Παραγωγος II

Προσδιορίστε όλες τις συναρτήσεις $f$ για τις οποίες, για κάθε $x\in\mathbb{R}$, ισχύει:

1. $f^{\prime}(x) =\gsin x+1$
2. $f^{\prime\prime}(x)= x^3+2$
3. $f^{\prime\prime\prime}(x)=x-x^2$
4. $f^{\prime}(x) =e^x+x^2$
5. $f^{\prime\prime}(x)= 2\gsin x$
6. $f^{\prime\prime\prime}(x)=e^{-x}$

Έστω συνεχής στο $\mathbb{R}$ συνάρτηση $f$. Προσδιορίστε τον τύπο της $f$, όταν:

1. $f^{\prime}(x)=\begin{cases} e^x, & x\lt 1 \\ 2x, & x\gt 1 \end{cases}~$, $f(1)=0$
2. $f^{\prime}(x)=\begin{cases} \gcos x, &x\lt 0 \\ \gsin x, &x\gt 0 \end{cases}~$, $f(0)=5$.

Αν $f(x)=\sqrt{x^2+5}$, προσδιορίστε συνάρτηση $g$ για την οποία ισχύει $g(-2)=2$ και $g^{\prime}(x)= f^{\prime}(x)$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

Θεωρούμε τις συναρτήσεις $f,g:(-1,+\infty)\to \mathbb{R}$ με $f(x)=\sqrt{x+1}$ και $g(x)= \dfrac{x}{1+\sqrt{x+1}}$.

1. Αποδείξτε ότι $f^{\prime}=g^{\prime}$.
2. Να προσδιοριστεί $c\in \mathbb{R}$ με $f=g+c$.
3. Αν $\alpha,\beta,\gamma\gt -1$, αποδείξτε ότι τα σημεία $\text{Α}(f(\alpha),g(\alpha))$, $\text{B}(f(\beta),g(\beta))$, $\Gamma(f(\gamma),g(\gamma))$ είναι συνευθειακά.

Αν $0\lt \alpha\lt \pi$ και $f(x)=\dfrac{\gsin x+\gsin(x+\alpha)}{\gcos x-\gcos(x+\alpha)}$, αποδείξτε ότι η συνάρτηση $f$ είναι σταθερή στο διάστημα $[0,\pi-\alpha]$.

Προσδιορίστε τη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, αν $f^{\prime\prime}(x)=12x^2 +2$ και η κλίση της εφαπτομένης στο σημείο επαφής $\mathrm{A}(1,1)$ ισούται με 3.

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}^{\ast}\to\mathbb{R}$, με $f(-1)=-4$, $f(1)=3$ και $f^{\prime}(x)=\dfrac{3x^2+x+2}{x^2}$, για κάθε $x\in\mathbb{R}^{\ast}$. Προσδιορίστε τον τύπο της $f$.

Προσδιορίστε τη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, αν η εφαπτομένη της $C_f$ έχει σε κάθε σημείο της συντελεστή διεύθυνσης τετραπλάσιο από την τετμημένη του σημείου αυτού και $f(1)=6$.

Προσδιορίστε την παραγωγίσιμη συνάρτηση $f$, αν

• η $C_f$ διέρχεται από το σημείο $\textnormal{Α}(0,-3)$ και
• σε κάθε σημείο της με τετμημένη $x_0$, η εφαπτομένη της $C_f$ έχει κλίση $\dfrac{4x_0}{4x_0^2 +1}$.

Θεωρούµε συναρτήσεις $f,g$, παραγωγίσιµες στο $(0, +\infty)$, τέτοιες ώστε για κάθε $x\gt 0$ να ισχύει $f^{\prime}(x)=\dfrac{2}{g(x)}$ και $g^{\prime}(x)=-\dfrac{1}{f(x)}$. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση $h(x) = f (x)g^2(x)$ είναι σταθερή στο $(0, +\infty)$.

Θεωρούµε συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, με \[|f(x)-f (y)|\leq 3(x - y)^4,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$.

1. Αποδείξτε ότι $-3|x-y|^3 \leq\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}\leq 3|x-y|^3$, για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$ με $x\neq y$.
2. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι σταθερή στο $\mathbb{R}$.

Έστω συνάρτηση $f$, δύο φορές παραγωγίσιµη στο $\mathbb{R}$, με $f^{\prime\prime}(x)+f(x)=0$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Θεωρούμε τη συνάρτηση $g(x)=f(x)- f^{\prime}(0)\gsin x - f (0)\gcos x$.

1. Αποδείξτε ότι $g^{\prime\prime}(x)+g(x)=0$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.
2. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση $h(x)=(g^{\prime}(x))^2+g^2(x)$ είναι σταθερή και θετική.
3. Αποδείξτε ότι $f (x) = f ^{\prime}(0)\gsin x + f (0)\gcos x$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει $f(4)=3$ και \[2xf^{\prime}(x)+f(x)=0,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in(0,+\infty)$.

1. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση $g(x)=f(x)\sqrt{x}$ είναι σταθερή στο $(0,+\infty)$.
2. Προσδιορίστε τον τύπο της $f$.

Έστω $f,g$ δύο συναρτήσεις, τρεις φορές παραγωγίσιμες στο $\mathbb{R}$. Αν ισχύουν $f(0)=g(0)+1$ και $f^{\prime\prime\prime}(x) = g^{\prime\prime\prime}(x)$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$, αποδείξτε ότι υπάρχουν $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $f(x)-g(x)=\alpha x^2+\beta x+1$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

Να προσδιοριστεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f$ αν $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{f(x)}{x-2}=1$ και \[f^{\prime\prime}(x)=\gsin(x-2),\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

Έστω $f,g$ παραγωγίσιμες συναρτήσεις και $\alpha\in\mathbb{R}$ με \[ \begin{align} f^{\prime}(x) &= \alpha g(x),\\ g^{\prime}(x) &= -\alpha f(x), \end{align} \tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση $h(x)= f^2(x)+g^2(x)$ είναι σταθερή.

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με \[f^{\prime}(x)=-2f(x),\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση $g(x)=e^{2x}f(x)$ είναι σταθερή στο $\mathbb{R}$.
2. Αν $f(0)=1$, προσδιορίστε τον τύπο της $f$.
3. Έστω $h,\varphi$ παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο $\mathbb{R}$, με
   \[\begin{align} h(0)&=\varphi(0),\\ h^{\prime}(x)+2h(x)&=\varphi^{\prime}(x)+2\varphi(x), \end{align}\tag{$\ast\ast$}\]
   για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Δείξτε ότι $h=\varphi$.

Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f, g$ με $f(1915)=g(1915)$ και \[f(x)-f^{\prime}(x) = g(x)-g^{\prime}(x),\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση $h(x)=\dfrac{f(x)-g(x)}{e^x}$ είναι σταθερή.
2. Αποδείξτε ότι $f=g$.

Να προσδιοριστεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f$ στις παρακάτω περιπτώσεις:

1. $f^2(x)f^{\prime}(x)= \dfrac{2x}{3}$, $f(0)=1$
2. $f^3(x)f^{\prime}(x)=x-1$, $f(1)=1$
3. $\sqrt{f(x)}f^{\prime}(x)=4x^3$, $f(0)=1$.
4. $f^{\prime}(x)=3x^2 e^{-f(x)}$, $f(0)=0$
5. $f^{-2}(x)f^{\prime}(x)=-1$, $f(1)=1$
6. $(f^{\prime}(x)-1)(f(x)-x)=x$, $f(1)=2$

(Σημείωση: οι συναρτήσεις είναι καταλλήλως ορισμένες ώστε να ισχύουν οι σχέσεις.)

Προσδιορίστε την παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, όταν:

1. $\dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=2x+3$, $f(0)=1$, $f(x)\gt 0$.
2. $f^{\prime}(x)=4x^3e^{-f(x)}$, $f(1)=\ln 3$.
3. $2xf(x)+x^2 f^{\prime}(x)=\gcos x-f^{\prime}(x)$, $f(0)=1$.
4. $f^{\prime}(x)=2xf(x)$, $f(0)=e$, $f(x)\gt 0$.
5. $2xf(x)+(x^2 +1) f^{\prime}(x)=e^x$, $f(0)=1$.
6. $\dfrac{xf(x)}{\sqrt{x^2+1}}+f^{\prime}(x)\sqrt{x^2+1}=1$, $f(0)=0$.

Προσδιορίστε την παραγωγίσιμη συνάρτηση $f$ στις παρακάτω περιπτώσεις:

1. $\mathcal{D}_{f}=(0,+\infty)$, $\left(\dfrac{f(x)}{x}\right)^{\prime}=2f(x)$, $f(x)\gt 0$, $f(1)=e^5$.
2. $\mathcal{D}_{f}=(0,+\infty)$, $(x-\gsin x)f^{\prime}(x)=1-\gcos x$, $f(\pi)=\ln\pi$.
3. $\mathcal{D}_{f}=(0,+\infty)$, $f^2(x)f^{\prime}(x)+\dfrac{1}{x}=1$, $f(1)=\sqrt{2}$.
4. $\mathcal{D}_{f}=[1,+\infty)$, $f^{\prime}(x)e^{f(x)}=1+\dfrac{1}{x}$, $f^{\prime}(1)=2$.
5. $\mathcal{D}_{f}=(0,+\infty)$, $xf^{\prime}(x)-f(x)=x$, $f(1)=2$.
6. $\mathcal{D}_{f}=(0,+\infty)$, $2x(f^{\prime}(x)+f(x))=e^{-x}$, $f(1)=\dfrac{1}{e}$.

Αν $f,g$ είναι παραγωγίσιμες στο $\mathbb{R}$ συναρτήσεις με $f^{\prime} =fg^{\prime}$, αποδείξτε ότι υπάρχει $c\in\mathbb{R}$ ώστε $f(x)=ce^{g(x)}$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

Έστω παραγωγίσιμη στο $x\in\mathbb{R}$ συνάρτηση $f$ με \[f^{\prime}(x)=-2xf(x), \tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Αποδείξτε ότι $f(x)= f(0)e^{-x^2}$.

Έστω $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty)$ παραγωγίσιμη συνάρτηση με $f(0)=e$ και \[f(x)\ln f(x)=f^{\prime}(x),\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση $g$ με τύπο $g(x)=\dfrac{\ln f(x)}{e^x}$ είναι σταθερή. Έπειτα, προσδιορίστε τη συνάρτηση $f$.

Έστω $f:(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\to\mathbb{R}$ παραγωγίσιμη συνάρτηση με $f(0)=1$ και για κάθε $x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$.

1. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση $g(x)=\dfrac{f(x)}{e^x \gcos x}$ είναι σταθερή.
2. Προσδιορίστε τη συνάρτηση $f$.

Έστω $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ παραγωγίσιμη συνάρτηση με $f(0)=1$, $f^{\prime}(0)=0$ και \[f^{\prime\prime}(x)=-f(x),\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Αποδείξτε ότι $f^2(x)+(f^{\prime})^2(x)=1$.
2. Αποδείξτε ότι για τη συνάρτηση $g(x)=f(x)-\gcos x$ ισχύει $g^2(x)+(g^{\prime})^2(x)=0$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.
3. Προσδιορίστε τη συνάρτηση $f$.

Έστω $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ παραγωγίσιμη συνάρτηση με \[f^{\prime\prime}(x)=f(x),\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Προσδιορίστε την παράγωγο της συνάρτησης $g(x)=\left(f(x)-f^{\prime}(x)\right)e^x$.
2. Προσδιορίστε την παράγωγο της συνάρτησης $h(x)=\dfrac{f(x)+f^{\prime}(x)}{e^{-x}}$.
3. Αποδείξτε ότι υπάρχουν $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $f(x)=\alpha e^{x}+\beta e^{-x}$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

Έστω $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ τρεις φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει \[2f(x)=x(1+f^{\prime}(x)),\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Αποδείξτε ότι η $f^{\prime\prime}$ είναι σταθερή.
2. Αν επιπλέον $f (1)=2$, προσδιορίστε τον τύπο της $f$.

Να προσδιοριστεί η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty)$ με για κάθε $x\in\mathbb{R}$, και $f(0)=2f^{\prime}(0)=1$.

Έστω $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ παραγωγίσιμη συνάρτηση με \[f^{\prime}(x)=f(x),\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$ και \[f(x+y)=f(x)f(y),\tag{$\ast\ast$}\] για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$. Αποδείξτε ότι $f(x)=e^x$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ ή $f(x)=0$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

Αν η συνάρτηση $f$ είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$, με $f(0)=2$ και για κάθε $x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$, προσδιορίστε τον τύπο της $f$.

Προσδιορίστε την παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με $f(1)=\dfrac{1}{2}$ και \[f^{\prime}(3x-1)=18x,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

Προσδιορίστε την άρτια παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με $f(0)=0$ και \[f^{\prime}(x^2)=x,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\gt 0$.

Προσδιορίστε την παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}^{\ast}\to\mathbb{R}$ με $f(1)=f(-1)=0$ και \[f^{\prime}\left(\dfrac{1}{x}\right)=x-1,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\neq 0$.

Προσδιορίστε tηn παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με $f(1)=0$ και \[xf^{\prime}(x)-2f(x)=x,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

Έστω $f:(0,+\infty) \to\mathbb{R}$ παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύουν $f(1)=2$, $f^{\prime}(1)=3$ και \[f^{\prime\prime}(x^2)=3x,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\gt 0$. Προσδιορίστε τη συνάρτηση $f$.

Η συνάρτηση $f:\mathbb{R}^{\ast}\to\mathbb{R}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}^{\ast}$ με $f(1)=2$ και \[2xf(x)+x^2 f^{\prime}(x)=3x^2+4, \tag{$\ast$}\] για κάθε $x\neq 0$. Αποδείξτε ότι η ευθεία $y=3x-1$ εφάπτεται στη $C_f$.

Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ συνάρτηση $f$. Υποθέτουμε ότι η $C_f$ διέρχεται από το σημείο $\textnormal{Α}\left(2,\frac{1}{e}\right)$ και σε κάθε σημείο της με τετμημένη $\alpha$, η εφαπτομένη της $C_f$ τέμνει τον άξονα $x^{\prime}x$ στο σημείο $\textnormal{B}(\alpha+2,0)$. Προσδιορίστε την συνάρτηση $f$.

Έστω $f,g$ συναρτήσεις στο $\mathbb{R}$, με την $g$ να είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$. Αν \[|f(x)-f(y)|\leq (g(x)-g(y))^2,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$, αποδείξτε ότι η $f$ είναι σταθερή.

Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, παραγωγίσιμη στο $0$ με $f^{\prime}(0)=\alpha$, όπου $\alpha\in\mathbb{R}$. Υποθέτουμε ότι \[f(x+y)=f(x)+f(y),\tag{$\ast$}\] για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$.

1. Να αποδειχθεί ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$.
2. Να προσδιοριστεί η συνάρτηση $f$.

Δίνεται η συνάρτηση $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, παραγωγίσιμη στο $1$ με $f^{\prime}(1)=\alpha$, όπου $\alpha\in\mathbb{R}$. Υποθέτουμε ότι \[f(xy)=f(x)+f(y),\tag{$\ast$}\] για κάθε $x,y\in (0,+\infty)$.

1. Να αποδειχθεί ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $(0,+\infty)$.
2. Να προσδιοριστεί η συνάρτηση $f$.

Δίνεται η συνάρτηση $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, παραγωγίσιμη στο $1$ με $f^{\prime}(1)=1$. Υποθέτουμε ότι \[f(xy)=yf(x)+xf(y),\tag{$\ast$}\] για κάθε $x,y\in (0,+\infty)$.

1. Να αποδειχθεί ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $(0,+\infty)$.
2. Να προσδιοριστεί η συνάρτηση $f$.

parag Έστω συνεχής συνάρτηση $f:[1,2] \to\mathbb{R}$, παραγωγίσιμη στο $(1,2)$, για την οποία ισχύει \[f^\prime(x)=\dfrac{9f^2(2)+f^2(1)+10}{6},\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in(1,2)$. Προσδιορίστε τον τύπο της $f$.

Έστω $f,g$ παραγωγίσιμες στο $\mathbb{R}$ συναρτήσεις με $f(0)=-g(0)$, $f^{\prime}(0)=1$ και \[f^{\prime}(x)=g(x), g^{\prime}(x) =f(x) ,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Να προσδιοριστούν οι συναρτήσεις $f,g$.

Θεωρούµε τις παραγωγίσιµες στο $\mathbb{R}$ συναρτήσεις $f , g$ με $f(0)=g(0)=1$ και \[f^{\prime}(x)g(x)=1, f (x)g^{\prime}(x)=-1,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Αποδείξτε ότι $f (x)g(x) = 1$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.
2. Προσδιορίστε τους τύπους των συναρτήσεων $f, g$.

Θεωρούµε τις παραγωγίσιµες συναρτήσεις $f,g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ με $f(1)=1$, $g(1)=1$ και \[f^{\prime}(x)g(x)=f (x)g^{\prime}(x)=2x^3,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\gt 0$.

1. Αποδείξτε ότι $f (x)=g(x) $, για κάθε $x\gt 0$.
2. Προσδιορίστε τους τύπους των συναρτήσεων $f , g$.

Θεωρούµε τις παραγωγίσιµες στο $\mathbb{R}$ συναρτήσεις $f , g$ με $f^{\prime}(0)=f(0)=1$ και \[ \begin{align} f^{\prime}(x)+g(x) &=e^x+x,\tag{$\ast$}\\ f(x)+g^{\prime}(x) &=e^x+1.\tag{$\ast\ast$} \end{align} \]

1. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο $\mathbb{R}$ με $f^{\prime\prime}(x)=f(x)$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.
2. Προσδιορίστε τους τύπους των συναρτήσεων $f , g$.

Προσδιορίστε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης $f$, με τύπο όπως στις παρακάτω περιπτώσεις:

1. $f(x)= x^3-\dfrac{9}{2}x^2+6x-4$
2. $f(x)= x\sqrt{ x^2-2x-3}$
3. $f(x)= x\sqrt{4x-x^2}$
4. $f(x)=\dfrac{x^3}{1+x^4}$
5. $f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{1+x}$
6. $f(x)=\dfrac{4x^2+6x +5}{4x^2+1}$

Προσδιορίστε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης $f$, με τύπο όπως στις παρακάτω περιπτώσεις:

1. $f(x)= \dfrac{x^3}{3} -2x^2+4x-3$
2. $f(x)=\dfrac{2x}{\ln x}$
3. $f(x)=\dfrac{x^3}{e^x}$
4. $f(x)=\ln\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)$
5. $f(x)=x^x$
6. $f(x)=\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{27-x}$

Προσδιορίστε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης $f$, με τύπο όπως στις παρακάτω περιπτώσεις:

1. $f (x) = x^3 - 3x$
2. $f (x) =\sqrt{x-x^2}$
3. $f (x) = \ln(1 - x^2)$
4. $f(x) =\sqrt{\ln^2 x - \ln x}$
5. $f (x) =\dfrac{e^x}{x-1}$
6. $f(x)=e^{2x}-4e^x-5$

Προσδιορίστε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης $f$, όταν:

1. $f(x)=\begin{cases} x^3 + 2x, & x\lt 0\\ x^2 - 2x, &x\geq 0 \end{cases}$
2. $f(x)=\begin{cases} x^2 + 4x - 1, &x\lt 0 \\ \gsin x + 2x + 1,&x\geq 0 \end{cases}$
3. $f(x)=\begin{cases}-x^4+2x^2+1, &x\leq 2 \\ x^2-6x+1, & x\gt 2\end{cases}$
4. $f(x)=\begin{cases} x^2+x-1, & x\lt 0 \\ \dfrac{ x^2-e^x}{e^x}, & x\geq 0 \end{cases}$
5. $f(x)=\begin{cases} x^2-x,&x\lt 1 \\ e^x-1, & x\geq 1 \end{cases}$
6. $f(x)=\begin{cases} x^2-2x-2,&x\lt 3 \\ 1-\sqrt{x^2-9}, & x\geq 3\end{cases}$

Προσδιορίστε το σύνολο τιμών της συνάρτησης $f:\textnormal{Α}\to\mathbb{R}$, όταν:

1. $f(x)= x^2-4x$, $\textnormal{Α}=[0,2)$
2. $f(x)= x+\dfrac{9}{x}$, $\textnormal{Α}=(1,3)$
3. $f(x)=\gtan\left(\pi\gsin\dfrac{x}{4}\right)$, $\textnormal{Α}= \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$
4. $f(x)=\gsin x +\gtan x$, $\textnormal{Α}=\left[0, \frac{\pi}{2}\right)$
5. $f(x)=\ln x-\sqrt{x}+2$, $\textnormal{Α}=[1,4)$
6. $f(x)=x^4-4x+6$, $\textnormal{Α}=(0,2)$

Προσδιορίστε τα διαστήματα μονοτονίας και το σύνολο τιμών της συνάρτησης $f$, όταν:

1. $f(x)=x^2+x+3$
2. $f(x)=(x-1)e^x$
3. $f(x)=x^2(1\!-\!2\ln x)\!+\!12x(\ln x\!-\!1)$
4. $f(x)=\dfrac{\ln x}{x-2}$
5. $f(x)=e^x+x\ln x-(e+1)x$
6. $f(x)=3x\ln x-3x$

Να επιλύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:

1. $(x - 20)^{20} = x^{20} + 20^{20}$
2. $\ln x=1 - x^2$
3. $2e^x + 2x = x^2 + 2$
4. $e^x +e^{3x}=2$
5. $4^{|x|}+4^{\frac{1}{|x|}}=18$
6. $\sqrt{4x^2+9}=\dfrac{8x+9}{5}$

Για κάθε $x \gt 0$, να αποδείξετε τις ανισότητες:

1. $\gsin x \lt 2x$
2. $\gsin x \gt x - \dfrac{x^3}{x}$
3. $\gcos x\lt 1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}$
4. $e^x (x+1)\gt 1$
5. $e^x\lt (1+x)^{1+x}$
6. $\ln(x + 1) \gt x -\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{1}{5}$

Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση $f$ ισχύει \[|f^{\prime}(x)+\gsin x|\lt 2,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση $g(x)= f(x)-\gcos x -2x$ είναι γνησίως φθίνουσα ενώ η συνάρτηση $h(x)=f(x)-\gcos x +2x$ είναι γνησίως αύξουσα.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x)=5^x+x^5$.

1. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση αυτή είναι γνησίως αύξουσα.
2. Επιλύστε την εξίσωση $f(x)=1$.
3. Επιλύστε την ανίσωση $f(x)\gt 6$.

Έστω $f$ παραγωγίσιμη συνάρτηση στο $\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει \[f^{\prime}(x)\lt x^2,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Αποδείξτε ότι:

1. Η συνάρτηση $g(x)=3f(x)-x^3$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$.
2. $f(2)-f(1)\lt 3$.
3. Υπάρχει τουλάχιστον ένα $\xi\in (1,2)$ με $f^{\prime}(\xi)\lt 3$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=e^{x-2}+x-3$.

1. Να μελετήσετε την $f$ ως προς τη μονοτονία.
2. Να προσδιορίσετε τις λύσεις της εξίσωσης $f(x)=0$ και το σύνολο τιμών της $f$.

Δίνεται παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ συνάρτηση $f$ με $f(0)=1$ και \[f^{\prime}(x) \lt f(x),\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τη συνάρτηση $g(x)=f(x)e^{-x}$.
2. Να αποδείξετε ότι $f(x)\lt e^{x}$, για κάθε $x\gt 0$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x+\ln(x^2+1)$.

1. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$.
2. Επιλύστε την εξίσωση $x-4=\ln 17-\ln(x^2+1)$.
3. Επιλύστε την ανίσωση $x^3-x^2=\ln\dfrac{x^4+1}{x^6+1}$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=e^{2x}+5x$.

1. Αποδείξτε ότι η $f$ αντιστρέφεται.
2. Επιλύστε την εξίσωση $e^{2x^2}-e^{4x-2}=-5x^2+10x-5$.

Έστω η συνάρτηση $f(x)= -x^3+2x +2$, $x\in[1,2]$.

1. Να μελετήσετε την $f$ ως προς την μονοτονία.
2. Να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της $f$.
3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=0$ διαθέτει μοναδική λύση στο διάστημα $(1,2)$.

∆ίνεται η συνάρτηση $f(x) = x^3 + \alpha x^2-x + 3$. Προσδιορίστε τους $\alpha\in\mathbb{R}$ ώστε η συνάρτηση $f$ να είναι γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$.

∆ίνεται η συνάρτηση $f (x) = x^4 - 2x^2 + \alpha$, όπου $\alpha\in(0, 1)$. Αποδείξτε ότι η εξίσωση $f (x) = 0$ διαθέτει µία ακριβώς λύση στο διάστηµα $(-1, 0)$.

Αποδείξτε ότι η εξίσωση $x^2=1+\gcos x$ διαθέτει στο διάστημα $\left(-\frac{\pi}{2},0\right)$ μοναδική λύση.

Αποδείξτε ότι η εξίσωση $e^x-e^3=x-3$ διαθέτει μοναδική θετική λύση, η οποία και να προσδιοριστεί.

Προσδιορίστε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης $f(x)= xe^{\frac{1}{x}}$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)= \alpha\gsin x-x-1$, με $0\lt \alpha\lt 1$.

1. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$.
2. Προσδιορίστε το σύνολο $f\left([0,\frac{\pi}{2}]\right)$.
3. Αποδείξτε ότι η εξίσωση $f(x)=0$ διαθέτει μοναδική λύση.

Αποδείξτε ότι η εξίσωση $x^7+7x=\alpha$, με $\alpha\in[0,8]$, διαθέτει μοναδική λύση στο διάστημα $[0,1]$.

Θεωρούμε τις συναρτήσεις \[ \begin{align} f(x) &= 2x^2 - x + 1,\\ g(x) &= x^2 + x + 1. \end{align} \] Επιλύστε την εξίσωση

Επιλύστε την εξίσωση $3^{x}+2^{x}=5^{x}$.

Για $\nu\in\mathbb{N}^\ast$ και $a\in\mathbb{R}$ με $\alpha\lt 2\nu-1$, αποδείξτε ότι η εξίσωση \[x^{2\nu}+2\nu x+\alpha=0,\tag{$\ast$}\] διαθέτει ακριβώς δύο λύσεις.

Να προσδιοριστούν οι τιμές του $\alpha\in\mathbb{R}$ για τις οποίες η εξίσωση \[\sqrt{x-2} +\sqrt{4-x}=\alpha\tag{$\ast$}\] διαθέτει λύση.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=3x^4+4x^3-12x^2+6$.

1. Να προσδιοριστεί το σύνολο τιμών.
2. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση $\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^3}{3}-x^2+\dfrac{1}{2}=0$ διαθέτει ακριβώς δύο λύσεις.

Να λυθεί η ανίσωση $2\sqrt[3]{x+4}+ \sqrt[3]{x+23}+ \sqrt[3]{x+60}\lt 11$.

Αποδείξτε ότι $x^3-x\gt \ln x$, για κάθε $x\gt 1$.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f$ με τύπο $f(x)= -2x^3+\alpha x^2-6x+7$. Προσδιορίστε τις τιμές του $\alpha\in\mathbb{R}$ για τις οποίες η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f$ με τύπο $f(x)=\ln(x^2+2x+2)-\alpha x$. Προσδιορίστε τις τιμές του $\alpha\in\mathbb{R}$ για τις οποίες η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f$ με τύπο $f(x)=\dfrac{\alpha x^2 +1}{x+2}$. Προσδιορίστε τις τιμές του $\alpha\in\mathbb{R}$ για τις οποίες η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα $(-\infty,2)$ και $(2,+\infty)$.

Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση $f:\textnormal{Α}\to\mathbb{R}$, όταν:

1. $f(x)=\dfrac{x-e}{\ln x-1}$, $\textnormal{Α}=(0,e)$
2. $f(x)=\dfrac{\ln(x+1)}{x}$, $\textnormal{Α}=(0,+\infty)$

Θεωρούµε τις συναρτήσεις \[\begin{align} f(x)&= (\alpha-1)x^3+6x^2+3(\alpha+2)x-7,\\ g(x)&= 2\alpha x^3+3(\alpha-3)x^2+6\alpha x-5. \end{align}\] Προσδιορίστε τις τιμές του $\alpha\in\mathbb{R}$ για τις οποίες η συνάρτηση

1. η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$,
2. η $g$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$.

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ με $f(\ln 2)=-\ln 4$ και \[f^{\prime}(x)=2e^{-2x-f(x)}-e^{-x-f(x)}, \tag{$\ast$}\] για κάθε $x\gt 0$.

1. Να προσδιορίσετε τον τύπο της $f$.
2. Να μελετήσετε την $f$ ως προς τη μονοτονία.

Να λύσετε τις εξισώσεις $e^x=1-2x$ και $1+x\ln x=x$.

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει \[f^3(x)+e^{f(x)}=1-x-x^3, \tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την $f$.
2. Να επιλύσετε την εξίσωση $f(2e^x+x)-f(2+\gsin x\gcos x)=0$.

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$ με $f(e) =\dfrac{1}{e-1}$ και \[xf^\prime(x)+f(x) =\dfrac{1}{x}+f^\prime(x), \tag{$\ast$}\] για κάθε $x\gt 1$.

1. Να προσδιορίσετε τον τύπο της $f$.
2. Να μελετήσετε την $f$ ως προς τη μονοτονία.
3. Να επιλύσετε την εξίσωση $(2e^x+\sqrt{x}+1)^{e^x+1}=(e^x+2)^{2e^x+\sqrt{x}}$.

Να προσδιορίσετε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης $f$, όταν:

1. $f(x)=\dfrac{\ln x^2}{x}$
2. $f(x)=3|x-2|+1$
3. $f(x)=x^2+\dfrac{1}{x^2}$
4. $f(x)=\begin{cases} x^2-2,& x\lt 1\\ 2x^2-8x,& x\geq 1 \end{cases}$

Να προσδιορίσετε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης $f:A\to\mathbb{R}$, όταν:

1. $f(x)= -12x^2+24|x| +3$, $\textnormal{Α}=\left[-\frac{1}{2}, 2\right]$
2. $f(x)=| 4-x^2|$, $\textnormal{Α}= [-3,3]$

Προσδιορίστε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης $f$, όταν:

1. $f(x)=x^4\!+\!4x^3\!-\!8x^2\!+\!1$
2. $f(x)=x^2(x+1)^3$
3. $f(x)=x^4-8x^3-270x^2$
4. $f(x)= x\sqrt{4-x^2}$
5. $f(x)=\dfrac{ x^2-2x-9}{ x^2-4}$
6. $f(x)=\dfrac{ x^2}{\sqrt{1+2x}}$

Προσδιορίστε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης $f$, όταν:

1. $f(x)=\dfrac{ e^x}{2x}$
2. $f(x)= x^{x\ln x}$
3. $f(x)=|x|^3$
4. $f(x)=x^4 \ln x$
5. $f(x)=-x^2 e^x$
6. $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$

Προσδιορίστε τα διαστήµατα µονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης $f$, όταν:

1. $f (x) = x^7-7x + 2$
2. $f(x) = \dfrac{x - 1}{x^2}$
3. $f(x) = \sqrt{x^2 - 25}$
4. $f (x) =3e^x + x^2 - 3x$
5. $f (x) = e^x - \dfrac{1}{2}x^2 + x$
6. $f(x) = x\ln x - x + e^x - ex$

Προσδιορίστε τα διαστήµατα µονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης $f$, όταν:

1. $f(x) = \dfrac{x\ln x}{x-1}$
2. $f(x) = \dfrac{\ln(1+x)}{x}$
3. $ f (x) = |e^x - 1|$
4. $f(x) = \sqrt{\ln^2 x\!-\!2\ln x\!+\!1}$
5. $f(x)=\ln(x^2-8x+12)$
6. $f(x)=\gcos\sqrt{x}-\dfrac{x^2}{24}$

Προσδιορίστε τα διαστήµατα µονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα των παρακάτω συναρτήσεων:

1. $f(x)=\begin{cases}x^2, &x\neq 0 \\ 1, &x=0 \end{cases}$
2. $f(x)=\begin{cases} x^2 + 2x + 1, & x \lt -1 \\ 2x^3 - 3x^2 + 5,& x\geq -1\end{cases}$

Προσδιορίστε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης $f:\textnormal{A}\to\mathbb{R}$, όταν:

1. $f(x)=x-x^3$, $\textnormal{A}=[0,1]$
2. $f(x)=x^5-x^3+2$, $\textnormal{A}=[-1,1]$
3. $f(x)=|x^2-5x+6|$, $\textnormal{A}=[0,2]$
4. $f(x)=\dfrac{x}{8}+\dfrac{2}{x}$, $\textnormal{A}=[1,6]$
5. $f(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}$, $\textnormal{A}=\mathbb{R}$
6. $f(x)=\dfrac{\gcos x-\gsin x}{e^x}$, $\textnormal{A}=[0,2\pi]$

Έστω $f$ συνάρτηση με $f^{\prime}(x)= (x-1)^2(x-2)^3(x-3)^4(x-4)^5$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Προσδιορίστε τα τοπικά ακρότατα της $f$.

Αν η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{x^2-\alpha x+\beta+1}{e^x}$, όπου $\alpha, \beta\in\mathbb{R}$, παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο $x_0=2$, αποδείξτε ότι $\alpha-\beta=1$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)= \dfrac{\alpha x-\beta}{(x-1)(x-4)}$, όπου $\alpha, \beta\in\mathbb{R}$, με πεδίο ορισμού το διάστημα $(1,4)$. Αν η $f$ παρουσιάζει στο $x_0=2$ τοπικό ακρότατο, να υπολογίσετε τα $\alpha,\beta$.

Προσδιορίστε τους $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ ώστε η συνάρτηση \[f(x)=\alpha\ln(x-1)+\beta x^2-3x+5\] να παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία $x_1=2$ και $x_2=3$. Έπειτα, προσδιορίστε τις τιμές και το είδος των ακροτάτων.

∆ίνεται η συνάρτηση $f (x) = x^2+\dfrac{2\alpha}{x}+\beta$, όπου $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$. Η $f$ παρουσιάζει στη θέση $x_0=2$ τοπικό ακρότατο και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σηµείο $\mathrm{A}(1, 0)$.

1. Προσδιορίστε τους αριθµούς $\alpha,\beta$.
2. Προσδιορίστε το είδος του ακροτάτου και την τιµή του.

∆ίνεται η συνάρτηση $f (x) = \alpha x^3 -\beta x^2 + x + 2$, όπου $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$. Η $f$ παρουσιάζει στις θέσεις $x_1=-1$ και $x_2=1$ τοπικά ακρότατα.

1. Προσδιορίστε τους αριθµούς $\alpha,\beta$.
2. Προσδιορίστε το είδος του ακροτάτου και την τιµή του.

Αποδείξτε ότι η συνάρτηση $f$ δεν παρουσιάζει τοπικό ακρότατο, όταν:

1. $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x}$
2. $f(x)=\dfrac{\alpha x+\beta}{\gamma x+\delta}$, με $\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R}^\ast$

Θεωρούµε παραγωγίσιµη στο $\mathbb{R}$ συνάρτηση $f$, τέτοια ώστε για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Αποδείξτε ότι η $f$ δεν παρουσιάζει ακρότατα.

Θεωρούµε παραγωγίσιµη στο $\mathbb{R}$ συνάρτηση $f$, τέτοια ώστε για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση $f$ δεν παρουσιάζει ακρότατα.

Θεωρούµε παραγωγίσιµη στο $\mathbb{R}$ συνάρτηση $f$, τέτοια ώστε \[e^{f(x)}+2f(x)=x^3+2x,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Αποδείξτε ότι η $f$ δεν παρουσιάζει ακρότατα.

Αν για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς $\alpha,\beta$ ισχύει \[\alpha^x +\beta^x\geq 5e^x -3,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$, αποδείξτε ότι $\alpha\beta=e^5$.

Αν $\alpha,\beta,\gamma\gt 0$ με \[\alpha^x +\beta^x+\gamma^x\geq 2+\gcos x,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$, αποδείξτε ότι $\alpha\beta\gamma=1$.

Αν $f,g$ είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο $(-1,1)$ με \[3+xf(x)\leq g(x)\gsin 2x +3^{x+1},\tag{$\ast$}\] για κάθε $(-1,1)$, αποδείξτε ότι $f(0)-2g(0)=3\ln 3$.

Έστω $\alpha,\beta,\gamma\gt 0$ με \[\alpha x^2+\dfrac{\beta}{x}\geq\gamma,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\gt 0$. Αποδείξτε ότι $27\alpha\beta^2\geq 4\gamma^3$.

Έστω $\alpha\in\mathbb{R}$ ώστε \[1 + \alpha\ln x\leq x,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\gt 0$. Αποδείξτε ότι $\alpha=1$.

Θεωρούµε παραγωγίσιµη στο $(0, +\infty)$ συνάρτηση $f$, με $f(e) = 1$ και \[f(x)\leq\ln x,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\gt 0$. Προσδιορίστε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της $f$ στο σηµείο $\mathrm{A}(e,f(e))$.

Έστω $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ παραγωγίσιμη συνάρτηση με $f(1)=2$ και \[f(x)\geq e^{x-1}+\ln x+x^2,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\gt 0$. Προσδιορίστε την εξίσωση της εφαπτομένης της $C_f$ στο σημείο $\textnormal{A}(1,2)$.

Δίνεται δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με $f(2)=5$, $f(1)=3$ και \[f(x)\leq 2x+1,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Αποδείξτε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $\xi\in (1,2)$ τέτοιο ώστε $f^{\prime\prime}(\xi)=0$.

Έστω συνάρτηση $f$, δύο φορές παραγωγίσιμη στο $(\alpha,\beta)$, όπου $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\alpha\lt \beta$. Αν $f^{\prime\prime}(x)\neq 0$, για κάθε $x\in(\alpha,\beta)$, αποδείξτε ότι η $f$ παρουσιάζει το πολύ ένα τοπικό ακρότατο στο $(\alpha,\beta)$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{e^{\lambda x}}{x+1}$, όπου $x\gt -1$ και $\lambda\gt 0$.

1. Να αποδείξετε ότι η $f$ διαθέτει ένα ελάχιστο.
2. Προσδιορίστε για ποια τιμή του $\lambda$ το προηγούμενο ελάχιστο λαμβάνει τη μέγιστη τιμή του.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x^{\frac{1}{2x}}$, όπου $x\gt 0$.

1. Να μελετήσετε την $f$ ως προς μονοτονία και ακρότατα.
2. Να αποδείξετε ότι $\sqrt[12]{6}\lt \sqrt[10]{5}\lt \sqrt[6]{3}$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\alpha x-x\ln x$, όπου $\alpha\in\mathbb{R}$. Αποδείξτε ότι η $f$ παρουσιάζει μέγιστη τιμή, την οποία και να προσδιορίσετε.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=-\dfrac{1}{2}\gcos 2x-\sqrt{2}\gsin x$, $x\in[0,\pi]$.

1. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα μονοτονίας της $f$.
2. Να προσδιορίσετε τα τοπικά ακρότατα της $f$.
3. Να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της $f$.

(Προς υπενθύμιση: $\gsin 2x=2\gsin x\gcos x$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.)

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f$ με \[f(x)=\begin{cases} x^4\gsin^2 \dfrac{1}{x}, &x\neq 0\\ 0,&x=0 \end{cases}\ .\] Αποδείξτε ότι $f^{\prime}(0)=0$ και ότι το $x_0=0$ είναι σημείο τοπικού ελάχιστου της συνάρτησης $f$.

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f(x) =e^{\alpha x}-\alpha+5$ παρουσιάζει ελάχιστο στη θέση $x_0=0$, για κάθε $\alpha\in\mathbb{R}$.

Έστω $\nu\in\mathbb{N}^\ast$. Προσδιορίστε το μέγιστο της συνάρτησης $f(x)= x^{\frac{1}{\nu x}}$, $x\gt 0$.

Προσδιορίστε τα ακρότατα της συνάρτησης $f(x)=(x+1)^{x+1}(1-x)^{1-x}$, ορισμένης στο διάστημα $(-1,1)$.

Να εξετάσετε αν η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{1}{2}x^2+x-\gsin x$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο.

Για $\nu\in\mathbb{N}$, να μελετήσετε τη συνάρτηση $f(x)= x^{2\nu+1}(x^{2\nu+1}-1)$ ως προς μονοτονία και τοπικά ακρότατα.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x)=\dfrac{x+e^x}{e^x}$. Να προσδιοριστεί η ελάχιστη τιμή του $\alpha\in\mathbb{R}$ ώστε να ισχύει $f(x)\leq\alpha$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

Μια παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ συνάρτηση $f$ διαθέτει συνεχή παράγωγο και δεν παρουσιάζει ακρότατα. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι γνησίως μονότονη.

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\Delta\to\mathbb{R}$, όπου $\Delta$ είναι ανοικτό διάστημα. Θεωρούμε ένα σημείο $\textnormal{A}$, εκτός της $C_f$. Έστω ότι υπάρχει σημείο $\textnormal{B}$ της $C_f$ για το οποίο η απόσταση $(\textnormal{AB})$ είναι η ελάχιστη δυνατή. Αποδείξτε ότι η εφαπτομένη της $C_f$ στο $\textnormal{B}$ είναι κάθετη στην ευθεία $\textnormal{AB}$.

Θεωρούμε ορθογώνιο, του οποίου η μία κορυφή είναι το σημείο $\textnormal{O}(0,0)$, δύο πλευρές βρίσκονται πάνω στους θετικούς ημιάξονες $\textnormal{O} x$, $\textnormal{O} y$ και η τέταρτη κορυφή κινείται πάνω στην ευθεία $y=-\frac{1}{4}x+2$. Προσδιορίστε τις διαστάσεις $\alpha,\beta$ ώστε το ορθογώνιο να διαθέτει μέγιστο εμβαδό.

Να προσδιορίσετε σημείο $\textnormal{Μ}$ της ευθείας $y=1$ ώστε το άθροισμα των αποστάσεών του από τα σημεία $\textnormal{Α}(3,2)$ και $\textnormal{B}(1,3)$ να είναι ελάχιστο.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x)=\sqrt{x^2+9}$. Προσδιορίστε σημείο $\textnormal{Μ}$ της $C_f$ που απέχει ελάχιστη απόσταση από το σημείο $\textnormal{Α}(4,0)$.

Οι δύο πλευρές ενός τριγώνου έχουν μήκος $\alpha=6\,\mathrm{cm}$ , $\beta=8\,\mathrm{cm}$. Να υπολογιστεί η περιεχόμενη στις δύο πλευρές γωνία ώστε το τρίγωνο να αποκτά μέγιστο εμβαδό.

Δίνονται τα σημεία $\textnormal{Α}(0,1)$, $\textnormal{B}(0,2)$. Προσδιορίστε σημείο $\textnormal{M}$ της ευθείας με εξίσωση $y=-1$ ώστε η γωνία $\widehat{\textnormal{AMB}}$ να είναι μέγιστη.

Ένα ορθογώνιο διαστάσεων $x,y$ με περίμετρο $36\,\mathrm{cm}$ περιστρέφεται γύρω από την πλευρά $y$ και παράγει έναν κύλινδρο. Να υπολογίσετε τις διαστάσεις $x,y$ ώστε ο κύλινδρος να έχει τον μέγιστο όγκο, ο οποίος και να υπολογιστεί. Ποιος είναι ο όγκος αυτός;
(Προς υπενθύμιση: Ο όγκος κυλίνδρου με ακτίνα βάσης $\rho$ και ύψος $\upsilon$ ισούται με $V=\pi \rho^2 \upsilon$.)

Προσδιορίστε τη μέγιστη τιμή της παράστασης $2x+y$, όπου $x,y$ είναι τα μήκη καθέτων πλευρών ορθογωνίου τριγώνου με μήκος υποτείνουσας $2\sqrt{5}$.

Προσδιορίστε το σημείο $\textnormal{Μ}$ της παραβολής με εξίσωση $y=x^2$ που απέχει από το σημείο $\textnormal{Α}(3,0)$ την μικρότερη δυνατή απόσταση.

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα μήκους $d$ περιστρέφεται γύρω από μία κάθετη πλευρά του, σχηματίζοντας έτσι έναν ορθό κώνο. Προσδιορίστε τον μεγιστο όγκο που μπορεί να έχει ο κώνος.
(Προς υπενθύμιση: Ο όγκος κώνου με ακτίνα βάσης $\rho$ και ύψος $\upsilon$ ισούται με $V=\frac{1}{3}\pi \rho^2 \upsilon$.)

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x)=12-x^2$. Θεωρούμε επίσης το χωρίο $\Omega$ που περικλείεται από την $C_f$ και το άξονα $x^{\prime}x$. Προσδιορίστε το μέγιστο εμβαδό ορθογωνίου που βρίσκεται εντός του $\Omega$, με βάση στον $x^{\prime}x$ και τις άλλες δύο κορυφές στην $C_f$.

Προσδιορίστε τις διαστάσεις ορθογωνίου εγγεγραμμένου σε ημικύκλιο ακτίνας $R$, με μέγιστο εμβαδό.

Θεωρούμε τετράγωνο και ισόπλευρο τρίγωνο, των οποίο το άθροισμα των περιμέτρων είναι σταθερό και ίσο με $l$. Να υπολογιστούν οι διαστάσεις των σχημάτων ώστε το άθροισμα των εμβαδών των σχημάτων να είναι ελάχιστο.

Θεωρούμε κυκλικό τομέα ακτίνας $R$ και κεντρικής γωνίας $\vartheta$. Να προσδιοριστούν τα $R$ και $\vartheta$ ώστε να μεγιστοποιείται η περίμετρος του, όταν το εμβαδό είναι σταθερό και ίσο με $\textnormal{E}$.

Δίνονται οι ευθείες $\varepsilon: y=2-x$, $\zeta:y=3$ και η ευθεία $\delta: y=\lambda x$, όπου $\lambda\in\mathbb{R}$. Αν η ευθεία $\delta$ τέμνει τις $\varepsilon,\zeta$ στα σημεία $\textnormal{Α}$, $\textnormal{B}$ αντιστοίχως και $\textnormal{O}$ είναι η αρχή των αξόνων, Προσδιορίστε για ποια τιμή του $\lambda$ το γινόμενο $d=(\textnormal{OΑ})\cdot(\textnormal{OB})$ γίνεται ελάχιστο, καθώς και την ελάχιστη τιμή αυτή.

Θεωρούµε κύκλο $(\mathrm{K}, R)$, σηµείο του $\mathrm{A}$ και την εφαπτόµενη $\varepsilon$ του κύκλου στο $\mathrm{A}$. Έστω χορδή $\mathrm{B}\Gamma$ του κύκλου, παράλληλη στην παραπάνω εφαπτόµενη. Προσδιορίστε ποια πρέπει να είναι η απόσταση της χορδής $\mathrm{B}\Gamma$ από την εφαπτόµενη $\varepsilon$ ώστε το εµβαδό του τριγώνου $\mathrm{AB}\Gamma$ να είναι µέγιστο.

Αποδείξτε τις παρακάτω ανισότητες:

1. $e^{x-1}\geq x$, $x\in\mathbb{R}$
2. $e^{x^2}\geq 1-x$, $x\geq 0$
3. $e^{x}+x\geq \dfrac{x^2}{2}+1$,$x\geq 0$
4. $2\ln(x-1)\leq x-3+\ln 4$, $x\gt 1$
5. $2e^x\geq e(x^2+1)$, $x\geq 1$
6. $x+x^3+\gcos x\geq 1$, $x\geq 0$

Αποδείξτε τις παρακάτω ανισότητες:

1. $\ln x\leq \dfrac{x}{e}$, $x \gt 0$
2. $x^2 \geq 3 -\dfrac{2}{x}$, $x \gt 0$
3. $e^x \geq x^e$, $x \gt 0$
4. $x^x(4 - x)^{4-x}\geq 16$, $0\lt x\lt 4$
5. $\gcos x +x\gsin x \gt 1$, $0\lt x\lt \frac{\pi}{2}$
6. $1\gt \dfrac{\gsin x}{x}\gt \dfrac{2}{\pi}$ , $0\lt x\lt \frac{\pi}{2}$

Για $x\gt 0$ αποδείξτε ότι:

1. $1-x\lt e^{-x}$
2. $e^{-x}\lt 1-x+\dfrac{x^2}{2}$
3. $e^x\gt \dfrac{1}{1+x}$
4. $e^x\gt 1+\ln(1+x)$
5. $\gsin x\lt 2x$
6. $\gsin x\gt x-\dfrac{x^3}{3}$

Να επιλύσετε τις ανισώσεις:

1. $e^x-1\leq x$
2. $\gsin(e^x-1)+3(e^x-1)\leq\gsin x+3x$
3. $e^{x-1}\leq 1-\ln x$
4. $\dfrac{x+5}{x+2}-\ln x\leq 2$
5. $2^x +4^x \gt 6^x$
6. $\sqrt{e^{x^2-1}}\leq x$

Αποδείξτε ότι $x-\dfrac{x^2}{2} \lt \ln(1+x) \lt x$, για κάθε $x\gt 0$.

Αν $0\lt \alpha\lt \beta$, αποδείξτε ότι $\ln \alpha-\ln\beta\gt \dfrac{\alpha^2-\beta^2}{2\alpha\beta}$.

Αν $0\leq x\leq\frac{\pi}{2}$, αποδείξτε ότι $\gcos x\leq e^{-\frac{x^2}{2}}$.

Για κάθε $x\in\mathbb{R}$ αποδείξτε ότι:

1. $-\dfrac{1}{2}\leq\dfrac{x}{1+x^2}\leq\dfrac{1}{2}$
2. $\dfrac{1}{2}\leq\dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}\leq\dfrac{3}{2}$

Αν $\alpha\in(-\infty,0)\cup(1,+\infty)$, αποδείξτε ότι $(1+x)^\alpha \gt 1+\alpha x$, για κάθε $x\geq 0$.

Αποδείξτε ότι:

1. Η εξίσωση $x^{10}-10x+\alpha =0$, με $\alpha\gt 9$, δεν διαθέτει λύσεις.
2. H εξίσωση $4x^5-5x^4+3=0$ διαθέτει ακριβώς μία λύση.

Να επιλύσετε τις εξισώσεις:

1. $3^x=2x+1$
2. $e^{x/e}=x$

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)= 3x^2-\gcos 2x +1$ ($x\in\mathbb{R}$). Να προσδιορίσετε την ελάχιστη τιμή της $f$ και να επιλύσετε την εξίσωση $f(x)=0$.

Δίνεται συνάρτηση $f(x)=e^{x}-\ln(x+1)-1$.

1. Να μελετηθεί η $f$ ως προς μονοτονία και ακρότατα.
2. Να προσδιοριστεί το σύνολο τιμών της $f$.
3. Να επιλυθεί η εξίσωση $f(x)=0$.
4. Αν για τους $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με \[2\alpha+\beta \gt 0, \alpha+2\beta-1 \gt 0\] ισχύει
   \[e^{\alpha+2\beta-1}-\ln(2\alpha+\beta)+e^{\alpha+2\beta-2}-\ln(\alpha+2\beta-1)\leq 2,\tag{$\ast$}\]
   \[\begin{array}{l} e^{\alpha+2\beta-1}-\ln(2\alpha+\beta)+\\ +e^{\alpha+2\beta-2}-\ln(\alpha+2\beta-1)\leq\\ \leq 2, \end{array}\tag{$\ast$}\]
   να προσδιοριστούν οι $\alpha,\beta$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x) =(x-3)e^{x-1} +\kappa x+2$, όπου $\kappa\gt 1$.

1. Να αποδείξετε ότι $f^{\prime}(x)\geq\kappa-1$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.
2. Να επιλύσετε την εξίσωση $f(x)=\kappa$.

Θεωρούµε τη συνάρτηση $f(x)=2x^3-9x^2 + 12x + 1$. Προσδιορίστε το σύνολο τιµών της $f$ και το πλήθος λύσεων της εξίσωσης $f (x) = 0$.

Θεωρούµε τη συνάρτηση $f(x)=x^4-4x^3 + 5x^2 - 1$. Προσδιορίστε το σύνολο τιµών της $f$ και το πλήθος λύσεων της εξίσωσης $f (x) = 0$.

Θεωρούµε τη συνάρτηση $f (x)=x^3-6x^2 + 9x + 1$.

1. Προσδιορίστε το σύνολο τιµών της συνάρτησης $f$.
2. Προσδιορίστε το πλήθος λύσεων της εξίσωσης $f (x) = \alpha$, για $\alpha\in\mathbb{R}$.

Θεωρούµε τη συνάρτηση $f (x)=x^2-|x|-2$.

1. Προσδιορίστε το σύνολο τιµών της συνάρτησης $f$.
2. Προσδιορίστε το πλήθος λύσεων της εξίσωσης $f (x) = \alpha$, για $\alpha\in\mathbb{R}$.

Η ταχύτητα μεταφοράς πληροφορίας μέσω ενός καλωδίου είναι ανάλογη της ποσότητας $\dfrac{\ln x}{x^2}$, όπου $x$ το πάχος της μόνωσης του καλωδίου σε $\textrm{cm}$. Ποιο πρέπει να είναι το πάχος της μόνωσης ώστε η ταχύτητα να είναι μέγιστη;

Για την ένταση φωτισμού είναι γνωστά τα εξής:

• Σε οποιοδήποτε σημείο, η ένταση είναι ανάλογη του πηλίκου της έντασης της πηγής προς το τετράγωνο της απόστασης από την πηγή.
• Σε οποιοδήποτε σημείο, η συνολική ένταση φωτισμού από δύο πηγές ισούται με το άθροισμα των αντίστοιχων εντάσεων των πηγών.

Δύο πηγές φωτισμού με εντάσεις $\alpha$ και $\beta$ αντιστοίχως, απέχουν απόσταση $d$ μεταξύ τους. Να προσδιοριστεί το σημείο του ευθυγράμμου τμήματος που ενώνει τις πηγές, στο οποίο η συνολική ένταση να είναι ελάχιστη.

Σε αυτοκαταλυτική αντίδραση $\textnormal{Α}\longrightarrow \textnormal{B}+\textnormal{K}$, το προϊόν $\textnormal{K}$ είναι και καταλύτης της αντίδρασης. Η ταχύτητα αντίδρασης δίνεται από την σχέση $v=\kappa(\alpha-x)x^2$, όπου $\alpha$ η αρχική ποσότητα, $x$ η ποσότητα της χημικής ένωσης $\textnormal{Α}$ που αντιδρά και $\kappa$ σταθερά. Για ποιες τιμές του $x$ η ταχύτητα αντίδρασης γίνεται μέγιστη;

Έστω $K(x)$ το συνολικό κόστος παραγωγής $x\gt 0$ μονάδων ενός προϊόντος και $C(x)=\dfrac{K(x)}{x}$ το μέσο κόστος. Αν το μέσο κόστος είναι ελάχιστο, για κάποιο $x_0$, αποδείξτε την ισότητα $K^{\prime}(x_0)=C(x_0)$.

Ένας παραγωγός μπορεί να πουλήσει $x$ μονάδες ενός προϊόντος με κόστος $K(x)=500x+2000$, στην τιμή $D(x)=2000-0,1x$. Πόσες μονάδες προϊόντος πρέπει να παράγει για να έχει το μέγιστο κέρδος;

Μια εταιρεία παράγει τον μήνα $x$ μονάδες ενός προϊόντος με κόστος παραγωγής $K(x)=10^4 x+10^6$. Οι $x$ αυτές μονάδες πωλούνται με τιμή $A(x)= 5\cdot 10^4-20x$.

1. Προσδιορίστε πόσες μονάδες πρέπει να παράγει η εταιρεία ώστε να μεγιστοποιήθει το κέρδος και ποια είναι τότε η τιμή πώλησης κάθε μονάδας.
2. Ποια πρέπει να είναι η τιμή πώλησης για να προκύψει μέγιστο κέρδος, όταν επιπλέον επιβάλλεται φόρος τεσσάρων νομισματικών μονάδων ανά μονάδα προϊόντος;

Πρόκειται να κατασκευάσουμε κυλινδρικό δοχείο χωρητικότητας $1\,\textrm{l}$. Ποιες διαστάσεις πρέπει να διαθέτει το δοχείο ώστε να χρησιμοποιηθεί όσο το δυνατόν λιγότερο υλικό κατασκευής;
(Προς υπενθύμιση: Ο όγκος κυλίνδρου με ακτίνα βάσης $\rho$ και ύψος $\upsilon$ ισούται με $V=\pi \rho^2 \upsilon$, ενώ το εμβαδό της επιφάνειας με $\textnormal{E}=2\pi\rho(\rho+\upsilon)$.)

Πρόκειται να δημιουργηθεί αφίσα που να περιλαμβάνει $50\,\textrm{cm}^2$ τυπωμένο υλικό και περιθώρια $4\,\textrm{cm}$ πάνω και κάτω, και $2\,\textrm{cm}$ πλάγια. Να υπολογίσετε τις διαστάσεις της αφίσας ώστε η επιφάνεια της να είναι ελάχιστη.

Ένας εκδρομέας πρέπει να διασχίσει μια κυκλική λίμνη ακτίνας $1\,\textrm{km}$. Μπορεί να κωπηλατήσει μέχρι την απέναντι όχθη με ταχύτητα $2\,\textrm{km}/\textrm{h}$ ή να βαδίσει περιφερειακά με ταχύτητα $4\,\textrm{km}/\textrm{h}$ ή να κωπηλατήσει κατά ένα μέρος και να βαδίσει την υπόλοιπη διαδρομή. Ποια διαδρομή πρέπει να επιλέξει ώστε περάσει απέναντι όσο το δυνατόν πιο αργά και όσο το δυνατόν πιο γρήγορα;

Ένα αντικείμενο κινείται κατακόρυφα. Η απόσταση του από το έδαφος δίνεται από την σχέση \[h(t)=-8t^2+48t+56,\] όπου $h$ σε $\textrm{m}$ και $t$ σε $\textrm{s}$. Προσδιορίστε:

1. την ταχύτητα του όταν $t=0\,\textrm{s}$,
2. Το μέγιστο ύψος που μπορεί να επιτευχθεί,
3. την ταχύτητα του όταν $h=0\,\textrm{m}$.

Μια πλευρά ενός ανοικτού αγροτεμαχίου συνορεύει με ποτάμι ευθύγραμμης ροής. Πώς θα περιφράξουμε ορθογώνια τις άλλες τρεις πλευρές του αγροτεμαχίου με φράκτη μήκους $l$ ώστε να περικλείεται μέγιστο εμβαδό;

Ένα ορθογώνιο αγροτεμάχιο εμβαδού $21600\,\textrm{m}^2$ πρόκειται να περιφραχθεί με συρματόπλεγμα και να χωριστεί σε δύο ίσα μέρη από άλλο συρματόπλεγμα, παράλληλο σε μια από τις πλευρές του. Προσδιορίστε τις διαστάσεις του εξωτερικού ορθογωνίου ώστε να χρησιμοποιηθεί η ελάχιστη δυνατή ποσότητα υλικού περίφραξης.

Ένας αγρότης διαθέτει συρματόπλεγμα μήκους $1600\,\textrm{m}$ για να περιφράξει δύο χωριστά αγροτεμάχια. Το πρώτο είναι ορθογώνιο με τη μια διάσταση του τριπλάσια της άλλης, ενώ το δεύτερο είναι τετράγωνο. Το ορθογώνιο αγροτεμάχιο πρέπει να διαθέτει εμβαδό τουλάχιστον $1200\,\textrm{m}^2$ και το τετράγωνο τουλάχιστον $400\,\textrm{m}^2$. Προσδιορίστε τη μέγιστη συνολική επιφάνεια που μπορεί να περιφραχθεί.

Πρόκειται να κατασκευαστεί ορθογώνιο γήπεδο με ημικυκλική περιοχή σε καθεμία από τις δύο απέναντι πλευρές του. Διαδρομή $400\,\textrm{m}$ θα αποτελέσει την περίμετρο του γηπέδου. Προσδιορίστε τις διαστάσεις του γηπέδου ώστε το ορθογώνιο μέρος του να διαθέτει μέγιστο εμβαδό.

Το κείμενο και οι εικόνες κάθε σελίδας ενός βιβλίου καταλαμβάνουν εμβαδό $\textnormal{E}$, τα πλάγια περιθώρια έχουν μήκος $\alpha$, ενώ τα άνω και κάτω περιθώρια έχουν μήκος $\beta$. Πώς πρέπει να επιλεγούν οι διαστάσεις της σελίδας έτσι ώστε να διαθέτει ελάχιστο δυνατό εμβαδό;

Προσδιορίστε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση $f$ στρέφει τα κοίλα άνω ή κάτω και να προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σημεία καμπής της $C_f$, όταν:

1. $f(x)=\dfrac{x^3+x^2-1}{x^2-1}$
2. $f(x)=\dfrac{x^2-x-1}{x+1}$
3. $f(x)=\dfrac{x-1}{x^2}$
4. $f(x)= (x-2)^4 (5-x)^5$
5. $f(x)=x\ln\dfrac{1}{x}$
6. $f(x)=\sqrt{x}\ln\sqrt{x}$
7. $f(x)=xe^{\frac{1}{x}}$
8. $f(x)=x^x$
9. $f(x)=\dfrac{2\ln^2 x+2\ln x+1}{x^2}$
10. $f(x)=\dfrac{\ln x-\ln 2}{x}$
11. $f(x)=\dfrac{x^2}{2}-x\ln x+x$
12. $f(x)=\sqrt{1-x^2}$

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x^4+2\alpha x^3+24x^2+5x-7$, όπου $\alpha\in\mathbb{R}$.

1. Προσδιορίστε το ευρύτερο δυνατό διάστημα τιμών του $\alpha$ ώστε η συνάρτηση $f$ να είναι κυρτή στο $\mathbb{R}$.
2. Για ποια τιμή του $\alpha\in\mathbb{R}$ η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ διαθέτει ως σημείο καμπής το $\textnormal{A}(1,f(1))$;

Θεωρούμε συνάρτηση $f$, δύο φορές παραγωγίσιμη στο $(-3,3)$, η οποία ικανοποιεί τη σχέση \[f^{2}(x)+4f(x)+x^2 -5=0,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in(-3,3)$. Αποδείξτε ότι η $C_f$ δεν διαθέτει σημεία καμπής.

Δίνεται συνάρτηση $f$, παραγωγίσιμη στο $(0,3)$ και κοίλη στο $[0,3]$. Αποδείξτε ότι $f(1)+f(2)\gt f(0)+f(3)$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{2-x^2}{x+1}$, όπου $x\gt -1$.

1. Να μελετήσετε την $f$ ως προς την κυρτότητα.
2. Αν $\alpha,\beta\gt \dfrac{1}{e}$, να αποδείξετε ότι
   $$\dfrac{2-\ln^{2}\alpha}{\ln\alpha+1}+\dfrac{2-\ln^{2}\beta}{\ln\beta+1}\geq \dfrac{2-\ln^{2}\left(\sqrt{\alpha\beta}\right)}{\ln\left(\sqrt{\alpha\beta}\right)+1}.$$

Δίνεται συνάρτηση $f$, παραγωγίσιμη και κυρτή σε διάστημα $\Delta$. Αποδείξτε ότι \[f(\alpha)+f(\beta)\geq 2f\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right),\] για κάθε $\alpha,\beta\in\Delta$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x^{2}e^x$.

1. Να μελετήσετε την $f$ ως προς την κυρτότητα.
2. Να αποδείξετε ότι $f^{\prime}(x+1)\gt f(x+1)-f(x)$, για κάθε $x\gt 0$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x^2-\gsin x$.

1. Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι κυρτή στο $\mathbb{R}$.
2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $x_0\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ τέτοιο ώστε $f^{\prime}(x_0)=0$.
3. Να μελετήσετε την $f$ ως προς τη μονοτονία.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)= \alpha x^2-2x\ln x$, όπου $\alpha\gt 0$.

1. Προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η $f$ είναι κοίλη ή κυρτή.
2. Προσδιορίστε την εφαπτομένη της $C_f$ στο σημείο $\textnormal{Α} (1,\alpha)$ και την τιμή του $\alpha$ ώστε η εφαπτομένη αυτή να διέρχεται από τα σημείο $\textnormal{O}(0,0)$.

Αποδείξτε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)=\dfrac{ x^2+x+2}{x^2+1}$ διαθέτει τρία σημεία καμπής, τα οποία είναι συνευθειακά.

Για τη συνάρτηση $f(x)= x^3-3x-2$, αποδείξτε ότι

1. η $f$ παρουσιάζει ακρότατα και η $C_f$ ένα σημείο καμπής,
2. τα παραπάνω σημεία είναι συνευθειακά.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)= x^3-3x^2-9x+15$.

1. Αποδείξτε ότι η $f$ παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο, και η $C_f$ παρουσιάζει ένα σημείο καμπής.
2. Αν $x_1,x_2$ είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων και $x_3$ η θέση του σημείου καμπής, αποδείξτε ότι το $\Gamma(x_3,f(x_3))$ είναι μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $\textnormal{ΑB}$ με άκρα τα $\textnormal{Α}(x_1,f(x_1))$ , $\textnormal{B}(x_2,f(x_2))$.

Προσδιορίστε τις τιμές του $\lambda\in\mathbb{R}$ για τις οποίες το $x_0=-2$ είναι θέση σημείου καμπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f(x)= x^3+(\lambda^2-\lambda)x^2 +\lambda x+3-\lambda^4$.

Προσδιορίσετε τους $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)= \alpha x^3+\beta x^2+x-2$ να διαθέτει ως σημείο καμπής το $\textnormal{Α} (2,3)$.

Προσδιορίστε τους $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ ώστε η συνάρτηση $f(x)=x^3+\alpha x^2-\beta x-4$ να διαθέτει τοπικό ακρότατο στο $x_0=-3$ και το σημείο $\textnormal{Α}(-2,f(-2))$ να είναι σημείο καμπής της $C_f$.

Προσδιορίστε τις τιμές του $\alpha\in\mathbb{R}$ ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)=x^4+2\alpha x^3+54x^2-5x-7$ να μην διαθέτει σημείο καμπής.

Να υπολογιστούν οι τιμές των $\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R}$ για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)= x^4+\alpha x^3+\beta x^2+\gamma x+\delta$ δεν διαθέτει σημείο καμπής.

∆ίνεται η συνάρτηση $f(x) = \alpha x^3 + \beta x^2-1$. Προσδιορίστε τους αριθµούς $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ ώστε το σημείο $\mathrm{M}(1, 3)$ να είναι σηµείο καµπής της γραφικής παράστασης της $f$.

∆ίνεται η συνάρτηση $f(x) = x^4 +2x^3+6\alpha x^2$. Προσδιορίστε τον $\alpha\in\mathbb{R}$ ώστε η $f$ να είναι κυρτή στο $\mathbb{R}$.

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f$ με \[f^\prime (x)= x(x-1)^2(x-2)^3,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Να προσδιορίσετε τα τοπικά μέγιστα και ελάχιστα της $f$, καθώς και τα σημεία καμπής της $C_f$.

Δίνεται συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, δύο φορές παραγωγίσιμη, η οποία σε σημείο $x_0\in\mathbb{R}$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο το $f(x_0)=0$ και ικανοποιεί τη σχέση \[f^{\prime\prime}(x)\gt 4(f^{\prime}(x)-f(x)),\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Αποδείξτε ότι η η συνάρτηση $g(x)=f(x)e^{-2x}$ είναι κυρτή.
2. Αποδείξτε ότι $f(x)\leq 0$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

Αν για τη δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $g$ ισχύει \[g^\prime(x)+g^{\prime\prime}(x)\gt 0,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$, αποδείξτε ότι η συνάρτηση $f(x)=g\left(\ln\dfrac{1}{x}\right)$ είναι κυρτή στο $(0,+\infty)$.

Έστω η συνάρτηση $f (x)= x^7+x^5+x^3+5\gsin x$. Αποδείξτε ότι η $C_f$ διαθέτει μοναδικό σημείο καμπής.

Έστω δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ συνάρτηση $f$, για την οποία ισχύει \[f^4(x)=-5f^2(x)-e^x+1,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Αποδείξτε ότι η $C_f$ δεν διαθέτει σημείο καμπής.

Έστω ότι η συνάρτηση $f$ είναι κυρτή στο $\mathbb{R}$.

1. Αποδείξτε ότι η $f$ διαθέτει το πολύ δύο ρίζες.
2. Αν $\varepsilon$ τυχούσα ευθεία, αποδείξτε ότι η $C_f$ διαθέτει το πολύ δύο κοινά σημεία με την $\varepsilon$.
3. Αν η $C_f$ εφάπτεται του άξονα $x^{\prime}x$, αποδείξτε ότι η $f$ διαθέτει ακριβώς μία ρίζα.

Για την παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ συνάρτηση $f$ αποδείξτε ότι δεν είναι δυνατόν η $f$ να εμφανίζει στο $x_0$ τοπικό ακρότατο και η $C_f$ να διαθέτει ως σημείο καμπής το $\textnormal{Α}(x_0,f(x_0))$.

∆ίνεται η συνάρτηση $f(x)=\alpha x^2-2x\ln x$, όπου $\alpha\gt 0$.

1. Προσδιορίστε τα διαστήµατα στα οποία η $f$ είναι κυρτή ή κοίλη.
2. Προσδιορίστε την εξίσωση της εφαπτοµένης της $C_f$ στο σηµείο $\mathrm{A}(1,f(1))$.
3. Προσδιορίσετε το $\alpha$ ώστε η εφαπτοµένη αυτή να διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

∆ίνεται η συνάρτηση $f (x) = x^4 + e^x-3x$.

1. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι κυρτή στο $\mathbb{R}$
2. Προσδιορίστε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της $f$ στο σηµείο $\mathrm{A}(0, f(0))$.
3. Αποδείξτε ότι $f(x)\geq -2x+1$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.
4. Να επιλυθεί η εξίσωση $x^4 + e^x = x + 1$.

∆ίνεται η συνάρτηση $f (x) = \ln(\ln x)$.

1. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι κοίλη στο $(1,+\infty)$
2. Προσδιορίστε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της $f$ στο σηµείο $\mathrm{A}(e, f(e))$.
3. Αποδείξτε ότι $f(x)\leq e^{-1}x-1$, για κάθε $x\gt 1$.
4. Να επιλυθεί η εξίσωση $e\ln(\ln x)=x-e$.

Προσδιορίστε τις ασύμπτωτες της $C_f$, όταν:

1. $f(x)=\dfrac{1}{x+2}$
2. $f(x)=\dfrac{x^2-4x+3}{x-3}$
3. $f(x)=\dfrac{x^2+2x+2}{x^2+2}$
4. $f(x)=x-1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}$
5. $f(x)=\dfrac{3x-1}{x+2}$
6. $f(x)=\dfrac{x^3-5}{1-x}$

Προσδιορίστε τις ασύμπτωτες της $C_f$, όταν:

1. $f(x)=\dfrac{x^2-2x}{x+1}$
2. $f(x)=\dfrac{x(2x^2-1)}{x+4}$
3. $f(x)=\dfrac{x^3-x+6}{x^2-4}$
4. $f(x)=\dfrac{(x-3)^2}{x^2}$
5. $f(x)=\sqrt{x^2-x}$
6. $f(x)=\sqrt{x^2+3}-x$

Προσδιορίστε τις ασύμπτωτες της $C_f$, όταν:

1. $f(x)=\dfrac{\sqrt{x+3}}{x-3}$
2. $f(x)=\dfrac{x\sqrt{2-x}}{2+x}$
3. $f(x)=\dfrac{x^2}{(x+1)e^x}$
4. $f(x)=\ln(4-x^2)$
5. $f(x)=\dfrac{1+3\ln x}{x}$
6. $f(x)=\dfrac{x\ln(x-1)}{x^2-4}$

Προσδιορίστε τις ασύμπτωτες της $C_f$, όταν:

1. $f(x)=\gctan x$, $x\in(0,\pi)$
2. $f(x)=x\gsin\dfrac{2}{x}$
3. $f(x)=\dfrac{\gsin 2x}{x}$
4. $f(x)=\ln\dfrac{x^2}{|x^2-1|}$
5. $f(x)=\sqrt{x^2+1}-x$
6. $f(x)=\dfrac{x^3+2x^2-5x+6}{x^2-1}$

Προσδιορίστε τις ασύμπτωτες της $C_f$, όταν:

1. $f(x)=e^{\frac{1}{x}}$
2. $f(x)=2x+3+\dfrac{5e^x}{1+e^x}$
3. $f(x)=3x-2+\dfrac{\gsin x}{x}$
4. $f(x)=\dfrac{xe^x}{e^x-1}$
5. $f(x)=\dfrac{(x+1)\ln x+x}{\ln x}$
6. $f(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x-3}$

Θεωρούμε τη συνάρτηση \[f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{x-1},&x\lt 1\\[2ex] 3x+2, &x\geq 1\end{cases}\ .\] Να προσδιοριστούν οι κατακόρυφες ασύμπτωτες της $C_f$.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x)=\dfrac{xe^x+\gsin x}{e^x}$. Να προσδιοριστούν οι ασύμπτωτες της $C_f$ και να αποδειχθεί ότι διαθέτουν άπειρα κοινά σημεία με τη $C_f$.

Δίνεται η συνάρτηση $f$ με $\lim\limits_{x\to\pm\infty} f(x)=0$. Αν $g(x)= f(x)-2x+1$, προσδιορίστε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της $g$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=e^x+\kappa x-1$, όπου $x\in\mathbb{R}$.

1. Αν η εφαπτομένη της $C_f$ στο σημείο επαφής $\textnormal{A}(0,f(0))$ είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση $y=3x+5$, προσδιορίστε την τιμή του $\kappa$.
2. Αν $\kappa=2$, αποδείξτε ότι η ασύμπτωτη της $C_f$ στο $-\infty$ διαθέτει την εξίσωση $y=2x-1$.

Αν η ευθεία $y=3x-1$ είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$ στο $+\infty$, τότε:

1. Προσδιορίστε τα όρια $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ και $\lim\limits_{x\to +\infty}(f(x)-3x)$.
2. Προσδιορίστε το $\lambda\in\mathbb{R}$ ώστε $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{xf(x)-3x^2-\lambda^2 x+2}{f(x)+\lambda x +1}=-1$.

Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ διαθέτει στο $+\infty$ ασύμπτωτη την ευθεία με εξίσωση $y=4x+3$, να υπολογιστεί το όριο

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{(\alpha+2)x^2 -3\alpha x+4}{2x-1}$ και η ευθεία $\varepsilon: y=3x+\beta$. Να προσδιορίσετε τα $\alpha, \beta\in\mathbb{R}$ ώστε η $\varepsilon$ να είναι ασύμπτωτη της $C_f$.

Να προσδιορίσετε τα $\alpha, \beta\in\mathbb{R}$ ώστε η ευθεία $\varepsilon: y=\alpha x+\beta$ να είναι ασύμπτωτη στο $+\infty$ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f(x)=\sqrt{9x^2-x+1} - x$.

Έστω η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{\alpha x^2+\beta x}{x-2}$, $x\in\mathbb{R}\setminus\{2\}$, όπου $\alpha, \beta\in\mathbb{R}$. Αν η ευθεία $\varepsilon : y = 2x - 1$ είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της $f$ στο $+\infty$, προσδιορίστε τις τιμές των $\alpha, \beta$.

Να προσδιορίσετε τις τιμές του $\alpha\in\mathbb{R}$ ώστε η ευθεία με εξίσωση $x=1$ να είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f(x)=\dfrac{x^2+x+\alpha-1}{x-\alpha^4}$.

Να προσδιορίσετε τις τιμές του $\kappa\in\mathbb{R}$ για τις οποίες η ευθεία $\varepsilon: y=x+\kappa$ είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της $f(x)= x\ln^2\dfrac{4x-1}{2x+1}$.

Αν η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{\alpha x+1}{x-\beta}$ διαθέτει ως ασύμπτωτες τις ευθείες $x= -1$ και $y=3$, αποδείξτε ότι $\alpha=3$ και $\beta= -1$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{(\alpha-1)x^2+\beta x+5}{3x+\gamma}$, όπου $\alpha, \beta, \gamma\in\mathbb{R}$. Να υπολογιστούν $\alpha, \beta, \gamma$ ώστε η γραφική παράσταση της $f$ να διαθέτει ως ασύμπτωτες τις ευθείες $x=-2$ και $y=3$.

Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ διαθέτει στο $+\infty$ ασύμπτωτη την ευθεία με εξίσωση $y=x+2$, να προσδιοριστεί ο $\mu\in\mathbb{R}$ ώστε

Η ευθείες $x=1$ και $x=3$ είναι κατακόρυφες ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $$f(x)= \dfrac{5x}{x^2+\alpha x+\beta}.$$ Να προσδιοριστούν οι $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\sqrt{x^2+2x+2}$.

1. Αποδείξτε ότι η ευθεία $\varepsilon_1 :y=-x-1$ είναι πλάγια ασύμπτωτη της $C_f$ στο $-\infty$ και η $\varepsilon_2 :y=x+1$ είναι πλάγια ασύμπτωτη της $C_f$ στο $+\infty$.
2. Αποδείξτε ότι $x^2+2x+2\gt (x+1)^2$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Στη συνέχεια, αποδείξτε ότι η $C_f$ βρίσκεται πάνω από την $\varepsilon_1$ κοντά στο $-\infty$ και πάνω από την $\varepsilon_2$ κοντά στο $+\infty$.

Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα παρακάτω όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^3-1}{4x^3-x-3}$
2. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{3x}{x+5\sqrt{x}}$
3. $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{\sqrt{x^2+5}-3}{x^2-4}$
4. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{ e^x-1-x-\frac{x^2}{2}}{x^2}$
5. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2}{e^x-1-x}$
6. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)-x}{x^3}$

Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα παρακάτω όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\gsin x}{e^x-1}$
2. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\gsin x^2}{e^x-1}$
3. $\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{\gsin^2 x}-\dfrac{1}{x^2}\right)$
4. $\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\dfrac{1-\gsin x}{1+\gcos 2x}$
5. $\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\dfrac{\gsin x-\gcos x}{x-\frac{\pi}{4}}$
6. $\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\left(\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\gtan x\right)$

Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα παρακάτω όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 2}\left((x^2-4)\gtan\dfrac{\pi x}{4}\right)$
2. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^4}{x^2+2\gcos x-2}$
3. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x\gsin x-\gcos x+1}{x^2}$
4. $\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{\ln x}$
5. $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{\ln^2 x}{e^x-ex}$
6. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-\gsin x }{e^x-1-x-\frac{x^2}{2}}$

Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα παρακάτω όρια:

1. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x^2+ex}{x+e^x}$
2. $\lim\limits_{x\to -\infty}\left(x^2 e^x\right)$
3. $\lim\limits_{x\to +\infty}\big(x-\sqrt{x^2+x}\,\big)$
4. $\lim\limits_{x\to +\infty}(\ln x -x)$
5. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{5^x-3^x}{x}$
6. $\lim\limits_{x\to -\infty}\left(x^2 e^{-2x}\right)$

Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα παρακάτω όρια:

1. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(\sqrt{x}+1)}{\ln(\sqrt{x}+2)}$
2. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{e^{3x}}{x^4}$
3. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x^2 +x+\gsin x}{e^x +x+2}$
4. $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(x^4 3^{-x^4}\right)$
5. $\lim\limits_{x\to +\infty}(x^2 +\ln x-e^x)$
6. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x^3+e^x}{x^2+e^{2x}}$

Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα παρακάτω όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 0^+}x^x$
2. $\lim\limits_{x\to 0^+}\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^x$
3. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{x^2}e^{-\frac{1}{x^2}}$
4. $\lim\limits_{x\to 0}(1+\gsin x)^{\frac{1}{x}}$
5. $\lim\limits_{x\to 0^+}(1+x)^{\gctan x}$
6. $\lim\limits_{x\to 0^+}(x+2)^{\frac{1}{x}}$

Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα παρακάτω όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{\gcos^2 x}{x}-\dfrac{e^x}{\gsin x}\right)$
2. $\lim\limits_{x\to 1}\left(\dfrac{1}{\ln x}-\dfrac{1}{x-1}\right)$
3. $\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\gsin x}{\ln x}$
4. $\lim\limits_{x\to 0^+}\left(e^{\frac{1}{x}}\gsin x\right)$
5. $\lim\limits_{x\to 0^+}\left(x^2\ln x\right)$
6. $\lim\limits_{x\to 0^+}\left(x^4\ln |x|\right)$

Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα παρακάτω όρια:

1. $\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{x^3-e^x}{x+e^{2x}}$
2. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln x^3}{e^x}$
3. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{3^x}{x-3}$
4. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x^2}{\ln^3 x}$
5. $\lim\limits_{x\to +\infty}\big(2x+e^x+e^{3x}\big)^\frac{1}{x}$
6. $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(1+\dfrac{2}{x}\right)^x$

Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα παρακάτω όρια:

1. $\lim\limits_{x\to +\infty}x^\frac{1}{x}$
2. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(\ln x)}{\ln x}$
3. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{e^{x^2}}{x^x}$
4. $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x\left(x^\frac{1}{x}-1\right)}{\ln x}$
5. $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(x-x^2\gsin\dfrac{1}{x}\right)$
6. $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(1+e^\frac{1}{x}\right)^x$

Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα παρακάτω όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{x-4}+3-x}{\gsin^2 \pi x}$
2. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\gsin x-x+\frac{x^3}{6}}{x^4}$
3. $\lim\limits_{x\to 0}(\gcos x)^\frac{1}{x^2}$
4. $\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{2}}\left(\dfrac{1}{\gcos x}-\gtan x\right)$
5. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln\gcos x}{\ln\gcos 2x}$
6. $\lim\limits_{x\to 1}\left(\sqrt{1-x}\ln\ln\dfrac{1}{x}\right)$

Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα παρακάτω όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2^x +3^x+5^x -3}{x}$
2. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{2x}+\gsin 2x -1}{\ln(1+2x)}$
3. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^x+e^{-x}-2\gcos x}{x-\gsin x}$
4. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\gsin 2x-\gtan 2x}{x^3}$
5. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^x-e\gtan x}{\ln(1+x)}$
6. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\gtan 2x-2\gtan x}{2\gsin x-\gsin 2x}$

Για $\alpha, \beta, \gamma\in\mathbb{R}$, να υπολογίσετε το όριο $l=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\alpha^x +\beta^x +\gamma^x -3}{x}$.

Για $\alpha\neq 0$, να υπολογίσετε το όριο $l=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\gtan\alpha x-\alpha \gtan x}{\alpha \gsin x -\gsin\alpha x}$.

Να προσδιορίσετε τα $\alpha, \beta\in\mathbb{R}$ ώστε $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(2xe^{-\frac{1}{x}}-\alpha x+2\beta\right)=0$.

Θεωρούμε τη συνάρτηση \[f(x)=\begin{cases}\dfrac{\gsin^2 \pi x}{2-x}, &x\neq 2 \\0, & x=2 \end{cases}\ .\] Αποδείξτε ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0=2$.

Θεωρούμε τη συνάρτηση \[f(x)=\begin{cases}\dfrac{x\ln\sqrt{x}}{x-1}, & x\gt 0,\quad\ x\neq 1 \\[2ex] \dfrac{1}{2},& x=1\end{cases}\ .\]

1. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι συνεχής στο $1$.
2. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $1$, με $f^{\prime}(1)= \frac{1}{4}$.
3. Υπολογίστε την παράγωγο της $f$.

Θεωρούμε τη συνάρτηση \[f(x)=\begin{cases}\dfrac{\gsin x}{x}, & x\neq 0 \\ 1,& x=0\end{cases}\ .\] να προσδιοριστούν οι $f^{\prime} (0)$ και $f^{\prime\prime}(0)$.

Προσδιορίστε τις τιμές των $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ ώστε η συνάρτηση $f$ με τύπο \[f(x)=\begin{cases}x^2 e^x, & x\leq 1 \\ \alpha\ln x-\beta,& x\gt 1\end{cases}\] να είναι παραγωγίσιμη.

Προσδιορίστε τις τιμές των $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ ώστε η συνάρτηση $f$ με τύπο να είναι συνεχής.

Προσδιορίστε την παράγωγο της συνάρτησης \[f(x)=\begin{cases}e^{-\frac{1}{x^2}}, & x\neq 0 \\ 0,& x=0\end{cases}\ .\]

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f$ με τύπο \[f(x)=\begin{cases}\dfrac{3^x -1}{x}, & x\neq 0 \\ \ln 3, & x= 0\end{cases}\ .\] Αποδείξτε ότι $f^{\prime}(0)=\dfrac{\ln^2 3}{2}$.

Έστω $\alpha\gt 0$ και $f :[0,1]\to\mathbb{R}$ συνάρτηση με $f(x)=\dfrac{x-x\alpha}{\ln x}$, για $0\lt x\lt 1$, και $f(0)=0$, $f(1)=1-\alpha$. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι συνεχής.

Προσδιορίστε τις παραγώγους των συναρτήσεων $f,g$ με:

1. $f(x)=\begin{cases} x^2 \ln x, & x\neq 0 \\ 0, & x= 0\end{cases}$
2. $g(x)=\begin{cases}\ln|x|-\ln|1-e^x|, & x\neq 0 \\ 0, & x= 0\end{cases}$

Προσδιορίστε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$ όταν:

1. $f(x)=xe^\frac{1}{x}$
2. $f(x)=\dfrac{\ln(x+1)}{\ln x-1}$
3. $f(x)=x\ln x^2$
4. $f(x)=\sqrt{9x^2-x+1}$
5. $f(x)=\dfrac{2x}{\sqrt{x}-1}$
6. $f(x)=\dfrac{\sqrt{(x-1)^3}}{x}$

Προσδιορίστε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$ όταν:

1. $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$
2. $f(x)=x^2-2x-x\ln^2 x$
3. $f(x)=xe^{\frac{1}{x}}$
4. $f(x)\!=\!\dfrac{(x^3\!+\!x^2\!+\!x\!+\!1)\ln x}{e^{2x}}$
5. $f(x)= \ln|e^{2x}-1|$
6. $f(x)= x\ln\left(e-\dfrac{1}{x}\right)$

Θεωρούµε τη συνάρτηση $f(x) = \ln x - x$. Προσδιορίστε τα όρια της $f$ στο $0$ και στο $+\infty$, καθώς και το σύνολο τιµών της $f$.

Θεωρούµε την παραγωγίσιµη στο $(0, +\infty)$ συνάρτηση $f$ με \[\begin{array}{l} \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\alpha\in\mathbb{R}^{\ast},\\ \lim\limits_{x\to +\infty}(xf^{\prime}(x)+f(x))=4. \end{array}\] Αποδείξτε ότι $\alpha=4$.

Θεωρούµε την παραγωγίσιµη στο $(0, +\infty)$ συνάρτηση $f$ με \[ \begin{array}{l} \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\alpha\in\mathbb{R}^{\ast},\\ \lim\limits_{x\to +\infty}(f^{\prime}(x)+f(x))=2. \end{array} \] Αποδείξτε ότι $\alpha=2$.

Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί $\alpha, \beta$ ώστε το όριο \[l=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^3+\alpha e^{1-x}+\beta x +4}{x^2 -2x +1}\] να είναι πραγματικός αριθμός, το οποίο και να υπολογιστεί.

Έστω $f$ παραγωγίσιμη στο $0$ συνάρτηση με $f(0)=0$ και $f^{\prime}(0)=1$. Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}$
2. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{xf(x)}{\gsin x-xe^x}$

Αν η συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$, με συνεχή παράγωγο στο $0$ και $$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{xf(x)-\gsin x}{x^2}=0,$$ να προσδιοριστεί η $f^{\prime} (0)$.

Έστω συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, δύο φορές παραγωγίσιμη. Αποδείξτε ότι: $$\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f^{\prime}(x-2h)- f^{\prime}(x)}{h}=-2f^{\prime\prime}(x),$$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f$, ορισμένη στο διάστημα $[0,+\infty)$ με \[f(x)=\begin{cases}\dfrac{x\ln x}{1-x}, &x\in (0,+\infty)\setminus\{1\}\\ \ \ \ 0,&x=0\\ -1,&x=1\end{cases}\ .\]

1. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.
2. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι φθίνουσα στο διάστημα $(0,1)$.
3. Αποδείξτε ότι $f^{\prime}(1)=-\frac{1}{2}$.

Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση $f$, όταν:

1. $f(x)=x^2+3x+2$
2. $f(x)=x^3-3x^2$
3. $f(x)=x^4-3x^2+2$
4. $f(x)=x^4-4x^3$
5. $f(x)\!=\!2x^3\!-\!24x^2\!+\!72x$
6. $f(x)=x^2-|x|-2$

Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση $f$, όταν:

1. $f(x)=x+\dfrac{4}{x}$
2. $f(x)=x+\dfrac{x-2}{x+1}$
3. $f(x)=x+1-\dfrac{1}{2x^2}$
4. $f(x)=\dfrac{x^3}{x-1}$
5. $f(x)=\dfrac{x^3}{x^2-1}$
6. $f(x)=\dfrac{x(x^2+1)}{x^2-1}$

Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση $f$, όταν:

1. $f(x)=\dfrac{1}{x^2-2x}$
2. $f(x)=\dfrac{x+1}{x(x+2)}$
3. $f(x)=\dfrac{x^2-x+2}{x+1}$
4. $f(x)=\dfrac{2x^2}{x^2-1}$
5. $f(x)=\dfrac{x}{x^2-1}$
6. $f(x)=\dfrac{x^3-4x}{x^2-1}$

Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συναρτήση $f$, όταν:

1. $f(x)=xe^x$
2. $f(x)=\dfrac{e^x-3}{e^x+2}$
3. $f(x)=xe^{-\frac{1}{x}}$
4. $f(x)=\dfrac{x}{e^x}$
5. $f(x)=\dfrac{x}{\ln x}$
6. $f(x)=\dfrac{x}{x-\ln x}$

Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συναρτήση $f$, όταν:

1. $f(x)=1-\sqrt[3]{(x-1)^2}$
2. $f(x)=\dfrac{x}{1-|x|}$
3. $f(x)=\dfrac{|1-x|}{1-|x|}$
4. $f(x)=\dfrac{\ln x}{x^2}$
5. $f(x)=(x\!+\!1)(\ln x\!+\!1)$
6. $f(x)=x^2-2\ln x$

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, με $f(\sqrt{3})=2$ και \[2x f(x)+ x^2 f^{\prime}(x)= -3 f^{\prime}(x),\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Να προσδιορίσετε τον τύπο της $f$, να μελετήσετε την $f$ και να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $h(x)=\ln x+\dfrac{1}{x}$, $x\gt 0$.

1. Αποδείξτε ότι $h(x)\geq 1$, για κάθε $x\gt 0$.
2. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση $g(x)=h(x)+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}$ διαθέτει μοναδική ρίζα στο $\left(\frac{1}{e},1\right)$.
3. Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f(x)=e^{x}\ln x$ ως προς μονοτονία/ακρότατα και να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της.
4. Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς κυρτότητα και προσδιορίσετε τα σημεία καμπής της γραφικής παράστασης της $f$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{\alpha x^2+\beta x+4}{x-1}$, όπου $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$. Η γραφική παράσταση της $f$ διαθέτει ως ασύμπτωτη στο $+\infty$ την ευθεία με εξίσωση $y=-x+2$.

1. Να προσδιορίσετε τους $\alpha,\beta$.
2. Να μελετήσετε την $f$ και να σχεδιάσετε την γραφική της παράσταση.

Θεωρούμε τις συναρτήσεις $f(x)=e^{\frac{1}{x}}\ln x$ και $g(x)=x-\ln x$.

1. Να μελετήσετε ως προς μονοτονία/ακρότατα την $g$ και να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών.
2. Να προσδιορίσετε τις ασύμπτωτες της $f$.
3. Να μελετήσετε την $f$ ως προς μονοτονία και να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\ln(x^2)$.

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού και την παράγωγο της $f$.
2. Να προσδιορίσετε τα σημεία της $C_f$ στα οποία η εφαπτομένη διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
3. Να μελετήσετε την $f$ ως προς μονοτονία/ακρότατα και να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών.
4. Να προσδιορίσετε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της $f$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=(x^2+4x+3)e^x$.

1. Να μελετήσετε την $f$ ως προς μονοτονία και ακρότατα και να αποδείξετε ότι διαθέτει ένα ολικό ακρότατο.
2. Να μελετήσετε την $f$ ως προς την κυρτότητα και να προσδιορίσετε τα σημεία καμπής της $C_f$, αν υπάρχουν.
3. Να προσδιορίσετε τις ασύμπτωτες της $C_f$.
4. Να προσδιορίσετε την εξίσωση της εφαπτομένης της $C_f$ στο σημείο $\textnormal{A}(0,f(0))$.
5. Να αποδείξετε ότι $(x^2+4x+3)e^x\geq 7x+3$, για κάθε $x\geq -4+\sqrt{3}$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=(x^2+1)\ln x$, όπου $x\gt 0$.

1. Να αποδείξετε ότι $2x\ln x+\dfrac{1}{x}\gt 0$ για κάθε $x\gt 0$.
2. Να μελετήσετε την $f$ ως προς μονοτονία και να επιλύσετε την εξίσωση $f(x)=0$.
3. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $x_0\in\left(\frac{1}{e},1\right)$ τέτοιο ώστε το $\textnormal{A}(x_0,f(x_0))$ να είναι σημείο καμπής της $C_f$.
4. Να προσδιορίσετε τις ασύμπτωτες της $C_f$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=2x^3 -15x^2 +24x$.

1. Να μελετήσετε την $f$ ως προς μονοτονία και ακρότατα και να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών.
2. Να επιλύσετε την εξίσωση $f(x)=\lambda$ για τις διάφορες τιμές του $\lambda\in\mathbb{R}$.
3. Να μελετήσετε ως προς κυρτότητα την $f$ και να προσδιορίσετε τα σημεία καμπής της, αν υπάρχουν.

Έστω η συνάρτηση \[f(x)=\begin{cases} x^2,&|x|\leq 1\\[2ex] \dfrac{1}{x}, & |x|\gt 1\end{cases}~.\]

1. Να προσδιορίσετε το σύνολο στο οποίο η $f$ είναι συνεχής.
2. Να προσδιορίσετε το σύνολο στο οποίο η $f$ είναι παραγωγίσιμη.
3. Να σχεδιάσετε τη $C_f$.