Ολοκληρωμα

Να προσδιοριστεί παράγουσα της συνάρτησης $f$, όταν:

1. $f(x)=5x^2-6x+1$
2. $f(x)=(5-3x)^{14}$
3. $f(x)=(x+5)^{12}$
4. $f(x)=x(2x^{2}+3)^{4}$
5. $f(x)=\sqrt[4]{x^{7}}$
6. $f(x)=3x\sqrt{x}$

Να προσδιοριστεί παράγουσα της συνάρτησης $f$, όταν:

1. $f(x)=\dfrac{x^{2}-6x+4}{x^{2}}$
2. $f(x)=\dfrac{x^2-3x+1}{\sqrt{x}}$
3. $f(x)=\dfrac{1}{x-3}$
4. $f(x)=\dfrac{10}{2-x}$
5. $f(x)=\dfrac{2}{3x-6}$
6. $f(x)=\dfrac{1}{9x^2-6x+1}$

Να προσδιοριστεί παράγουσα της συνάρτησης $f$, όταν:

1. $f(x)=\dfrac{x}{(x^{2}+1)^{3}}$
2. $f(x)=\dfrac{5}{(1-3x)^{10}}$
3. $f(x)=\dfrac{x^{3}}{x^{4}+1}$
4. $f(x)=\dfrac{2x+3}{x-1}$
5. $f(x)=\dfrac{x+2}{x^{2}-1}$
6. $f(x)=\dfrac{x^{2}}{x+1}$

Να προσδιοριστεί παράγουσα της συνάρτησης $f$, όταν:

1. $f(x)=\sqrt{7x+1}$
2. $f(x)=\sqrt[3]{2x+2}$
3. $f(x)=\dfrac{4}{\sqrt{1-x}}$
4. $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt[3]{5x-1}}$
5. $f(x)=\dfrac{5x+10}{\sqrt[3]{x^{2}+4x+5}}$
6. $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+4}+\sqrt{x}}$

Να προσδιοριστεί παράγουσα της συνάρτησης $f$, όταν:

1. $f(x)=e^{2-3x}$
2. $f(x)=2^{3x+1}$
3. $f(x)=10^{1-3x}$
4. $f(x)=\dfrac{5}{2^{x+1}}$
5. $f(x)=3^{2x}\cdot 2^{3x}$
6. $f(x)=xe^{x^{2}}$

Να προσδιοριστεί παράγουσα της συνάρτησης $f$, όταν:

1. $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$
2. $f(x)=(2\ln x+1)x$
3. $f(x)=\ln\left(\sqrt{1+x}\right)$
4. $f(x)=\dfrac{\ln^2 x}{x}$
5. $f(x)=\dfrac{1}{x\ln x}$
6. $f(x)=\dfrac{1}{x+x\ln x}$

Να προσδιοριστεί παράγουσα της συνάρτησης $f$, όταν:

1. $f(x)=3\gsin 5x$
2. $f(x)=\gcos(5x-1)$
3. $f(x)=\gtan 2x$
4. $f(x)=\gctan (3x+2)$
5. $f(x)=x\gcos x^2$
6. $f(x)=\gtan^3 x$

Να προσδιοριστεί παράγουσα της συνάρτησης $f$, όταν:

1. $f(x)=\dfrac{e^x}{e^{x+1} +1}$
2. $f(x)=2x\gsin x+ x^2\gcos x$
3. $f(x)=\dfrac{1+\ln x}{x\ln x}$
4. $f(x)=\gcos x-x\gsin x$
5. $f(x)=e^x (\gsin x-\gcos x)$
6. $f(x)=x^{2}e^{x}+2xe^{x}$

Να προσδιοριστεί παράγουσα της συνάρτησης $f$, όταν:

1. $f(x)=(2x+1)\gsin(x^{2}+x)$
2. $f(x)=\dfrac{1}{\gcos^{2}x}-\dfrac{1}{\gsin^{2}x}$
3. $f(x)=\dfrac{1}{\gsin^{2}x\gcos^{2}x}$
4. $f(x)=\dfrac{e^x -e^{-x}}{e^x +e^{-x}}$
5. $f(x)=\dfrac{\gcos x-\gsin x}{e^x}$
6. $f(x)=e^x\left(\ln x +\dfrac{1}{x}\right)$

Να προσδιοριστεί παράγουσα της συνάρτησης $f$, όταν:

1. $f(x)=\dfrac{xe^{x}-e^{x}}{x^2}$
2. $f(x)=\dfrac{\gtan x-1}{\gtan x+1}$
3. $f(x)=3\sqrt{\gsin x}\gcos x$
4. $f(x)=\dfrac{1}{x\ln^{2}x}$
5. $f(x)=x^{-2}\gsin\left(\dfrac{\pi}{x}\right)$
6. $f(x)=\dfrac{1}{2x\sqrt{\ln x}}$

Να προσδιοριστεί παράγουσα της συνάρτησης $f$, όταν:

1. $f(x)=\dfrac{\gsin 2x}{1+\gcos 2x}$
2. $f(x)=\dfrac{1}{x\ln^3 x}$
3. $f(x)=\dfrac{e^x}{e^{2x}+e^{x}+1}$
4. $f(x)=\dfrac{\ln x}{x\ln^2 x+x}$
5. $f(x)=\dfrac{\gsin x\gcos x}{\sqrt{1+\gsin^2 x}}$
6. $f(x)=\dfrac{2xe^x -e^x}{2x\sqrt{x}}$

Να προσδιοριστεί παράγουσα της συνάρτησης $f$, όταν:

1. $f(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$
2. $f(x)=-\dfrac{1+e^x}{e^{2x}}$
3. $f(x)=x\cdot 5^{x^2 +\pi}$
4. $f(x)=(1-x)^{100}x$
5. $f(x)=\dfrac{x^3-x^2-x-2}{x-2}$
6. $f(x)=e^{x+1+\ln(x+1)}$

Η συνάρτηση $F$ με τύπο $F(x)=\dfrac{x}{e^x}+(x+1)^2$ είναι παράγουσα της συνάρτησης $f$ στο $\mathbb{R}$. Να προσδιοριστεί η $f$ και παράγουσα $G$ της $f$ με $G(\ln 2)=1$.

Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση $F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με \[F(x)=\begin{cases}2x\gsin\dfrac{1}{x}-\gcos\dfrac{1}{x},& x\neq 0\\ 0,&x=0 \end{cases}\] είναι παράγουσα της συνάρτησης $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με \[f(x)=\begin{cases}x^2 \gsin\dfrac{1}{x},& x\neq 0\\ 0,&x=0 \end{cases}.\]

Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με τύπο \[f(x)=\begin{cases}x,& x \lt 0\\ x+1,&x\geq 0 \end{cases}\] δεν διαθέτει παράγουσα.

Έστω η συνάρτηση $f(x)= \dfrac{1}{\sqrt{2x-x^2}}$ και $F$ παράγουσα της συνάρτησης $f$. Αποδείξτε ότι η $F$ δεν διαθέτει ακρότατα.

Να προσδιορίσετε παράγουσα της συνάρτησης $f(x)= 3x^2-6x$ ώστε να διαθέτει τοπικό ακρότατο επί του άξονα $x^{\prime}x$.

Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ όταν $f^{\prime\prime}(x)=e^x$, για κάθε $x\in\mathbb R$, στις παρακάτω περιπτώσεις:

1. Η εξίσωση εφαπτομένης της $C_f$ στο σημείο επαφής $\mathrm{A}(0,f(0))$ είναι η $y=2x+1$.
2. Η $f$ διαθέτει στο $x_0=0$ τοπικό ακρότατο το 2.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x)=\dfrac{1}{x^2 -4x+3}$, $x\in\mathbb{R}\setminus\{1,3\}$.

1. Να προσδιοριστούν $\mathrm{A},\mathrm{B}\in\mathbb{R}$ με $f(x)=\dfrac{\mathrm{A}}{x-1}+\dfrac{\mathrm{B}}{x-3}$, για $x\in\mathbb{R}\setminus\{1,3\}$.
2. Να προσδιοριστεί παράγουσα $F$ της $f$ με $F(2)=0$.

Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, αν $f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{1}{\sqrt[5]{x}}$, για κάθε $x \gt 0$, και η ευθεία με εξίσωση $y=2x-3$ είναι ασύμπτωτη της $C_f$ στο $+\infty$.

Έστω συνάρτηση $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει \[2f(x)+xf\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{x^{12}+2}{x^{10}+x},\tag{$\ast$}\] για κάθε $x \gt 0$.

1. Να αποδείξετε ότι $f(x)=\dfrac{1}{x^{10}+x}$, για κάθε $x \gt 0$.
2. Να προσδιορίσετε παράγουσα της $f$.

Έστω η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με $f\left(\frac{1}{2}\right)=1$. Έστω επίσης $F$ παράγουσα της $f$ με \[f(x)F(1-x)=1,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Αποδείξτε ότι $F\left(\frac{1}{2}\right)=1$.
2. Αποδείξτε ότι $F(x)F(1-x)=1$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.
3. Αποδείξτε ότι $f(x)=F(x)$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.
4. Προσδιορίστε τον τύπο της $f$.

Έστω συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ και $F$ παράγουσά της. Για την $F$ υποθέτουμε ότι είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με $F^{\prime\prime}(x)\neq 0$ και \[F(x)=F(x-2),\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι $1-1$.
2. Να επιλύσετε την εξίσωση $f(x)=0$.

Έστω συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με $f(0)=1$ και $F$ παράγουσα της $f$, με \[f(x)F(x)=-e^{-2x},\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Να προσδιοριστεί ο τύπος της $f$.

Έστω συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με $f(1)=1$ και $F$ παράγουσα της $f$, με \[f(x)=e^{x-F(x)},\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Να προσδιοριστεί ο τύπος της $f$.

Έστω η συνάρτηση $f(x)=\sqrt{1+x^2}$ και $F$ παράγουσά της. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η $F$ είναι κυρτή ή κοίλη και τις θέσεις των σημείων καμπής της $C_f$.

Ένα σώμα κινείται πάνω σε άξονα και η ταχύτητα του κάθε χρονική στιγμή $t$ σε $\mathrm{s}$ είναι $v(t)=t^2-t-2$, σε $\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Να προσδιορίσετε τη θέση του σώματος $x(t)$, τη χρονική στιγμή $t=3\,\mathrm{s}$, αν τη χρονική στιγμή $t=0\,\mathrm{s}$ ήταν στην αρχή των αξόνων.

Μια πέτρα ρίχνεται κατακόρυφα προς τα κάτω από γέφυρα, τη στιγμή $t=0\,\mathrm{s}$, με ταχύτητα $v(t)=9,8t+8$, σε $\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Σε πόσο βάθος θα πέσει στα πρώτα $4\,\mathrm{s}$;

Ο ρυθμός αύξησης ενός πληθυσμού μικροοργανισμών κατά την χρονική στιγμή $t$ σε $\mathrm{s}$ ισούται με $N_0 3^t$, όπου $N_0$ ο πληθυσμός κατά την χρονική στιγμή $t=0\,\mathrm{s}$. Να προσδιοριστεί ο πληθυσμός $N(t)$ σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή $t$.

O ρυθμός μεταβολής του όγκου εισπνεομένου αέρα (σε $\mathrm{l}$) μίας πλήρους εισπνοής δίνεται από τον τύπο \[V^{\prime}(t)=\dfrac{1}{2}\gsin\left(\dfrac{2\pi t}{5}\right),\] όπου $t\in [0,2]$ (σε $\mathrm{s}$). Να υπολογιστεί ο όγκος του εισπνεομένου αέρα σε μία πλήρη εισπνοή.

Σε μια γεώτρηση, ο ρυθµός άντλησης πετρελαίου δίνεται από τον τύπο \[R^{\prime}(t)=20+10t-\dfrac{3}{4}t^2,\] όπου $R(t)$ είναι το πλήθος, σε χιλιάδες, βαρελιών που αντλήθηκαν στους $t$ πρώτους µήνες λειτουργίας. Να προσδιορίσετε πόσα βαρέλια θα έχουν αντληθεί τους 8 πρώτους µήνες λειτουργίας.

Η θερµοκρασία $T$ ενός σώµατος ελαττώνεται µε ρυθµό $-\kappa\alpha e^{-\kappa t}$, όπου $\alpha,\kappa$ θετικές σταθερές και $t$ ο χρόνος. Η αρχική θερµοκρασία $T(0)$ του σώµατος είναι $T_0 +\alpha$. Να προσδιοριστεί η θερµοκρασία του σώµατος τη χρονική στιγµή $t$.

Η είσπραξη $E(x)$, από πώληση $x$ µονάδων ενός προϊόντος ($0\leq x\leq 100$) µιας βιοµηχανίας, µεταβάλλεται µε ρυθµό $E^{\prime}(x)=100-x$ (σε χιλιάδες € ανά µονάδα προϊόντος), ενώ ο ρυθµός µεταβολής του κόστους παραγωγής είναι σταθερός και ισούται µε 2 (σε χιλιάδες € ανά µονάδα προϊόντος). Να προσδιοριστεί το κέρδος της βιοµηχανίας από την παραγωγή $100$ µονάδων προϊόντος, υποθέτοντας ότι το κέρδος είναι µηδενικό όταν η βιοµηχανία δεν παράγει προϊόντα.

Από την πώληση ενός νέου προϊόντος µιας εταιρείας διαπιστώθηκε ότι ο ρυθµός µεταβολής του κόστους $K(t)$ εκφράζεται από τον τύπο $K^{\prime}(t)=800-0,6t$ (σε εκατοντάδες € ανά ηµέρα), ενώ ο ρυθµός µεταβολής της είσπραξης $E(t)$ στο τέλος $t$ ηµερών εκφράζεται από τον τύπο $E^{\prime}(t)=1000+0,3t$ (σε εκατοντάδες € ανά ηµέρα). Να προσδιορίσετε το συνολικό κέρδος της εταιρείας από την τρίτη έως και την έκτη ηµέρα παραγωγής.

Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f(x) = 2x + 4$, $g(x) = 2$, και µε τη βοήθεια αυτών να υπολογίσετε τα ολοκληρώµατα:

1. $\dint_{-2}^{1}f (x)dx$
2. $\dint_{-2}^{1}g (x)dx$
3. $\dint_{-2}^{1}2f (x) − 5g(x)dx$

Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f(x) = x + 1$, $g(x) =-x+2$, και µε τη βοήθεια αυτών να υπολογίσετε τα ολοκληρώµατα:

1. $\dint_{0}^{2}f (x)dx$
2. $\dint_{0}^{2}g (x)dx$
3. $\dint_{-2}^{1}2g (x) − 3f(x)dx$

∆ίνεται η συνάρτηση $f (x) =\sqrt{4-x^2}$. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της $f$ και στη συνέχεια να υπολογίσετε τα ολοκληρώµατα:

1. $\dint_{0}^{2}f (x)dx$
2. $\dint_{-2}^{2}f (x)dx$
3. $\dint_{\sqrt{3}}^{2}f(x)dx$

Με τη βοήθεια των γραφικών παραστάσεων των αντίστοιχων συναρτήσεων, να υπολογίσετε τα ολοκληρώµατα:

1. $\dint_{0}^{2\pi}\gsin x\, dx$
2. $\dint_{0}^{3}-x+1\,dx$
3. $\dint_{0}^{3}x-2\,dx$

Αν για τη συνεχή στο $\mathbb R$ συνάρτηση είναι γνωστό ότι \[\begin{align} \dint_{1}^{5}f(x)dx&=2,\\[1ex] \dint_{7}^{10}f(x)dx&=3,\\[1ex] \dint_{10}^{1}f(x)dx&=-4, \end{align}\] να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα:

1. $\dint_{5}^{10}f(x)dx$
2. $\dint_{1}^{7}f(x)dx$
3. $\dint_{5}^{7}f(x)dx$

Αν για τη συνεχή στο $\mathbb R$ συνάρτηση είναι γνωστό ότι \[\begin{array}{ll} \dint_{7}^{4}f(x)dx=-2,&\dint_{0}^{9}f(x)dx=6,\\[1ex] \dint_{0}^{10}f(x)dx=8,&\dint_{4}^{10}f(x)dx=5, \end{array}\] να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα:

1. $\dint_{0}^{4}f(x)dx$
2. $\dint_{9}^{10}f(x)dx$
3. $\dint_{7}^{9}f(x)dx$

Αν για τη συνεχή στο $\mathbb R$ συνάρτηση είναι γνωστό ότι \[\begin{align} \dint_{1}^{4}f(x)dx&=9,\\[1ex] \dint_{3}^{4}f(x)dx&=11,\\[1ex] \dint_{1}^{8}f(x)dx&=13, \end{align} \] να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα:

1. $\dint_{4}^{3}f(x)dx$
2. $\dint_{4}^{8}f(x)dx$
3. $\dint_{1}^{3}f(x)dx$
4. $\dint_{3}^{8}f(x)dx$.

Για τυχούσα συνεχή στο $\mathbb R$ συνάρτηση αποδείξτε ότι

Αποδείξτε ότι:

1. $\dint_{1}^{4}\!\!\dfrac{3x^2+10}{x^2+2}dx-\dint_{1}^{4}\!\!\dfrac{4}{x^2+2}dx=9$
2. $\dint_{0}^{3}\!\!\dfrac{2x^3-1}{x^2+1}dx-\dint_{3}^{0}\!\!\dfrac{2x-x^2}{x^2+1}dx=6$
3. $\dint_{0}^{1}\!\!\dfrac{x^2+2}{x^2+1}dx+\dint_{1}^{0}\!\!\!\dfrac{1}{x^2+1}dx=1$

Αν $\dint_1^3 f (x)dx=5$ και $\dint_1^3 g(x)dx=-2$, να υπολογίσετε τα ολοκληρώµατα:

1. $\dint_1^3 2f (x)-6g(x)dx$
2. $\dint_3^1 4f (x)-g(x)dx$

Η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο διάστημα $[2,5]$ και ισχύει $\dint_{2}^{5}f(x)dx =-1$. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\dint_{2}^{5}g(x)dx$ όπου $g(x)= f(x)-6x+10$.

Η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής και μη αρνητική στο $\mathbb{R}$. Αποδείξτε ότι:

1. $\dint_{-1}^9 f (x)dx\geq\dint_0^8 f (x)dx$
2. $\dint_3^1 f (x)dx\leq\dint_2^1 f (x)dx$

Η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ με \[\dint_\alpha^\beta f (x)dx =\dint_\gamma^\delta f (x)dx,\tag{$\ast$}\] όπου $\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R}$. Αποδείξτε ότι $\dint_\alpha^\gamma f (x)dx =\dint_\beta^\delta f (x)dx$.

Αν η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο $[0,13]$, να αποδείξετε τις ανισότητες:

1. $\dint_0^4 f(x)dx \lt \dint_9^{13} f(x)dx$
2. $\dint_0^4 f(x)dx \lt \dint_1^5 f(x)dx$

Αν η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb R$, να αποδείξετε τις ανισότητες, για κάθε $\alpha\in\mathbb R$:

1. $\dint_{\alpha}^{\alpha+2} f(x)dx \gt \dint_{\alpha+2}^{\alpha+4} f(x)dx$
2. $\dint_{\alpha-1}^{\alpha} f(x)dx \lt \dint_{\alpha-4}^{\alpha-3} f(x)dx$

Αποδείξτε ότι $\dint_{2}^{5}\dfrac{1}{x^2 +1}dx\leq\dint_{2}^{5}\dfrac{x}{10}dx$.

Αν $-1\leq\alpha\leq \beta$, να αποδείξετε ότι $\dint_{\alpha}^{\beta}\sqrt{1+x}\,dx\leq\dint_{\alpha}^{\beta}\dfrac{x}{2}+1\,dx$.

Για κάθε $\alpha\in [1,+\infty)$ αποδείξτε ότι \[\dint_{\alpha-1}^{\alpha} \sqrt{x}\,dx\leq\sqrt{\alpha}\leq\dint_{\alpha}^{\alpha+1}\sqrt{x}\,dx.\]

Έστω $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\alpha \lt \beta$. Αν $f:[\alpha,\beta]\to\mathbb{R}$ είναι συνεχής συνάρτηση με $\dint_{\alpha}^{\beta}f(x)dx=0$, να αποδειχθεί ότι η $f$ διαθέτει ρίζα στο $[\alpha,\beta]$.

(Άμεση Ολοκλήρωση)

Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα:

1. $\dint_{1}^{2}3x^{2}+6x-7\,dx$
2. $\dint_{1}^{2}\dfrac{x^{3}+2x^{2}-x+1}{x}dx$
3. $\dint_{0}^{1}2x-\gcos\pi x+e^{x}dx$
4. $\dint_{-1}^{0}\dfrac{2x+5}{2x+3}dx$
5. $\dint_{0}^{1}(2x+1)(\sqrt{x}-1)dx$
6. $\dint_{0}^{2}e^{-2x+5}dx$

(Άμεση Ολοκλήρωση)

Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα:

1. $\dint_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\gtan x\,dx$
2. $\dint_{1}^{2}-\dfrac{2}{x^{3}}+6x\,dx$
3. $\dint_{0}^{2}\frac{x+3}{x+1}dx$
4. $\dint_{0}^{1}(x+\sqrt{x})^{2}dx$
5. $\dint_{0}^{\frac{\pi}{2}}\gsin x+x\gcos x\,dx$
6. $\dint_{-1}^{0}\dfrac{3x}{x^{2}+1}dx$

(Άμεση Ολοκλήρωση)

Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα:

1. $\dint_{0}^{1}x\sqrt{x^{2}+1}\,dx$
2. $\dint_{0}^{1}x\sqrt[3]{x^{2}+4}\,dx$
3. $\dint_{0}^{2}|x-1|\,dx$
4. $\dint_{-2}^{2}|1-x^{2}|\,dx$
5. $\dint_{0}^{1}\dfrac{3x-2}{x^{2}+5x+6}dx$
6. $\dint_{0}^{1}\frac{x+2}{x^{2}+4x+3}dx$

(Άμεση Ολοκλήρωση)

Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα:

1. $\dint_{1}^{2}(3x^2+1)(x^3+x+1)^3 dx$
2. $\dint_{-2}^{0}x(2x^2 -1)^3 dx$
3. $\dint_{0}^{2} \dfrac{4x+2}{x^2 +x+8}dx$
4. $\dint_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\gsin x-x\gcos x}{\gsin^2 x}dx$
5. $\dint_{0}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\gsin x}{\sqrt{\gcos x}}dx$
6. $\dint_{0}^{\frac{\pi}{4}}\gtan 2x\,dx$

Αφού αποδειχθεί ότι είναι συνεχείς (όταν χρειάζεται), να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα των παρακάτω συναρτήσεων $f$ στα αντίστοιχα διαστήματα:

1. $f(x)=\begin{cases}3x^2-16,& x \lt 3\\ 4x-1, &x\geq 3\end{cases}$, $[0,4]$
2. $f(x)=\begin{cases}4x^3 +1,& x\leq 1\\ 6-x, &x \gt 1\end{cases}$, $[-1,2]$
3. $f(x)=\begin{cases}x^3,& x\leq 1\\ 2-x, &x \gt 1\end{cases}$, $[0,2]$
4. $f(x)=\begin{cases}e^x -ex,& x\leq 1\\ x\ln x, &x \gt 1\end{cases}$, $[0,2]$

Αφού αποδειχθεί ότι είναι συνεχείς (όταν χρειάζεται), να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα των παρακάτω συναρτήσεων $f$ στα αντίστοιχα διαστήματα:

1. $f(x)=\begin{cases}x + e^x,& x\leq 0\\ \gcos x,& x \gt 0\end{cases}$, $[-1,\pi]$
2. $f(x)=\begin{cases}xe^x + e^x, & x\leq -1\\ e^{x+1}-1, & x \gt -1\end{cases}$, $[-2,0]$
3. $f(x)=|x^2-x-2|$, $[-2,2]$
4. $f(x)=|x^3-2x^2|$, $[-1,3]$

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x)=\dfrac{2x+1}{x^2 (x+1)}$, $x\in\mathbb{R}\setminus\{-1,0\}$.

1. Να προσδιοριστούν $\text{A},\text{B},\Gamma\in \mathbb{R}$ ώστε $f(x)=\dfrac{\text{A}}{x}+\dfrac{\text{B}}{x^2}+\dfrac{\Gamma}{x+1}$, για κάθε $x\in\mathbb{R}\setminus\{-1,0\}$.
2. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\dint_{1}^{2}f(x)dx$.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f$ με τύπο $f(x)=\dfrac{5x^2+6x+7}{x^3+x^2+x-3}$.

1. Να προσδιοριστεί το πεδίο ορισμού της.
2. Να προσδιοριστούν $\text{A},\text{B},\Gamma\in \mathbb{R}$ ώστε $f(x)=\dfrac{\text{A}}{x-1}+\dfrac{\text{B}x+\Gamma}{x^2+2x+3}$, για κάθε $x\in\mathbb{R}\setminus\{1\}$.
3. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\dint_{-1}^{0}f(x)dx$.
4. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\dint_{-1}^{0}\dfrac{x^4 +3x^2-2x+4}{x^3+x^2+x-3}dx$.

Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x)=6x^2 -20x+5$ και $g(x)=3x^2-x+1$.

1. Να προσδιοριστούν $\text{A},\text{B}\in\mathbb{R}$ με $f(x)=\text{A} g(x)+\text{B}g^{\prime}(x)$, για κάθε $x\in \mathbb{R}$.
2. Να υπολογιστεί το $\dint_0^1 \dfrac{f(x)}{g(x)}dx$.

Έστω η συνάρτηση $f(x)=\ln\big(x+\sqrt{x^2+1}\,\big)$.

1. Να προσδιοριστεί το πεδίο ορισμού.
2. Να υπολογιστεί η παράγωγος της $f$.
3. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\dint_{0}^{1}\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx$.

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\dint_{3}^{5}|\alpha-x|\,dx$ στις περιπτώσεις:

1. $\alpha\geq 5$,
2. $\alpha\leq 3$,
3. $\alpha\in (3,5)$.

Να προσδιορίσετε την παράγωγο της συνάρτησης $f(x)=\dfrac{x^3}{(x^2+1)^2}$ και στην συνέχεια το ολοκλήρωμα $\dint_{0}^{1}\dfrac{x^4+3x^2}{(x^2+1)^2}dx$.

Έστω τα ολοκληρώματα $I=\dint_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\gsin x}{\gsin x+\gcos x}dx$, $J=\dint_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\gcos x}{\gsin x+\gcos x}dx$. Να υπολογίσετε τα $I+J$, $I-J$, $I$, $J$.

Αν $\alpha \gt 0$, να αποδείξετε ότι $\dint_{0}^{1}x^{\alpha}+x^{\frac{1}{\alpha}}\,dx=1$.

Να αποδείξετε ότι $e+\dint_1^2\dfrac{e^x}{x}dx=\dfrac{1}{2}e^2 +\dint_1^2\dfrac{e^x}{x^2}dx$.

Για $\nu\in\mathbb{N}$ θεωρούμε το ολοκλήρωμα $I_{\nu}=\dint_{0}^{1}\dfrac{x^{2\nu+1}}{1+x^2}dx$.

1. Να υπολογίσετε το άθροισμα $I_{\nu}+I_{\nu+1}$, $\nu\in\mathbb{N}$.
2. Να υπολογίσετε τα $I_0$, $I_1$, $I_2$.

Να προσδιοριστεί η συνεχής στο $\mathbb R$ συνάρτηση $f$, όταν, για κάθε $x\in\mathbb R$, ισχύει:

1. $f(x)=x^2 +x^3\cdot\dint_{0}^{1}f(t)\,dt$
2. $\dint_{0}^{1}e^{1-t}f(t)\,dt=f(x)+e^x$
3. $f(x)=-6x+\dint_0^4 f(t)\,dt$
4. $f(x)=3x^2 -6x\cdot\dint_0^1 f(t)\,dt$

Θεωρούμε τη συνεχή στο $[0,1]$ συνάρτηση $f$. Να προσδιοριστεί ο τύπος της, όταν: $$\dint_{0}^{1}f^2(x)dx+\dfrac{1}{3}=2\dint_{0}^{1}xf(x)dx$$

Θεωρούμε τη συνεχή στο $[0,1]$ συνάρτηση $f$. Να προσδιοριστεί ο τύπος της, όταν: $$\dint_{0}^{1}f^2(x)dx+\dfrac{e^2 -1}{2}=2\dint_{0}^{1}e^x f(x)dx$$

Έστω η συνάρτηση $f(x)=e^x$. Να επιλυθούν ως προς $t$ οι εξισώσεις:

1. $\dint_{0}^{1+t}f(x)\,dx=3$
2. $\dint_{0}^{1}f(x+t)\,dx=3$
3. $\dint_{0}^{1}tf(x)\,dx=3$

Αν $f$ είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση με συνεχή παράγωγο στο $\mathbb{R}$ και $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $f(\alpha)=2$ και $f(\beta)=0$, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\dint_{\alpha}^{\beta}f(x)f^{\prime}(x)dx$.

Αν η μη μηδενική συνάρτηση $f$ διαθέτει συνεχή παράγωγο στο $[-1,5]$ και $f(-1)=1$, $f(5)=\frac{1}{2}$, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\dint_{-1}^5\dfrac{f^{\prime}(x)}{f^{2}(x)}dx$.

Για συνεχή στο $[-1,1]$ συνάρτηση $f$, υπολογίστε το ολοκλήρωμα \[\dint_{0}^{\pi} f(\gsin x) \gcos x\,dx.\]

Έστω συνεχής συνάρτηση $f$, με $f(x)\leq 6$, για κάθε $x\in[1,4]$. Αποδείξτε ότι: \[\dint_1^4 xf(x)dx\leq 45.\]

Να επιλυθεί ως προς $\alpha\in\mathbb{R}$ η ανίσωση $\dint_{1}^{\alpha}\alpha-4x\,dx\geq 6-5\alpha$.

Να προσδιορίσετε τις τιμές του $\alpha \gt 0$ για τις οποίες ισχύει $\dint_{0}^{\alpha}2-4x+3x^2 \,dx\leq\alpha$.

Έστω η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{x^2 +5}{x^2 +2}$, ορισµένη στο διάστημα $[0,2]$.

1. Να µελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς µονοτονία και ακρότατα.
2. Να αποδείξετε ότι $3 \lt \dint_0^2 \dfrac{x^2 +5}{x^2 +2}dx \lt 5$.

Έστω $\alpha \gt 0$.

1. Αποδείξτε ότι $1-x^\alpha\leq\sqrt{1-x^\alpha}\leq 1-\dfrac{1}{2}x^\alpha$, για κάθε $x\in[0,1]$.
2. Αποδείξτε ότι $\dfrac{\alpha}{\alpha+1}\leq\dint_0^1 \sqrt{1-x^\alpha}\,dx\leq\dfrac{2\alpha+1}{2\alpha+2}$.
3. Να προσδιορίσετε το $\lim\limits_{a\to +\infty}\dint_0^1 \sqrt{1-x^\alpha}\,dx$.

Αποδείξτε τις ανισότητες:

1. $\dint_{-1}^{0}\sqrt{x^2-4x}\,dx\leq\sqrt{5}$
2. $\dint_{-1}^{2}\ln(x^2+e^2)dx\geq 6$
3. $\dint_{0}^{3}e^{x^2-2x}dx\leq 3e^3$
4. $\dint_{0}^{\pi}\dfrac{1}{1+\gcos^4 x}dx\leq\pi$
5. $\dint_{1}^{2}e^{\gcos x}dx\leq e$
6. $\dfrac{3}{2}\leq\dint_{1}^{2}\dfrac{2x}{1+\gsin^6 x}dx\leq 3$
7. $\dint_{-1}^{2}\dfrac{x}{e^x}dx\leq\dfrac{3}{e}$
8. $\dfrac{1}{4}\leq\dint_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\dfrac{\gcos x}{x}dx\leq\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
9. $\dint_{0}^{3\pi}\dfrac{1}{2+\gcos^2 x}dx\geq\pi$

Έστω συνάρτηση $f$ με συνεχή παράγωγο στο $[0,1]$ και $f(0)=0$, $f(1)=1$. Αποδείξτε ότι $$\dint_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)-f(x)\right|dx\geq\dfrac{1}{e}.$$

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x)=\ln(1+x)$, $x\in[0,1]$.

1. Αποδείξτε ότι $x-x^2\leq f(x)\leq x$, για κάθε $x\in[0,1]$.
2. Αποδείξτε ότι $\dfrac{1}{6}\leq\dint_0^1 f(x)dx\leq\dfrac{1}{2}$.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x)=e^{x^2-x}$.

1. Προσδιορίστε το σύνολο $f([0,2])$.
2. Αποδείξτε ότι $\dfrac{2}{\sqrt[4]{e}}\leq\dint_0^2 e^{x^2-x}\,dx\leq 2e^2$.

Η συνάρτηση $f$ διαθέτει συνεχή παράγωγο στο διάστηµα $[0, \pi]$, $f(\pi)=e^{−\pi}$ και \[\dint_{0}^{\pi}\left(f(x)+f^{\prime}(x)\right)e^x dx=2.\tag{$\ast$}\] Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ διέρχεται από το σηµείο $\mathrm{A}(0,−1)$.

Η συνάρτηση $f$ διαθέτει συνεχή παράγωγο στο $[\alpha, \beta]$ και ικανοποιεί την ισότητα \[\dint_{\alpha}^{\beta}f^{\prime}(x)e^{f(x)} dx=0.\tag{$\ast$}\] Αποδείξτε ότι η γραφική παράσταση της $f$ διαθέτει παράλληλη στον άξονα $x^{\prime}x$ εφαπτoµένη.

Έστω $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\alpha \lt \beta$ και $f$ συνεχής στο $[\alpha,\beta]$ συνάρτηση. Θεωρούμε το ολοκλήρωμα $$I=\dint_{\alpha}^{\beta}f^2 (x)-2xf(x)\,dx.$$ Να προσδιοριστεί η $f$ ώστε το $I$ να λαμβάνει την ελάχιστη δυνατή τιμή.

Θεωρούμε τη συνεχή στο $[0,1]$ συνάρτηση $f$ για την οποία ισχύει \[\dint_0^1 f(x)dx=\dint_0^1 f^2(x)dx=1.\tag{$\ast$}\] Αποδείξτε ότι $f(x)=1$, για κάθε $x\in[0,1]$.

Θεωρούμε τη συνεχή στο $[1,2]$ συνάρτηση $f$ για την οποία ισχύει Να προσδιοριστεί ο τύπος της $f$.

Αν η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο διάστημα $[0,\pi]$ με $\dint_{0}^{\pi}f(x)dx=2$, να αποδειχθεί ότι υπάρχει $\xi\in[0,\pi]$ με $f(\xi)=\gsin\xi$.

(Κατά παράγοντες)

Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα:

1. $\dint_{0}^{1} xe^x dx$
2. $\dint_{0}^{1}xe^{2x}dx$
3. $\dint_{-1}^{1}(x+1)e^{-x}dx$
4. $\dint_{0}^{1}x^{2}e^{x}dx$
5. $\dint_{0}^{1}(xe^x)^2 dx$
6. $\dint_{0}^{1}x^{3}e^{4x}dx$

(Κατά παράγοντες)

Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα:

1. $\dint_{0}^{1}x^{2}e^{-x}dx$
2. $\dint_{1}^{2}(x-1)^{2}e^{3x}dx$
3. $\dint_{-1}^{1}(3x^{2}-2x)e^{2x}dx$
4. $\dint_{\frac{1}{2}}^{0}2xe^{2x+1}dx$
5. $\dint_{0}^{2}(2x+5)e^{\frac{1}{2}x}\,dx$
6. $\dint_{0}^{1}(2x+1)e^{x+1}dx$

(Κατά παράγοντες)

Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα:

1. $\dint_{1}^{e}\ln x\,dx$
2. $\dint_{1}^{2}x\ln x\,dx$
3. $\dint_{1}^{e}x^{2}\ln x\,dx$
4. $\dint_{1}^{2}(3x^{2}+4x+2)\ln x\,dx$
5. $\dint_{1}^{2}\dfrac{\ln x}{x^{2}}dx$
6. $\dint_{1}^{2}\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}dx$

(Κατά παράγοντες)

Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα:

1. $\dint_{0}^{\pi}x\gsin\,x dx$
2. $\dint_{0}^{\frac{\pi}{4}}2x\gcos 2x\,dx$
3. $\dint_{0}^{\frac{\pi}{2}}2x^{2}\gsin 2x\,dx$
4. $\dint_{0}^{\frac{\pi}{4}}x\gsin 2x\,dx$
5. $\dint_{0}^{\frac{\pi}{2}}(2x+1)\gsin x\,dx$
6. $\dint_{0}^{\pi}(x+2)\gcos\dfrac{x}{2}dx$

(Κατά παράγοντες)

Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα:

1. $\dint_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{x}\gsin x\,dx$
2. $\dint_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{x}\gcos x\,dx$
3. $\dint_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x}\gsin 2x\,dx$
4. $\dint_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x}\gcos 2x\,dx$
5. $\dint_{0}^{\frac{\pi}{6}}e^{-x}\gsin 3x\,dx$
6. $\dint_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{3x}\gsin 2x\,dx$

Έστω συνάρτηση $f$, με συνεχή στο διάστημα $[0,1]$ παράγωγο. Αν ισχύει να υπολογίσετε το $f(1)$.

Έστω συνάρτηση $f$, με συνεχή στο διάστημα $[0,1]$ δεύτερη παράγωγο. Αποδείξτε ότι \[\dint_0^1 f^{\prime}(1)-f^{\prime}(x)\,dx=\dint_0^1 xf^{\prime\prime}(x)\,dx.\]

Θεωρούμε συνάρτηση $f$ με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο $\mathbb R$. Αν η $f$ διαθέτει ως τοπικό ακρότατο το $f(1)=0$, αποδείξτε ότι \[\dint_0^1 x^2 f^{\prime\prime}(x)\,dx=2\dint_0^1 f(x)\,dx.\]

Αν η συνάρτηση $f$ διαθέτει συνεχή παράγωγο στο διάστηµα $[0,1]$ και να υπολογίσετε το $f(1)$.

Έστω συνάρτηση $f$ με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο $\mathbb R$. Αν $\dint_1^e \dfrac{f(x)}{x^2}\,dx=\dfrac{1}{2}$ και $f(1)=f(e)=f^{\prime}(e)=1$, να υπολογίσετε το $\dint_1^e f^{\prime\prime}(x)\ln x\,dx$.

Έστω παραγωγίσιμη στο $\mathbb R$ συνάρτηση $f$. Αν είναι γνωστό ότι \[\begin{align} \dint_0^1 f(x)f^{\prime}(x)\,dx&=0,\\[1ex] \dint_0^1 f^2 (x)f^{\prime}(x)\,dx&=18, \end{align}\tag{$\ast$}\] να υπολογίσετε το $\dint_0^1 f^4 (x)f^{\prime}(x)dx$.

Αν η συνάρτηση $f$ διαθέτει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο διάστημα $[0,\pi]$ και ισχύουν $f(\pi)=5$, \[\dint_{0}^{\pi}\big(f(x)+f^{\prime\prime}(x)\big)\gsin x\,dx =2,\tag{$\ast$}\] να υπολογιστεί το $f(0)$.

Η συνάρτηση $f$ διαθέτει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο διάστημα $[0,1]$ και ισχύουν $f(0)=f^{\prime}(0)$ και $f(1)=f^{\prime}(1)$. Αποδείξτε ότι \[\dint_{0}^{1}e^{-x}\left(f^{\prime\prime}(x)-2f^{\prime}(x)+f(x)\right)\,dx =0.\]

Έστω συνάρτηση $f$ ορισµένη στο $\mathbb{R}$ για την οποία ισχύουν τα εξής:

• η $f$ διαθέτει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο $\mathbb{R}$,
• η $f$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σηµείο $x_0=2$,
• η γραφική παράσταση της $f$ διέρχεται από το σηµείο $\mathrm{A}(0,1)$.

Αν \[\dint_{0}^{2}x f^{\prime\prime}(x)+3 f(x)\,dx=-\dfrac{8}{3},\tag{$\ast$}\] να υπολογίσετε το $f(2)$.

Να προσδιοριστεί η συνεχής συνάρτηση $f$ για την οποία ισχύει η σχέση \[\dint_{0}^{1}e^{1-t}f(t)\,dt=f(x)+e^x,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$

Αν η συνάρτηση $f$ διαθέτει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο διάστημα $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ με $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=3$ και να υπολογίσετε το $f^\prime(0)$.

Αν για τη συνάρτηση $f$ με συνεχή παράγωγο στο $[0,+\infty)$ ισχύει \[\dfrac{x}{2}\leq f(x)\leq xf^{\prime}(x),\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\geq 0$, αποδείξτε ότι $\dfrac{1}{4}\leq\dint_{0}^{1}f(x)\,dx\leq\dfrac{f(1)}{2}$.

Έστω συνάρτηση $f$, με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο διάστημα $[0,3]$. Θεωρούμε τη συνάρτηση $g$ με τύπο Αποδείξτε ότι $\dint_0^3 g(x)\,dx=0$.

Έστω συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με συνεχή δεύτερη παράγωγο. Αν η συνάρτηση $f$ διαθέτει τοπικά ακρότατα στο $0$ το $1$ και στο $1$ το $0$, αποδείξτε ότι $\dint_0^1 \dfrac{f^{\prime\prime}(x)-f(x)}{e^x}\, dx=-1$.

Για $\nu\in\mathbb{N}$ θεωρούμε το ολοκλήρωμα $I_\nu=\dint_{0}^{1} x^\nu e^x dx$.

1. Αποδείξτε ότι $I_\nu=e-(\nu-1)I_{\nu-1}$, για κάθε $\nu\in\mathbb{N}^{\ast}$.
2. Υπολογίστε το $I_3$.

Για $\nu\in\mathbb{N}$ θεωρούμε το ολοκλήρωμα $I_\nu=\dint_{0}^{\frac{\pi}{2}} \gsin^\nu x\,dx$.

1. Αποδείξτε ότι $I_\nu=\dfrac{\nu-1}{\nu}I_{\nu-2}$, για κάθε $\nu\in\mathbb{N}$ με $\nu\geq 2$.
2. Υπολογίστε το $I_4$.

Για $\nu\in\mathbb{N}$ θεωρούμε το ολοκλήρωμα $I_\nu=\dint_{1}^{e} x\ln^\nu x\,dx$.

1. Να προσδιορίσετε αναδρομική σχέση υπολογισμού για το $I_\nu$, $\nu\in\mathbb{N}$.
2. Υπολογίστε το $I_3$.

Αν η συνάρτηση $f$ διαθέτει συνεχή παράγωγο στο $[0,\alpha]$, όπου $\alpha \gt 0$, και $f(\alpha)=2$, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $I=\dint_0^\alpha x\left(x f^{\prime}(x)+2f(x)\right)dx$.

Έστω $f$ παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ συνάρτηση με $f(0)=0$ και \[4f(x)+f^{\prime}(x)=\dint_0^1 f(t)\,dt,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Να προσδιοριστεί ο τύπος της $f$.

Έστω $f$ συνεχής στο $[0,+\infty)$ και παραγωγίσιμη στο $(0,+\infty)$ συνάρτηση με $f(1)=3$ και \[xf^{\prime}(x)=f(x)+\dint_0^1 f(t)\,dt,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x \gt 0$. Να προσδιοριστεί ο τύπος της $f$.

(Αντικατάσταση)

Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα:

1. $\dint_{0}^{1}(x+2)(x-1)^{5}dx$
2. $\dint_{0}^{1}\dfrac{x}{(x+1)^{3}}dx$
3. $\dint_{-1}^{2}\dfrac{x}{\sqrt{x+2}}dx$
4. $\dint_{9}^{16}\dfrac{\sqrt{x}}{x-4}dx$
5. $\dint_{0}^{1}\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}dx$
6. $\dint_{2}^{5}\dfrac{x^{2}+1}{\sqrt{x-1}}dx$

(Αντικατάσταση)

Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα:

1. $\dint_{1}^{2}\dfrac{1}{x^{4}}\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{3}}}\,dx$
2. $\dint_{0}^{1}\dfrac{1}{e^{x}+1}dx$
3. $\dint_{-1}^{1}\dfrac{x^{2}}{e^{x}+1}dx$
4. $\dint_{0}^{\ln 2}e^{x}\sqrt{e^{x}+2}\,dx$
5. $\dint_{1}^{e^{5}}\dfrac{1}{\sqrt{4+\ln x}}dx$
6. $\dint_{1}^{e}\dfrac{\ln x}{x}dx$

(Αντικατάσταση)

Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα:

1. $\dint_{0}^{1}2x\ln(x^{2}+1)dx$
2. $\dint_{1}^{e^{\pi}}\dfrac{\gsin(\ln x)}{x}dx$
3. $\dint_{0}^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}x^{3}\gcos(x^{2})dx$
4. $\dint_{0}^{1}\dfrac{1}{1+e^x}dx$
5. $\dint_{0}^{1}\dfrac{1}{\sqrt{1+\sqrt{x}}}dx$
6. $\dint_{2}^{7}\dfrac{x^2}{3\sqrt{x+2}}dx$

Υπολογίστε το ολοκλήρωμα $I=\dint_{-\rho}^{\rho}\sqrt{\rho^2 -x^2}\,dx$, με χρήση της αλλαγής μεταβλητής $x=\rho\gsin t$.

Έστω το ολοκλήρωμα $I=\dint_{1}^{\alpha}\sqrt{x^2-1}\,dx$.

1. Θέτοντας $u=x+\sqrt{x^2-1}$, $x\geq 1$, αποδείξτε ότι $x=\dfrac{u^2 +1}{2u}$.
2. Με χρήση της παραπάνω αλλαγής μεταβλητής, υπολογίστε το $I$.

Υπολογίστε το ολοκλήρωμα $I=\dint_{0}^{1}\frac{1}{1+x^2}dx$, με χρήση της αλλαγής μεταβλητής $x=\gtan t$.

Υπολογίστε το ολοκλήρωμα $I=\dint_{-1}^{1}\frac{x^2}{e^x +1}dx$, με χρήση της αλλαγής μεταβλητής $u=-x$.

Υπολογίστε το ολοκλήρωμα $I=\dint_{0}^{1}\frac{\ln(x+1)}{x^2+1}dx$, με χρήση της αλλαγής μεταβλητής $x=\dfrac{1-u}{1+u}$.

Για κάθε $\alpha\in(0,+\infty)$ αποδείξτε ότι:

1. $\dint_{0}^{\alpha}\!\!\sqrt{1+e^{2t}}\,dt=\!\!\dint_{1}^{e^\alpha}\dfrac{1}{t}\sqrt{1+t^2}\,dt$
2. $\dint_{-\alpha}^{\alpha}\!\dfrac{t^2}{e^{t}+1}dt=\dint_{e^{-\alpha}}^{e^\alpha}\dfrac{\ln^2 t}{t^2+t}dt$
3. $\dint_{\alpha}^{1}\!\!\dfrac{1}{1+x^2}dx=\dint_{1}^{\frac{1}{\alpha}}\!\!\dfrac{1}{1+x^2}dx$

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x^5 +x$. Να αποδείξετε ότι ορίζεται η αντίστροφη της $f$ και υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\dint_{0}^{2}f^{-1}(x)dx$.

Αν η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο διάστημα $[3,7]$, αποδείξτε ότι \[\dint_{3}^{7}f(x)\,dx=4\dint_{0}^{1}f(3+4x)\,dx.\]

Θεωρούμε τις συνεχείς στο $\mathbb{R}$ συναρτήσεις $f,g$, για τις οποίες είναι γνωστά τα παρακάτω:

• η $g$ είναι άρτια,
• $f(x) \gt -1$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$,
• $f(x)f(-x)=1$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

Αν $\alpha \gt 0$, αποδείξτε ότι $\dint_{-\alpha}^{\alpha}\dfrac{g(x)}{1+f(x)}\,dx=\dint_{0}^{\alpha}g(x)\,dx$.

Έστω $f:[-\alpha,\alpha]\to\mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση, όπου $\alpha \gt 0$.

1. Αν η $f$ είναι άρτια, αποδείξτε ότι $\dint_{-\alpha}^{\alpha}f(x)\,dx=2\dint_{0}^{\alpha}f(x)\,dx$.
2. Αν η $f$ είναι περιττή, αποδείξτε ότι $\dint_{-\alpha}^{\alpha}f(x)\,dx=0$.

Αν η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $[0,2\alpha]$, όπου $\alpha \gt 0$, και \[f(2\alpha-x)=f(x),\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in[0,2\alpha]$, αποδείξτε ότι $\dint_0^{2\alpha}f(x)\,dx =2\dint_0^{\alpha}f(x)\,dx$.

Δίνεται η συνεχής στο $\mathbb R$ συνάρτηση $f$ για την οποία ισχύει \[f(x^5 +x^3)=2x,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb R$. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\dint_{0}^{2}f(x)\,dx$.

Για τη συνεχή στο $\mathbb{R}$ συνάρτηση $f$ είναι γνωστό ότι \[f(-x)+f(x)=x^2,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb R$. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\dint_{-1}^{1}f(x)\,dx$.

Για τη συνεχή στο $\mathbb{R}$ συνάρτηση $f$ είναι γνωστό ότι $\dint_{0}^{1}f(x)dx=1$ και \[f(2x)=3f(x),\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb R$. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\dint_{0}^{2}f(x)\,dx$.

Έστω $\alpha \gt 0$ και συνεχής συνάρτηση $f$ στο $[0,\alpha]$ με \[f(x)+f(\alpha-x)\neq 0,\tag{$\ast$}\] για $x\in [0,\alpha]$. Θεωρούμε τα ολοκληρώματα \[ \begin{align} I&=\dint_{0}^{\alpha}\dfrac{f(x)}{f(x)+f(\alpha-x)}dx,\\[1ex] J&=\dint_{0}^{\alpha}\dfrac{f(\alpha-x)}{f(x)+f(\alpha-x)}dx. \end{align} \]

1. Να αποδειχθεί ότι $I=J$.
2. Να προσδιοριστεί το $I$.
3. Να προσδιοριστεί το $K=\dint_{0}^{1}\dfrac{x^4}{x^4+(1-x)^4}dx$.

Έστω $f$ συνεχής στο $\mathbb{R}$ συνάρτηση και $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\alpha \lt \beta$. Με χρήση της αλλαγής μεταβλητής $x=\alpha+\beta-t$, αποδείξτε ότι $$\dint_\alpha^\beta \dfrac{f(\beta-t)}{f(\beta-t)+f(t-\alpha)}dx=\dfrac{\beta-\alpha}{2}.$$

Θεωρούμε τα ολοκληρώματα \[ \begin{align} I&=\dint_{0}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\gsin^3 x}{\gsin^3 x +\gcos^3 x}dx,\\[1ex] J&=\dint_{0}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\gcos^3 x}{\gsin^3 x +\gcos^3 x}dx. \end{align} \] Αποδείξτε ότι $I=J=\dfrac{\pi}{4}$.

Έστω $f$ αύξουσα, συνεχής στο $\mathbb{R}$ συνάρτηση και $\alpha\in[0,1]$. Αποδείξτε ότι \[\dint_0^\alpha f(x)\,dx\leq \alpha \dint_0^1 f(x)\,dx.\]

Έστω $f$ συνεχής στο $[0,1]$. Αποδείξτε ότι \[\dint_0^\pi xf(\gsin x)\,dx=\dfrac{\pi}{2}\dint_0^\pi f(\gsin x)\,dx.\] Έπειτα, υπολογίστε το ολοκλήρωμα $\dint_{0}^{\pi}\dfrac{x\gsin^6 x}{\gsin^6 x +\gcos^6 x}dx$.

Αν η $f$ είναι συνεχής στο $[0,1]$ συνάρτηση με \[f(x)+ f(1-x)=x-x^2,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in[0,1]$, αποδείξτε ότι $\dint_0^1 f(x)\,dx=\dfrac{1}{12}$.

Έστω $f$ συνεχής συνάρτηση στο $[-\alpha,\alpha]$, όπου $\alpha \gt 0$, με \[f(x)+ f(-x)=1,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in[0,\alpha]$. Αποδείξτε ότι $\dint_{-\alpha}^\alpha f(x)\,dx=\alpha$.

Έστω $f$ συνεχής συνάρτηση στο $[-\alpha,\alpha]$, όπου $\alpha \gt 0$, με \[f(x)+ f(-x)=|x|,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in[-\alpha,\alpha]$. Αποδείξτε ότι $\dint_{-\alpha}^\alpha f(x)\,dx=\dfrac{\alpha^2}{2}$.

Έστω $f$ συνεχής στο $[0,1]$ συνάρτηση.

1. Αποδείξτε ότι $\dint_{0}^1 x^{4\nu-1} f\left(x^{2\nu}\right)dx=\dfrac{1}{2\nu}\dint_{0}^1 xf(x)\,dx$, όπου $\nu\in\mathbb{N}^{\ast}$.
2. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα $\dint_{0}^1 x^{11} e^{x^6}dx$.

Να υπολογιστούν τα παρακάτω ολοκληρώματα:

1. $\dint_{-9}^{-12}\dfrac{x+1}{x+2} dx$
2. $\dint_{0}^{1}\dfrac{1}{e^x+1} dx$
3. $\dint_{0}^{1}\left|x-\dfrac{1}{2}\right| dx$
4. $\dint_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{1}{\gcos^2 x} dx$
5. $\dint_{0}^{4}\left(\dfrac{3}{2}\right)^{x-4} dx$
6. $\dint_{2}^{8}x\ln x\,dx$

Να υπολογιστούν τα παρακάτω ολοκληρώματα:

1. $\dint_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\dfrac{x}{\gsin^2 x} dx$
2. $\dint_{2}^{3}\dfrac{x^2}{x-1} dx$
3. $\dint_{1}^{e}\dfrac{\ln^2 x}{x} dx$
4. $\dint_{1}^{e}\dfrac{\ln^2 x}{x^2} dx$
5. $\dint_{1}^{e}x^3 \ln x\,dx$
6. $\dint_{0}^{1}x e^{-x} dx$

Να υπολογιστούν τα παρακάτω ολοκληρώματα:

1. $\dint_{1}^{5}|x-3|+|x^2 -4|\,dx$
2. $\dint_{0}^{16}\dfrac{1}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}} dx$
3. $\dint_{-1}^{10}\dfrac{x}{1+|x|} dx$
4. $\dint_{0}^{1}x^2 e^{-x} dx$
5. $\dint_{0}^{\pi}\gcos^4 x\,dx$
6. $\dint_{0}^{\pi}\gcos^5 x\,dx$

Να υπολογιστούν τα παρακάτω ολοκληρώματα:

1. $\dint_{0}^{2}|x-1|+x+1\,dx$
2. $\dint_{1}^{e}\ln^3 x\,dx$
3. $\dint_{e}^{e^2}\dfrac{1+\ln x}{3+x\ln x} dx$
4. $\dint_{0}^{2}x(2-x)^{10} dx$
5. $\dint_{1}^{e}\dfrac{(1+\ln x)^2}{x} dx$
6. $\dint_{1}^{e^8}\sqrt[3]{\ln x}\,dx$

Να υπολογιστούν τα παρακάτω ολοκληρώματα:

1. $\dint_{1}^{8}\sqrt[3]{x}\ln x\,dx$
2. $\dint_{\frac{1}{e}}^{e}x|\ln x| dx$
3. $\dint_{\pi}^{2\pi}x\gcos\dfrac{x}{2} dx$
4. $\dint_{0}^{\pi}(x^2-5x)\gcos x\,dx$
5. $\dint_{0}^{1}x^2 (1-x)^{20} dx$
6. $\dint_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1+x}{\gsin^2 x} dx$

Να υπολογιστούν τα παρακάτω ολοκληρώματα:

1. $\dint_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{x}{\gcos^2 x} dx$
2. $\dint_{1}^{e}x\gsin(\ln x)\,dx$
3. $\dint_{1}^{3}\dfrac{\ln x}{x\sqrt{1+\ln x}} dx$
4. $\dint_{0}^{1}\dfrac{x^5}{\sqrt{x^2+1}} dx$
5. $\dint_{0}^{1}\dfrac{x}{1+x^4} dx$
6. $\dint_{0}^{1}x^3\sqrt{1+x^2}\,dx$

Να υπολογιστούν τα παρακάτω ολοκληρώματα:

1. $\dint_{4}^{8}x\sqrt{x^2 -16}\,dx$
2. $\dint_{4}^{9}\dfrac{1}{x-\sqrt{x}} dx$
3. $\dint_{e}^{e^2}\dfrac{\ln\ln x}{x\ln x} dx$
4. $\dint_{2}^{4}\dfrac{x^3}{x^2 -x} dx$
5. $\dint_{1}^{e^2}x\ln\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right) dx$
6. $\dint_{0}^{1}\dfrac{e^{2x}}{2^x} dx$

Να υπολογιστούν τα παρακάτω ολοκληρώματα:

1. $\dint_{0}^{\pi}\dfrac{x+\gsin x}{e^x} dx$
2. $\dint_{0}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\ln(\gtan x)}{\gcos^2 x} dx$
3. $\dint_{0}^{1}\dfrac{4x-5}{(x+2)^4} dx$
4. $\dint_{1}^{e}\dfrac{e^x}{e^{2x}+3e^x +2} dx$
5. $\dint_{2}^{9}\dfrac{1}{2-\sqrt[3]{x-1}} dx$
6. $\dint_{0}^{\ln 3}\dfrac{e^{2x}}{e^x+1} dx$

Να υπολογιστούν τα παρακάτω ολοκληρώματα:

1. $\dint_{1}^{4}\dfrac{\sqrt{x}}{1+x\sqrt{x}} dx$
2. $\dint_{0}^{1}\dfrac{x}{\sqrt{x+5}-\sqrt{x+3}} dx$
3. $\dint_{0}^{1}\dfrac{x}{\sqrt{x+5}+\sqrt{x+3}} dx$
4. $\dint_{0}^{63}\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt[3]{x+1}} dx$
5. $\dint_{0}^{1}\dfrac{xe^x}{\sqrt{1+e^x}} dx$
6. $\dint_{0}^{1}e^{\sqrt{x}} dx$

Να υπολογιστούν τα παρακάτω ολοκληρώματα:

1. $\dint_{1}^{\sqrt{2}}\dfrac{1}{x\sqrt{x+1}}dx$
2. $\dint_{1}^{3}\dfrac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}dx$
3. $\dint_{1}^{3}\dfrac{x}{\sqrt[3]{x}+\sqrt{x}}dx$
4. $\dint_{4}^{1}\dfrac{\sqrt{1+\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx$
5. $\dint_{1}^{e}(\ln x^2-2)(\ln x^3 -3)\,dx$
6. $\dint_{0}^{1}\dfrac{e^x -1}{e^x +1} dx$

Να υπολογιστούν τα παρακάτω ολοκληρώματα:

1. $\dint_{0}^{3}\dfrac{x^3 +2x+4}{x^2 -1}dx$
2. $\dint_{-1}^{2}\dfrac{3x}{\sqrt{x^2+3x+10}}dx$
3. $\dint_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}xe^x \gsin x\,dx$
4. $\dint_{-1}^{0}\dfrac{x^2 +1}{x^2 -3x+2} dx$
5. $\dint_{1}^{\sqrt{3}}x\sqrt[3]{1+x^2}\,dx$
6. $\dint_{0}^{1}\dfrac{4x^2}{x^3 +1} dx$

Να υπολογιστεί το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$, τον άξονα $x^{\prime}x$ και τις αντίστοιχες ευθείες, όταν:

1. $f(x)= 10x^4+1$, $x= -1$, $x=0$
2. $f(x)= 6x^2-5$, $x=0$, $x=1$
3. $f(x)=3x^2-10x$, $x=1$, $x=3$
4. $f(x)= 3x^2-9$, $x=0$, $x=4$
5. $f(x)= e^{-x}$, $x=-1$, $x=1$
6. $f(x)=\gsin x$, $x=0$, $x=2\pi$

Να υπολογιστεί το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$, τον άξονα $x^{\prime}x$ και τις αντίστοιχες ευθείες, όταν:

1. $f(x)= \sqrt[3]{x}$, $x=0$, $x=27$
2. $f(x)=\dfrac{1}{\gcos^2 x}$, $x=0$, $x=\dfrac{\pi}{3}$
3. $f(x)= \dfrac{2\ln x -1}{x^2}$, $x=\dfrac{1}{2}$, $x=2$
4. $f(x)=x+\dfrac{4}{(1+x)^2}$, $x=-\dfrac{1}{2}$, $x=\dfrac{1}{2}$
5. $f(x)= \dfrac{2x^2}{x-1}$, $x=2$, $x=4$
6. $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$, $x=-1$, $x=1$

Να υπολογιστεί το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$, τον άξονα $x^{\prime}x$ και τις αντίστοιχες ευθείες, όταν:

1. $f(x)=\dfrac{x^2}{\sqrt[3]{x^3+1}}$, $x=0$, $x=1$
2. $f(x)=x-e\ln x$, $x=1$, $x=e$
3. $f(x)= \dfrac{\ln x}{x}$, $x=\dfrac{1}{e}$, $x=e$
4. $f(x)=5|x|-x^2$, $x=-1$, $x=1$
5. $f(x)=x(x-1)(x-2)$, $x=0$, $x=2$
6. $f(x)=x+1-2\sqrt{x}$, $x=0$, $x=1$

Να υπολογιστεί το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ και τον άξονα $x^{\prime}x$, όταν:

1. $f(x)= x^2-4x+3$
2. $f(x)= x^3-x$
3. $f(x)= 2x-x^2$
4. $f(x)= 9x-x^3$
5. $f(x)=3-x^3-(2-x)^3$
6. $3\sqrt{x-1}-x-1$

Να υπολογιστεί το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$, $g$, τον άξονα $x^{\prime}x$ και τις αντίστοιχες ευθείες, όταν:

1. $f(x)=4x$, $g(x)=x^2$, $x=1$, $x=3$
2. $f(x)=x^3$, $g(x)=x$, $x=-2$, $x=1$
3. $f(x)=\gsin x$, $g(x)=\gcos x$, $x=0$, $x=2\pi$
4. $f(x)=2^x$, $g(x)=2x-x^2$, $x=0$, $x=2$
5. $f(x)=\ln x-1$, $g(x)=2x+1$, $x=1$, $x=e$
6. $f(x)=e^x$, $g(x)=1-x$, $x=-1$, $x=1$

Να υπολογιστεί το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$, $g$, όταν:

1. $f(x)= x^2+3$, $g(x)= 4x$
2. $f(x)=9x$, $g(x)=x^3$
3. $f(x)= 4-x^2$, $g(x)= x-2$
4. $f(x)=x^3$, $g(x)=2x-x^2$
5. $f(x)=2x^2+5x$, $g(x)= x^2+8x-2$
6. $f(x)=x^2$, $g(x)=x^3$

Να υπολογιστεί το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$, $g$, όταν:

1. $f(x)= x^2-1$, $g(x)=-x^2+1$
2. $f(x)=\ln x$, $g(x)=\ln^2 x$
3. $f(x)=x^2$, $g(x)=\sqrt{|x|}$
4. $f(x)=\sqrt{x-1}$, $g(x)=\dfrac{x+1}{3}$
5. $f(x)=(x^2+x+1)e^x$, $g(x)=e^x$
6. $f(x)=3x^4+x^2$, $g(x)=2(x^4+x^2)$

Για καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής και να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$, τον άξονα $x^\prime x$ και τις ευθείες με αντίστοιχες εξισώσεις.

1. $f(x)=\begin{cases} e^x-e, &x \lt 1\\[1.5ex] \dfrac{\sqrt{\ln x}}{x}, &x\geq 1\end{cases}$, $x=0$, $x=e$
2. $f(x)=\begin{cases} -x^2 +3, &x \lt 1\\ 2\sqrt{x}, &x\geq 1\end{cases}$, $x=-1$, $x=2$

Να υπολογιστεί το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)=|x^2-4x|$, τον άξονα $x^\prime x$ και τις ευθείες με εξισώσεις:

1. $x=0$ και $x=3$
2. $x=0$ και $x=5$

Έστω η συνάρτηση \[f(x)=\begin{cases}-\dfrac{6}{x}, &x \lt -1\\[2ex] 6x^2, &x\geq -1 \end{cases}.\] Να αποδειχθεί ότι η $f$ είναι συνεχής και να υπολογιστεί το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $f$, τον άξονα $x^\prime x$ και την ευθεία με εξίσωση $x=-2$.

Έστω η συνάρτηση \[f(x)=\begin{cases}-x^2+4x-3, &x \lt 2\\ -2x+5, &x\geq 2 \end{cases}.\] Να αποδειχθεί ότι η $f$ είναι συνεχής και να υπολογιστεί το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $f$ και τον άξονα $x^\prime x$.

Να υπολογιστεί το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)=2-|3-x|$, τον άξονα $x^\prime x$ και τις ευθείες με εξισώσεις $x=0$ και $y=0$.

Να υπολογιστεί το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)=x^2-4x$ και από την ευθεία με εξίσωση $y=-3$.

∆ίνονται οι συναρτήσεις $f (x) = \sqrt{x}$ και $g(x) = 2x-1$. Να υπολογίσετε το εµβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις $C_f$, $C_g$ και την ευθεία $x = 0$.

Να υπολογιστεί το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)=2^x$ και τις ευθείες με εξισώσεις $x=0$, $y=8$.

Να υπολογιστεί το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f(x)=\ln x$, $g(x)=\ln\dfrac{1}{x}$ και την ευθεία με εξίσωση:

1. $y=-1$
2. $y=\ln 2$

Να υπολογιστεί το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)=\dfrac{6}{x}$ και τις ευθείες με εξισώσεις $x=0$, $y=1$, $y=3$.

Να υπολογιστεί το εµβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $f (x)=\ln x$, τον άξονα $x^\prime x$ και την εφαπτοµένη της $C_f$ στο σηµείο $\mathrm{A}(e,1)$.

Να υπολογιστεί το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)=-\ln x$, τον άξονα $x^\prime x$ και την εφαπτομένη της $C_f$ στο $\mathrm{M}\left(\frac{1}{e},1\right)$.

Έστω η συνάρτηση $f(x)=e^x$.

1. Να προσδιορίσετε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της $C_f$ στα σημεία $\text{Α}(0,1)$ και $\text{Β}(1,e)$.
2. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη $C_f$ και τις εφαπτομένες.

Για τις συναρτήσεις $f,g$ ισχύουν $f(0)=g(0)$, $f^{\prime}(3)=4+g^{\prime}(3)$ και \[f^{\prime\prime}(x)=2+g^{\prime\prime}(x),\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in [0,3]$. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των $f,g$ και τις ευθείες με εξισώσεις $x=0$, $x=3$.

∆ίνεται η συνάρτηση $f$ µε $f(x)=(x+4)e^x$. Να υπολογίσετε το εµβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $f$, τον άξονα $x^{\prime}x$ και τις ευθείες µε εξισώσεις $x=-1$ και $x=1$.

Έστω η συνάρτηση $f(x)=x^2-4x+3$.

1. Να προσδιοριστούν οι εξισώσεις των εφαπτοµένων της $C_f$ στα σηµεία $\mathrm{A},\mathrm{B}$ όπου η $C_f$ τέμνει τον άξονα $x^{\prime}x$.
2. Αν $\Gamma$ είναι το σηµείο τοµής των εφαπτοµένων, να αποδείξετε ότι η $C_f$ διαμερίζει το τρίγωνο $\mathrm{AB}\Gamma$ σε δύο χωρία, των οποίων ο λόγος εµβαδών τους είναι $2:1$.

Έστω η συνάρτηση $f(x)=\gsin x$.

1. Να προσδιορίσετε τις εξισώσεις των εφαπτοµένων της τη γραφικής παράστασης της $f$ στα σηµεία $\mathrm{O}(0,0)$ και $\mathrm{A}(\pi,0)$.
2. Να υπολογίσετε το εµβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $f$ και τις εφαπτόµενες στα σηµεία $\mathrm{O}$ και $\mathrm{A}$.

Έστω η συνάρτηση $f (x)=3x^2$.

1. Να προσδιορίσετε την εξίσωση της εφαπτοµένης της $C_f$ στο σηµείο της $\mathrm{A}(1,3)$.
2. Να υπολογίσετε το εµβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$, την εφαπτοµένη της στο $\mathrm{A}$ και τον άξονα $x^{\prime}x$.

Θεωρούµε τις συναρτήσεις $f(x)=\sqrt{x}$ και $g(x)=\ln x$.

1. Αποδείξτε ότι $f(x) \gt g(x)$, για κάθε $x \gt 0$.
2. Να υπολογίσετε το εµβαδό του µεικτόγραµµου τετραπλεύρου που οριοθετείται από τις $C_f$, $C_g$, την ευθεία µε εξίσωση $y=\frac{1}{2}$ και τον άξονα $x^{\prime}x$.

Να αποδειχθεί ότι οι συναρτήσεις $f (x)=x^2-x$ και $g(x)=\ln x$ διαθέτουν κοινή εφαπτομένη. Έπειτα, να υπολογιστεί το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις $C_f,C_g$ και την ευθεία $y=2$.

Υπολογίστε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f(x)=e^{x}$, $g(x)=x^2 +1$ και την ευθεία $x=1$.

Υπολογίστε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f(x)=e^{|x|}$ και $g(x)=|ex|$.

Έστω $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $0 \lt \alpha \lt \beta$. Θεωρούμε το χωρίο $\Omega$ που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)$ και τον άξονα $x^\prime x$. Να προσδιοριστεί ευθεία που διέρχεται από το σημείο $\mathrm{A}(\alpha,0)$ και διαμερίζει το $\Omega$ σε δύο ισεμβαδικά χωρία.

Έστω $\alpha\in\mathbb{R}$. Το χωρίο που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)=x^2$ και την ευθεία $y=9$ διαμερίζεται από την ευθεία $y=\alpha$ σε δύο ισεμβαδικά χωρία. Να προσδιοριστεί η τιμή του $\alpha$.

Έστω η συνάρτηση $f(x)=e^x$.

1. Να υπολογιστεί το εµβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$, τον άξονα $x^\prime x$ και τις ευθείες $x = 0$, $x = \ln(2e-1)$.
2. Να προσδιοριστεί ο πραγματικός αριθμός $\lambda$ ώστε η ευθεία $x=\lambda$ να διαμερίζει το παραπάνω χωρίο σε δύο ισεµβαδικά χωρία.

Έστω $\Omega$ το χωρίο που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)=x^3-x$ και τις ευθείες με εξισώσεις $x=0$, $x=1$, $y=0$. Να προσδιοριστεί η τιμή του $\alpha\in\mathbb{R}$ για την οποία η ευθεία $y=\alpha x$ διαμερίζει το $\Omega$ σε δύο ισεμβαδικά χωρία.

Έστω $E(\alpha)$ το εµβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f (x)=\dfrac{1}{x^2}$, τον άξονα $x^{\prime}x$ και τις ευθείες $x = 1$, $x =\alpha$, όπου $\alpha \gt 0$.

1. Να προσδιοριστούν οι τιμές του $\alpha \gt 0$ με $E(\alpha)=\frac{1}{2}$.
2. Να υπολογίσετε τα όρια $\lim\limits_{\alpha\to +\infty}E(\alpha)$ και $\lim\limits_{\alpha\to 0^{+}}E(\alpha)$.

Έστω η συνάρτηση $f(x)=x^2 +1$. Το χωρίο που περικλείεται από τη $C_f$ και την ευθεία $y=5$ διαμερίζεται από την ευθεία $y=\alpha^2 +1$, $\alpha \gt 0$, σε δύο ισεµβαδικά χωρία. Να προσδιορίσετε την τιµή του $\alpha$.

Θεωρούµε συναρτήσεις $f, g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, όπου η $f$ είναι άρτια, η $g$ περιττή, και \[f (x) + g(x) = e^x,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Να υπολογίσετε το εµβαδό $E(\alpha)$ του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f,g$ και τις ευθείες $x = 0$, $x = \alpha$, όπου $\alpha \gt 0$.
2. Να υπολογίσετε το όριο $\lim\limits_{\alpha\to +\infty}E(\alpha)$.