κάθε $x,y\gt 0$.

Θεωρούµε τη συνάρτηση $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ τέτοια ώστε \[f(xy)=f(x)+f(y), \tag{$\ast$}\] για κάθε $x, y\in(0,+\infty) $. Με δεδοµένο ότι η γραφική παράσταση της $f$ διαθέτει µόνο ένα κοινό σηµείο µε τον άξονα $x^\prime x$, να αποδείξετε ότι η $f$ είναι 1-1.

Έστω $f$ γνησίως μονότονη συνάρτηση. Αποδείξτε ότι η $f^{-1}$ διαθέτει το ίδιο είδος μονοτονίας.

Θεωρούμε τη συνάρτηση \[f(x)=\begin{cases}\dfrac{x}{\alpha(x-1)}, & x\neq 1 \\ \alpha, &x=1\end{cases}.\] Να προσδιοριστούν οι τιμές του $\alpha\in\mathbb{R}$ για τις οποίες η $f$ είναι 1-1. Για τις τιμές αυτές, να προσδιοριστεί η αντίστροφη της $f$.