Ανακεφαλαιωτικες Ασκησεις

Δίνεται 1-1 συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, καθώς και συνάρτηση $g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, για τις οποίες ισχύει για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Αποδείξτε ότι η $g$ είναι 1-1.
2. Προσδιορίστε την τιμή $g(2)$.
3. Επιλύστε την εξίσωση $g(e^x-1)=2$.

Δίνεται συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει \[f^3(x) +2f(x)= 12e^x,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Αποδείξτε ότι $f(x) \gt 0$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.
2. Προσδιορίστε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της $f$ με τον άξονα $y^\prime y$.
3. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι 1-1.
4. Επιλύστε την εξίσωση $f(|x|-3)= e^{2\ln 2}+\ln\dfrac{1}{e^2}$.

Δίνεται συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει \[f(f(x)-2)=x,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι 1-1.
2. Αποδείξτε ότι το σύνολο τιμών της $f$ είναι το $\mathbb{R}$.
3. Αποδείξτε ότι $f^{-1}(x)=f(x-2)$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.
4. Επιλύστε την εξίσωση $f(f(\ln(x^2+2))-2)=-2$.

Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x)=e^{x}+e^{-x}$ και $g(x)=3\gcos x-1$.

1. Αποδείξτε ότι η $f$ διαθέτει ως ελάχιστο το $2$.
2. Προσδιορίστε τα ακρότατα της $g$.
3. Προσδιορίστε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων $f$ και $g$.

Δίνονται συναρτήσεις $f,g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, για τις οποίες ισχύει \[(g\circ f)(x)=-3x+5,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Επίσης, η συνάρτηση $g$ είναι γνησίως αύξουσα και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο $\mathrm{A}(3,-1)$.

1. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα.
2. Επιλύστε την ανίσωση $f(|x|-1) \gt 3$.

Δίνεται η συνάρτηση $f: (0,+\infty)\to\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει \[f\left(\dfrac{x}{e}\right) \leq \ln x \leq f(x)-1,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in(0,+\infty)$.

1. Προσδιορίστε τον τύπο της $f$.
2. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι 1-1 και να ορίσετε την $f^{-1}$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=2+\ln x$ και συνάρτηση $g:\mathbb{R}\setminus\{2\}\to\mathbb{R}$.

1. Προσδιορίστε το πεδίο ορισμού $D$ της $g\circ f$.
2. Αν επιπλέον ισχύει $(g\circ f)(x)=x-\dfrac{3}{\ln x}$, για κάθε $x\in D$, προσδιορίσετε την συνάρτηση $g$.
3. Μελετήστε τη $g$ ως προς μονοτονία σε καθένα από τα διαστήματα $(-\infty,2)$ και $(2,+\infty)$.

Δίνονται συναρτήσεις $f,g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ για τις οποίες ισχύει ότι $f(4) =1$, η $f$ είναι 1-1 και \[(f\circ g)(x)=2x-3,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Να αποδείξετε ότι η $g$ είναι 1-1.
2. Να προσδιορίσετε το $g(2)$.
3. Αν επιπλέον είναι $g(x)=3x+\alpha$, να προσδιορίσετε τον $\alpha \in\mathbb{R}$ και τον τύπο της $f$.

Δίνονται γνησίως φθίνουσες και περιττές συναρτήσεις $f,g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$.

1. Προσδιορίστε τις τιμές $f(0)$ και $g(0)$.
2. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση $f\circ g$ είναι περιττή και γνησίως αύξουσα.
3. Επιλύστε την εξίσωση $2(f\circ g)(x) =3f(x)+4g(x)$.

Δίνονται συναρτήσεις $f,g: (0,+\infty)\to\mathbb{R}$, για τις οποίες ισχύει ότι η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα και η $g$ γνησίως αύξουσα.

1. Να μελετήσετε ως προς μονοτονία τη συνάρτηση $h=\dfrac{f}{g}$.
2. Να επιλύσετε την ανίσωση $f(\ln x)\cdot g(0) \gt g(\ln x)\cdot f(0)$.
3. Αν επιπλέον οι γραφικές παραστάσεις των $f$, $g$ τέμνονται επί της ευθείας $x=2$, να επιλύσετε την εξίσωση $h(e^x+1)=1$.

Δίνεται συνάρτηση $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, με $f(1)+f(e)=2e+3$ και για κάθε $x,y\in(0,+\infty)$.

1. Να προσδιορίσετε τα $f(1)$ και $f(e)$.
2. Να προσδιορίσετε τον τύπο της $f$.
3. Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι αντιστρέψιμη.
4. Να επιλύσετε την ανίσωση $4(x^2-1) \lt \ln\left(\dfrac{x^2+10}{3x^2+8}\right)$.

Δίνεται συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει \[f^3(x)+3f(x)+x=0,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Να προσδιορίσετε την τιμή $f(0)$.
2. Να αποδείξετε ότι η $f$ αντιστρέφεται και να προσδιορίσετε την $f^{-1}$.
3. Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα.
4. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η $C_f$ βρίσκεται κάτω από τον άξονα $x^\prime x$.
5. Να επιλύσετε την ανίσωση $f(f(|x|+1)-13) \lt 2$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x^3+\alpha x+2$, όπου $\alpha\in\mathbb{R}$. Η γραφική παράσταση της $f\circ f$ τέμνει τον άξονα $y^\prime y$ στο σημείο $\mathrm{A}(0,14)$.

1. Να προσδιορίσετε τον αριθμό $\alpha$.
2. Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι αντιστρέψιμη.
3. Να προσδιορίσετε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων $f$ και $f^{-1}$.
4. Να επιλύσετε την εξίσωση $f(f(x^2-4)+x-1)-f(x+1)=0$.
5. Να επιλύσετε την ανίσωση $f(f(|x|-2)-5) \lt f^{-1}(14)$.

Να επιλύσετε την εξίσωση $\dfrac{3^{x^2}}{81^x}-\dfrac{81}{3^x}=(4-x)^3-(x^2-4x)^3$.

Δίνεται συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει \[(f\circ f)(x)+f^3(x)=2x+3,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Δίνεται επίσης συνάρτηση $g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει \[f(g(x)-x)-f(\ln x+1)=0,\!\!\tag{$\ast\ast$}\] για κάθε $x \gt 0$.

1. Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι $1-1$.
2. Να προσδιορίσετε τον τύπο της $g$.
3. Να αποδείξετε ότι η $g$ είναι $1-1$.
4. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της $g^{-1}$.
5. Να επιλύσετε την εξίσωση $g^{-1}(3g(|x|+1)-4) =1$.
6. Να επιλύσετε την ανίσωση $x^2-4 \lt \ln\dfrac{x^2+7}{2x^2+3}$.

Δίνεται γνησίως μονότονη συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, με $f(2)=3$ και $f(1)=4$.

1. Να προσδιορίσετε το είδος μονοτονίας της $f$.
2. Να επιλύσετε την ανίσωση $f(f(|x|+1)-x)-f(3-x) \lt 0$.
3. Να επιλύσετε την ανίσωση $f(f^{-1}(x^2-1)-1) -4\geq 0$.
4. Θεωρούμε συνάρτηση $g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει \[(g\circ g)(x)=g(x)+f(x^3+1), \tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.
   1. Να αποδείξετε ότι η $g$ είναι $1-1$.
   2. Να επιλύσετε την εξίσωση $g(e^x)-g(1-x)=0$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)= 2e^{3x-2} +1$.

1. Να μελετήσετε την $f$ ως προς μονοτονία.
2. Να αποδείξετε ότι η $f$ αντιστρέφεται.
3. Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις $f^{-1}$ και $f^{-1}\circ f$.
4. Να επιλύσετε την εξίσωση $f(x^3+x^2)=f(-x-1)$.

Δίνεται συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει \[\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)+\gsin x}{x}=7.\tag{$\ast$}\] Να υπολογίσετε τα όρια $\lim\limits_{x\to 0}f(x)$ και $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{\gsin 3x}$.

Δίνεται η συνάρτηση $f$ με $f(x)=3\ln 2x +e^{3x}+4x-2$.

1. Να εξετάσετε την $f$ ως προς τη μονοτονία της.
2. Να υπολογίσετε τα όρια $\lim\limits_{x\to 0}f(x)$ και $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)$.
3. Να επιλύσετε η εξίσωση $f(x)=e^{3/2}$.
4. Να προσδιορίσετε τον πραγματικό θετικό αριθμό $\mu$, για τον οποίο ισχύει
   \[ \begin{array}{l} 3\ln(4\mu)-\\[1ex] -3\ln(2\mu^{2}+2)-\\[1ex] -4(\mu^{2}+1)=\\[1ex] =e^{3(\mu^{2}+1)}-e^{6\mu}-8\mu. \end{array} \tag{$\ast$} \]
   \[3\ln(4\mu)-3\ln(2\mu^{2}+2)-4(\mu^{2}+1)=e^{3(\mu^{2}+1)}-e^{6\mu}-8\mu.\tag{$\ast$}\]

Δίνεται συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει \[\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-\gsin x-3}{x^2+2x}=4.\tag{$\ast$}\] Να προσδιορίσετε τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 0}f(x)$
2. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-3}{x}$
3. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{|5-2f(x)|-1}{x^2-3x}$

Δίνεται συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει \[\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-x}{\sqrt{x+1}-1}=8.\tag{$\ast$}\] Να προσδιορίσετε τα όρια:

1. $\lim\limits_{x\to 0}f(x)$
2. $\lim\limits_{x\to 0}\left( f(x)\gsin\dfrac{1}{x}\right)$
3. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{\gsin 5x}$
4. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\gsin f(x)}{x}$

Δίνεται συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}=\lambda\in\mathbb{R}$ και \[f^3(x)-4x^3=2x^2f(x),\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Να προσδιορίσετε τον αριθμό $\lambda$.
2. Να προσδιορίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)+1-\gcos x}{x+\gsin x}$.

Δίνεται συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}=\lambda\in\mathbb{R}$ και για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Να προσδιορίσετε τον αριθμό $\lambda$.
2. Να προσδιορίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{xf(2x)\gsin 5x+f(x)\gsin^2 3x}{\gsin^3 x-3x\gsin^2 x}$.

Δίνεται συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει \[\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)\gtan x}{2x^2-x}=-\infty.\tag{$\ast$}\]

1. Να προσδιορίσετε τα όρια $\lim\limits_{x\to 0}f(x)$ και $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\gsin(1/x)}{f(x)}$.
2. Να προσδιορίσετε το $\alpha\in\mathbb{R}$ ώστε $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(\alpha^2+9)f^3(x)-5f(x)+4}{2\alpha f^3(x)+7f^2(x)-1}=3$.

Δίνεται συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει \[6x-x^2 \leq f(x) \leq x^2+6x,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Να προσδιορίσετε το $\lim\limits_{x\to 0}f(x)$.
2. Να αποδείξετε ότι το όριο $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{\gsin^2 x}$ δεν υπάρχει.
3. Να προσδιορίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{xf(x)-\gsin 3x}{\sqrt{x^2-x+4}-2}$.

Δίνεται πολυώνυμο $P(x)$ για το οποίο ισχύει \[\begin{align} \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{P(x)}{x^2-4}&=4,\\[2ex] \lim\limits_{x\to 2}\dfrac{P(x)}{x^2-4}&=\dfrac{9}{4}.\\ \end{align} \tag{$\ast$}\]

1. Να δικαολογήσετε γιατί το $P$ είναι δευτεροβάθμιο.
2. Να προσδιορίσετε το $P(x)$.
3. Να υπολογίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\sqrt{P(x)}-2x\right)$.

Δίνεται η συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει \[f^3(x)+3f(x)-2x=5,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι 1-1.
2. Να ορίσετε την $f^{-1}$.
3. Να προσδιορίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2f^{-1}(x)+\gsin 5x+5}{\gsin x}$.
4. Να προσδιορίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\gsin x}{f^{-1}(x)}$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\ln\dfrac{x}{1-x}$.

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της $f$.
2. Να αποδείξετε ότι η $f$ αντιστρέφεται και να ορίσετε την $f^{-1}$.
3. Να προσδιορίσετε τα όρια $\lim\limits_{x\to -\infty}f^{-1}(x)$ και $\lim\limits_{x\to +\infty}f^{-1}(x)$.

Δίνεται γνησίως αύξουσα συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με $f(1)=3$ και \[(f\circ f)(x)+f(x)=3x+2,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Να προσδιορίσετε την τιμή $f^{-1}(1)$.
2. Να προσδιορίσετε την τιμή $f(3)$.
3. Να επιλύσετε την εξίσωση $f^{-1}(x)=3$.
4. Να προσδιορίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{3\gcos x+\gsin x+x}{f(f(x))+f(x)-2}$.

Θεωρούμε συναρτήσεις $f,g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$.

1. Αν $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2f(x)-4}{x}=2$, να προσδιορίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to 0}f(x)$.
2. Για τη συνάρτηση $g$ ισχύει \[xg(x)+2\leq 2\gcos x-\gsin x+x,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Να προσδιορίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to 0}g(x)$, αν είναι γνωστό ότι υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός.
3. Να προσδιορίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2 f^{2}(x)+\gsin^{2}(2x)}{\gtan^{2}x+x^2 g(x)}$.

Δίνεται συνάρτηση $f$ με \[(x-1)f(x)+f(1-x)=x^2,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Να προσδιορίσετε τον τύπο της $f$.
2. Να προσδιορίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}$.
3. Να προσδιορίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to -\infty}\left(f(x)\gsin\dfrac{3}{x}\right)$.

Δίνεται η συνάρτηση όπου $\alpha$ πραγματικός αριθμός.

1. Να προσδιορίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}$.
2. Αν ισχύει $\lim\limits_{x\to +\infty}(f(x)-3x)=6$, να προσδιορίσετε τον $\alpha$.

Δίνεται συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει \[\gsin^2 x\leq f(x) \leq x^2,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι συνεχής στο $0$.
2. Να προσδιορίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}$.

Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει \[xf(x)+\gsin 3x=4x-5x^2\gsin\dfrac{1}{x},\!\!\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Να προσδιορίσετε τον τύπο της $f$.
2. Να υπολογίσετε τα όρια $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)$ και $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)$.
3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=0$ διαθέτει τουλάχιστον μία αρνητική και τουλάχιστον μία θετική λύση.

Θεωρούμε $\kappa,\lambda\in\mathbb{R}$ και τη συνεχή συνάρτηση $f$ με τύπο \[f(x) =\begin{cases} \dfrac{{2x+\kappa\gsin x}}{{x-{x^2}}},& x \lt 0\\ \lambda, & x=0\\ \sqrt {8{x^2} + x + 16}-3x, & x \gt 0 \end{cases}\]

1. Να προσδιορίσετε τους $\kappa,\lambda$.
2. Να υπολογίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)$.
3. Να υπολογίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)$.
4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=2\ln(8x+1)$ διαθέτει λύση στο $(0,1)$.

Δίνεται η συνάρτηση $f$ με $f(x)=2\ln\left(\dfrac{x+1}{1-x}\right)+3$.

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της $f$.
2. Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.
3. Να αποδείξετε ότι η $f$ αντιστρέφεται και να μελετήσετε την $f^{-1}$ ως προς τη συνέχεια.
4. Να προσδιορίσετε τα όρια $\lim\limits_{x\to 1}f(x)$ και $\lim\limits_{x\to -1}f(x)$.

Δίνεται η συνάρτηση $f$ με \[f(x)=\begin{cases} \dfrac{x^2 -5x+6}{4(x^3 -2x^2)},& x\lt 2, x\neq 0,\\[2ex] \dfrac{\kappa x+1}{2(x^2 -4)}, & x\gt 2 \end{cases}\] και η $g:\mathbb{R}\setminus\{0,1\}\to\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει:

• $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{g(x)\gsin x +2x}{3x}=5$,
• $g(x+3)=g(x)+f(x)$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

Να προσδιορίσετε:

1. Το $\kappa$ αν υπάρχει το $\lim\limits_{x\to 2}f(x)$.
2. Τα όρια $\lim\limits_{x\to 0}f(x)$, $\lim\limits_{x\to 0}g(x)$ και $\lim\limits_{x\to 3}g(x)$.

Δίνονται συνεχείς στο $\mathbb{R}$ συναρτήσεις $f$ και $g$, για τις οποίες ισχύουν:

• $f(x)\neq 0$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$.
• Οι γραφικές παραστάσεις των $f,g$ τέμνονται στο σημείο $\textnormal{A}(2,-1)$.
• Οι αριθμοί $\rho_1=-1$ και $\rho_2=5$ είναι δύο διαδοχικές λύσεις της εξίσωσης $g(x)=0$.

Αποδείξτε ότι:

1. η συνάρτηση $f$ διατηρεί σταθερό πρόσημο στο $\mathbb{R}$,
2. $g(x) \lt 0$ για κάθε $x\in(-1,5)$,
3. $\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{f(3)x^4 +2x^2 +1}{g(2)x^3 +5}=-\infty$.

Δίνεται η συνάρτηση $f$ με τύπο $f(x)=\dfrac{x^3\cdot 2^x+3\cdot 2^x -4}{2^x}$.

1. Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα.
2. Να προσδιορίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)$.
3. Να προσδιορίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)$.
4. Να αποδείξετε ότι, για κάθε $\kappa\in\mathbb{R}$, η εξίσωση $f(x)=\kappa$ διαθέτει λύση στο $\mathbb{R}$.

Δίνεται η συνάρτηση $f$ με τύπο $f(x)=-3e^{2x+1}-5x+3$, $x\in\mathbb{R}$.

1. Να προσδιορίσετε το είδος μονοτονίας της $f$.
2. Να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της $f$.
3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=0$ διαθέτει μοναδική λύση στο $\mathbb{R}$.

Δίνεται η συνάρτηση $f$ με τύπο $f(x)=\dfrac{x}{1+|x|}$, $x\in\mathbb{R}$.

1. Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι αύξουσα.
2. Να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της $f$ είναι το $(-1,1)$.
3. Να προσδιορίσετε την $f^{-1}$.

Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}^\ast$, με $f(2)=1$ και \[\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{xf(x)+\gsin x}{\sqrt{x+1}-1}=4.\tag{$\ast$}\]

1. Να προσδιορίσετε την τιμή $f(0)$.
2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi\in(0,2)$ ώστε $f(\xi)=2-\xi$.

Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει \[\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)-x}{x-1}=-2.\tag{$\ast$}\]

1. Να προσδιορίσετε την τιμή $f(1)$.
2. Να υπολογίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f^2(x) -4f(x)+3}{\sqrt{x^2+3}-2}$.

Δίνεται συνεχής και περιττή συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει \[\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)-1}{x-1}=1.\tag{$\ast$}\]

1. Προσδιορίστε την τιμή $f(1)$.
2. Υπολογίστε το όριο $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{f(x)+\sqrt{x+2}}{x^2 -1}$.
3. Δίνεται η συνάρτηση $g$ με τύπο $g(x)= \dfrac{2f(x)}{f^2(x)+1}$.
   1. Αποδείξτε ότι το σύνολο τιμών της $g$ είναι το $[-1,1]$.
   2. Υπολογίστε το όριο $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{g(x)}{x}$.

Θεωρούμε τις συναρτήσεις $f(x)=2-\sqrt{x+4}$ και $g(x)= \sqrt{5-x}$.

1. Να αποδείξετε ότι η $f(x)$ είναι 1-1 και να ορίσετε την συνάρτηση $f^{-1}$.
2. Να ορίσετε την συνάρτηση $f^{-1}\circ g$.
3. Έστω συνεχής συνάρτηση $h: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει \[\lim\limits_{x\to 4}\dfrac{h(x)-x+1}{\sqrt{x}-2}=12.\tag{$\ast$}\] Να υπολογίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to 4}\dfrac{(f^{-1}\circ g)(x)+h(x)}{x-4}$.

Θεωρούμε τις συναρτήσεις $g(x)=x+e^x$ και $h(x)= \dfrac{2}{x}-\ln x-1$. Θεωρούμε επίσης συνάρτηση $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει \[(g\circ f)(x)=h(x),\tag{$\ast$}\] για κάθε $x \gt 0$.

1. Να μελετήσετε ως προς μονοτονία και ακρότατα τις συναρτήσεις $g$ και $h$.
2. Να προσδιορίσετε τα σύνολα τιμών των $g$ και $h$.
3. Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα.
4. Να προσδιορίσετε τη τιμή $f(1)$.
5. Να επιλύσετε την ανίσωση $f(2x^2+1)-f(x^2+5)\geq f(1)$.

Δίνονται συνεχείς συναρτήσεις $f,g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, για τις οποίες ισχύουν:

• $f(x) \gt g(x)$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$,
• $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{(x^2-1)f(x)-\sqrt{x+3}+2}{x-1}=\dfrac{7}{4}$,
• $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{ xg(x)-\gsin x}{x^2+x}=-1$.

1. Να προσδιορίσετε τις τιμές $f(1)$ και $g(0)$.
2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει $x_0\in(0,1)$ τέτοιο ώστε $3f(x_0)+g(x_0)=4x_0$.

Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει \[x^2 \leq f(x)\leq x^2+2,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Να αποδείξετε ότι υπάρχει $x_0\in[0,1)$ τέτοιο ώστε $f(x_0)=x_0\cdot 3^{x_0}$.
2. Να υπολογίσετε τα όρια:
   1. $\lim\limits_{x\to 0}(\gsin^2 x f(1/x))$
   2. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)\gsin x}{x^3}$
   3. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\gsin^3 x f(1/x)+5x}{x^2+\gsin 3x}$

Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει \[f^3(x)+xf(x)+x^3=0, \tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in (0,+\infty)$.

1. Αποδείξτε ότι $-x^2 \lt f(x) \lt 0$, για κάθε $x\in (0,+\infty)$.
2. Αποδείξτε ότι η εξίσωση $6-xf(x)=x^2+5x$ διαθέτει λύση στο διάστημα $(1,2)$.
3. Να υπολογίσετε τα όρια:
   1. $\lim\limits_{x\to 0^+}\left(f(x)\gsin\dfrac{1}{x}\right)$
   2. $\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{f(x)}{x}$
   3. $\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{f(x)}{x^2}$

Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f: [1,5]\to\mathbb{R}$ με $f(1)=f(5)$. Θεωρούμε τη συνάρτηση $g$ με τύπο $g(x)= f(x+1)-f(x-1)$.

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού $\mathrm{A}$ της $g$.
2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\xi\in\mathrm{A}$ ώστε $g(\xi)=0$.

Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f:[0,2] \to\mathbb{R}$, με $f(0)+f(2)=0$. Θεωρούμε τη συνάρτηση $g$ με τύπο $g(x)=f(x)+(2x-1)f(x+1)$.

1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=0$ διαθέτει λύση στο διάστημα $[0,2]$.
2. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της $g$.
3. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της $g$ τέμνει τον άξονα $x^\prime x$.

Δίνεται η συνεχής στο $\mathbb{R}$ συνάρτηση $f$, με σύνολο τιμών το $\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει ότι \[f^3(x)+3f(x)=x+5,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα.
2. Να ορίσετε την $f^{-1}$.
3. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$ και $f^{-1}$ τέμνονται σε μοναδικό σημείο, με τετμημένη $x_0\in(1,2)$.
4. Να υπολογίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f^{-1}(x)\gsin x}{x^4}$.

Αποδείξτε ότι η εξίσωση $\dfrac{e^x}{x-1}+\dfrac{x^2+1}{x-2}+\dfrac{\gsin x+2}{x-3}=0$ διαθέτει δύο τουλάχιστον λύσεις.

Θεωρούμε συνεχή και γνησίως αύξουσα συνάρτηση $f$, ορισμένη στο $[0,1]$, με $f(0)=2$ και $f(1)=4$.

1. Αποδείξτε ότι η ευθεία με εξίσωση $y=3$ τέμνει τη γραφική παράσταση της $f$ σε μοναδικό σημείο, με τετμημένη $x_0\in(0,1)$.
2. Αποδείξτε ότι υπάρχει $\xi\in(0,1)$ τέτοιο ώστε $$4f(\xi)=f(\tfrac{1}{5})+f(\tfrac{2}{5})+f(\tfrac{3}{5})+f(\tfrac{4}{5}).$$

Αποδείξτε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f(x)=e^x$ και $g(x)=\sqrt{x}$ διαθέτουν κοινή εφαπτομένη.

Δίνονται οι συναρτήσεις $f,g$ με $f(x)= 2e^x-2$ και $g(x)= 2\ln(x+1)$.

1. Αποδείξτε ότι οι $C_f$, $C_g$ διαθέτουν μοναδικό κοινό σημείο.
2. Αποδείξτε ότι στο κοινό τους σημείο, οι $C_f$, $C_g$ διαθέτουν κοινή εφαπτομένη.
3. Να προσδιοριστεί η κοινή εφαπτομένη των $C_f$, $C_g$.

Για κάθε $\alpha,\beta,\kappa \gt 0$ με $\beta\geq \alpha$, αποδείξτε ότι: $\ln\left(\dfrac{\alpha^2+\kappa^2}{\beta^2 +\kappa^2}\right)\leq \dfrac{\beta-\alpha}{\kappa}$.

Δίνεται συνάρτηση $f:(e,+\infty)\to\mathbb{R}$ με $f(e^2)=0$ και \[f(x)+\ln\left(xf^{\prime}(x)\right)=0,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x \gt e$.

1. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση $f$.
2. Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα.
3. Να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της $f$.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f$, ορισμένη στο διάστημα $[0,+\infty)$, με τύπο \[f(x)=\begin{cases}\dfrac{x\ln x}{1-x}, &x\in (0,+\infty)\setminus\{1\}\\[1ex] \ \ \ 0,&x=0\\[1ex] -1,&x=1\end{cases}\ .\]

1. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.
2. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $(0,1)$.
3. Αποδείξτε ότι $f^{\prime}(1)=-\frac{1}{2}$.

Θεωρούμε παραγωγίσιμη στο $(0,+\infty)$ συνάρτηση $f$, με $f(1)=0$ και \[\ln x\leq f^{\prime}(x)\leq x-1,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x \gt 0$. Να μελετηθεί η $f$ ως προς μονοτονία και ακρότατα.

Δίνεται άρτια συνάρτηση $f:\mathbb{R}^{\ast}\to\mathbb{R}$, με $f(1)=2$ και \[xf^{\prime}(x)=-3f(x),\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\neq 0$.

1. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση $g(x)=x^{3}f(x)$ είναι σταθερή σε καθένα από τα διαστήματα $(-\infty,0)$ και $(0,+\infty)$.
2. Προσδιορίστε τον τύπο της $f$.
3. Προσδιορίστε τις ασύμπτωτες της $C_f$.

Έστω $f, g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ συνεχείς συναρτήσεις με \[f(x)-g(x)=x-4,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Υποθέτουμε ότι η ευθεία με εξίσωση $y =3x-7$ είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της $f$ στο $+\infty$.

1. Υπολογίστε τα όρια $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{g(x)}{x}$ και $\lim\limits_{x\to +\infty }\dfrac{g(x)+5x+\gsin 2x}{xf(x) - 3x^2 + 1}$.
2. Αποδείξτε ότι η ευθεία με εξίσωση $y = 2x-3$ είναι ασύμπτωτη της $C_g$ στο $+\infty$.

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $f$, με τύπο \[f(x)=\begin{cases} x+\dfrac{\gsin x}{x}, & x\neq 0\\ \alpha,&x=0\end{cases}\,\] όπου $\alpha\in\mathbb{R}$.

1. Να προσδιοριστεί ο $\alpha$.
2. Να αποδειχθεί ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $0$ και να προσδιοριστεί η εξίσωση εφαπτομένης της $C_f$ στο σημείο επαφής $\textnormal{Α}(0,f(0))$.
3. Να αποδειχθεί ότι η ευθεία με εξίσωση $y=x$ είναι ασύμπτωτη της $C_f$ στο $+\infty$.

Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, με \[\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x+ f(x)}{x^2}=1.\tag{$\ast$}\]

1. Να προσδιορίσετε την τιμή $f(0)$.
2. Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $0$ και να προσδιορίσετε την εφαπτομένη της $C_f$ στο σημείο επαφής $\textnormal{Α}(0,f(0))$.
3. Να υπολογίσετε το όριο $L=\lim\limits_{x\to 0}\ \dfrac{x+ f(x)+ \gsin^2 3x}{xf(x)+f^2(x)+f(3x) f(2x)}$.
4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $(x-1) f(x)=3x-2^x$ διαθέτει στο διάστημα $(0,1)$.

Θεωρούμε δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f$ στο διάστημα $[0,\pi]$, με $f(\pi)-f(0)=\pi^2$ και \[f^{\prime\prime}(x) \lt 1,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in[0,\pi]$. Αποδείξτε ότι υπάρχει μοναδικό $\xi\in(0,\pi)$ τέτοιο ώστε $f^\prime(\xi)= 2\xi-\gcos\xi$.

Δίνεται δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, με $f(0)+f(2)=0$ και

1. Να προσδιορίσετε την τιμή $f(1)$.
2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\xi\in(0,2)$ ώστε $f^{\prime}(\xi)=0$.

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, με $f(0)=1$ και \[2x f(x)+(x^2+1) f^{\prime}(x)=e^x,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Να προσδιορίσετε τον τύπο της $f$.
2. Να μελετήσετε την $f$ ως προς μονοτονία.
3. Να επιλύσετε την ανίσωση $e^{x^2-4}\leq x^4-8x^2+17$.

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, με $f(1) =\ln 2$ και \[xf^{\prime}(x)=\dfrac{1}{1+x}-f(x),\tag{$\ast$}\] για κάθε $x \gt 0$.

1. Να προσδιορίσετε τον τύπο της $f$.
2. Να μελετήσετε την $f$ ως προς μονοτονία και να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της.
3. Να αποδείξετε ότι $(x^2+2)^{x^2+2} \gt (x^2+3)^{x^2+1}$, για κάθε $x \gt 0$.
4. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $\xi\in (1,2)$ ώστε $f(\xi) =2-\xi$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)= \ln((\lambda+1)x^2+x+1)-\ln(x+2)$, με $x \gt -1$, όπου $\lambda\in[-1,+\infty)$.

1. Προσδιορίστε την τιμή του $\lambda$ ώστε το όριο $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)$ να είναι πραγματικός αριθμός.
2. Έστω ότι $\lambda=-1$.
   1. Να μελετήσετε την $f$ ως προς μονοτονία και να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της.
   2. Να προσδιορίσετε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της $f$.
   3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x)+\alpha^2=0$ διαθέτει μοναδική λύση, για οποιονδήποτε $\alpha\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$.

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει:

• $f(-x)f^{\prime}(x)=4$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$,
• η εφαπτομένη της $C_f$ στο σημείο $\textnormal{M}(0,f(0))$ διέρχεται από το σημείο $\textnormal{Α}(1,-4)$.

1. Να προσδιορίσετε τις τιμές $f(0)$ και $f^{\prime}(0)$.
2. Να αποδείξετε ότι $f(x) \lt 0$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.
3. Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα.
4. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $g$ με τύπο $g(x)=f(x) f(-x)$ είναι σταθερή.
5. Να προσδιορίσετε τον τύπο της $f$.

Δίνεται δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει $f(0)=0$, $f^{\prime}(0)=0$ και \[f(x) + f^{\prime\prime}(x)=1, \tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Nα προσδιορίσετε το $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x^2}$.
2. Να αποδείξετε ότι $f^2(x)-2 f(x)+(f^{\prime}(x))^2=0$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.
3. Να αποδείξετε ότι $-1\leq f^{\prime}(x)\leq 1$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.
4. Δίνεται η συνάρτηση $g(x)=2f(x)+6x-f(1)-f(2)-9$. Αποδείξτε ότι η $C_g$ τέμνει τον άξονα $x^{\prime}x$ σε ένα τουλάχιστον σημείο, με τετμημένη $x_0\in[1,2]$.

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, με $f(1)=1$ και \[f^{\prime}(x)=\dfrac{2f(x)}{x},\tag{$\ast$}\] για κάθε $x \gt 0$.

1. Να προσδιορίσετε τον τύπο της $f$.
2. Σημείο $\textnormal{M}$ κινείται επί της $C_f$. Έστω $\textnormal{Α}$ η προβολή του $\textnormal{M}$ στον άξονα $x^\prime x$. Το σημείο $\textnormal{Α}$ απομακρύνεται από την αρχή $\textnormal{O}(0,0)$ των αξόνων με ρυθμό $2$ μονάδες ανά $\mathrm{s}$. Τη χρονική στιγμή $t_0$ που η τετμημένη του είναι ίση με $3$, να προσδιορίσετε τον ρυθμό μεταβολής:
   1. των αποστάσεων $(\textnormal{AM})$ και $(\textnormal{OM})$,
   2. της γωνίας $\widehat{\textnormal{MOΑ}}$,
   3. της απόστασης $(\textnormal{OB})$, όπου $\textnormal{B}$ το σημείο τομής της εφαπτομένης της $C_f$ στο $\textnormal{M}$ με τον άξονα $x^\prime x$.

Έστω $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\alpha \lt \beta$. Θεωρούμε συνεχή συνάρτηση $f:[\alpha,\beta]\to\mathbb{R}^{\ast}$, παραγωγίσιμη στο $(\alpha,\beta)$. Αποδείξτε ότι υπάρχει $\xi\in(\alpha,\beta)$ με $$\dfrac{f^\prime(\xi)}{f(\xi)}=\dfrac{1}{\alpha-\xi}+\dfrac{1}{\beta-\xi}.$$

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, με $f(-2)=-12$ και \[f^\prime(x^3+x)= -8x+3, \tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$

1. Προσδιορίστε την εξίσωση εφαπτομένης της $C_f$ στο σημείο επαφής $\textnormal{Α}(-2, f(-2))$.
2. Αποδείξτε ότι $f(0)=4$ και $f(2)=0$.
3. Αποδείξτε ότι υπάρχει $x_0\in(0,2)$ ώστε $f(x_0)=2x_0$.
4. Αποδείξτε ότι υπάρχουν $\xi_1, \xi_2 \in(0,2)$, διαφορετικά μεταξύ τους, με $f^\prime(\xi_1)\cdot f^\prime (\xi_2)=4$.

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(-1, +\infty)\to\mathbb{R}$, με $f(0)=0$ και \[1- f^\prime(x)=e^{f(x)-x},\tag{$\ast$}\] για κάθε $x \gt -1$.

1. Να προσδιορίσετε τον τύπο της $f$.
2. Να μελετήσετε την $f$ ως προς μονοτονία.
3. Να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της $f$.
4. Να προσδιορίσετε τις ασύμπτωτες της $C_f$.
5. Να αποδείξετε ότι $x\geq\ln(x+1)$, για κάθε $x\geq -1$.

Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f:(-1,+\infty) \to\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει \[x^2 f(x)=\ln(x+1)\gsin\pi x,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x \gt -1$.

1. Να υπολογίσετε την τιμή $f(0)$.
2. Να εξετάσετε αν η $C_f$ διαθέτει οριζόντια ασύμπτωτη στο $+\infty$.
3. Θεωρούμε την συνάρτηση $f$, με τύπο \[f(x)=\begin{cases} f(x),& x \gt -1\\ \lambda,& x=-1\end{cases}\ ,\] όπου $\lambda\in\mathbb{R}$.
   1. Εξετάστε αν υπάρχει $\lambda\in\mathbb{R}$ ώστε η $g$ να είναι συνεχής.
   2. Για $\lambda=0$, αποδείξτε ότι υπάρχει $\xi\in(-1,0)$ ώστε $g^\prime(\xi)=-\dfrac{g(\xi)}{\xi}$.

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει \[f^3(x) +3f(x) =3x, \tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Να μελετήσετε την $f$ ως προς μονοτονία.
2. Να αποδείξετε ότι $f(x) \gt 0$, για κάθε $x \gt 0$.
3. Να αποδείξετε ότι $xf^\prime(x) \lt f(x) \lt x$, για κάθε $x \gt 0$.

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με \[f^3(x)+4f(x)=4x, \tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Να μελετήσετε την $f$ ως προς μονοτονία και να προσδιορίσετε το πρόσημο της.
2. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η $f$ είναι κυρτή ή κοίλη και τα σημεία καμπής της $C_f$ (αν υπάρχουν).
3. Να μελετήσετε τη συνάρτηση $g(x)=2x-f(x)$ ως προς μονοτονία.
4. Να επιλύσετε την ανίσωση $f(x^2-x-2)+2x+4 \lt 2x^2$.

Έστω $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\alpha \lt \beta$. Θεωρούμε συνεχή συνάρτηση $f:[\alpha,\beta]\to\mathbb{R}$, παραγωγίσιμη στο $(\alpha,\beta)$, με $f^{\prime}(x)\neq 0$, για κάθε $x\in(\alpha,\beta)$. Αποδείξτε ότι:

1. $f(\alpha)\neq f(\beta)$,
2. υπάρχει $x_0\in(\alpha,\beta)$ τέτοιο ώστε $5f(x_0)=2f(\alpha)+3f(\beta)$,
3. υπάρχουν $x_1,x_2\in(\alpha,\beta)$ τέτοια ώστε $f^{\prime}(x_1)\cdot f^{\prime}(x_2) \gt 0$.

Έστω η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{x^5}{5}+\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+x+1$.

1. Να μελετήσετε την $f$ ως προς μονοτονία και ακρότατα.
2. Να επιλύσετε την ανίσωση
   \[\begin{array}{l} f(f(5x^2-4x)) \gt\\[1ex] \gt f\left(2+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}\right). \end{array}\]
   $$f(f(5x^2-4x)) \gt f\left(2+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}\right).$$
3. Να αποδείξετε ότι η $C_f$ διαθέτει μοναδικό σημείο καμπής.
4. Να συγκρίνετε τους αριθμούς $f(4)+f(1)$ και $f(3)+f(2)$.

Έστω $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ παραγωγίσιμη συνάρτηση με $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{f(x)-2x}{x-2}=3$ και $f(3)=4$.

1. Προσδιορίστε την εξίσωση εφαπτομένης της $C_f$ στο σημείο με τετμημένη $x_0=2$.
2. Αν η $f$ είναι κυρτή στο $\mathbb{R}$, αποδείξτε ότι $f(x)-5x+6\geq 0$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.
3. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $\xi\in(2,3)$ στο οποίο η $f$ παρουσιάζει ελάχιστο.

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ με $f^{\prime}(1)=1$ και \[f(xy)=xf(y)+yf(x),\tag{$\ast$}\] για κάθε $x,y \gt 0$.

1. Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $(0,+\infty)$.
2. Να προσδιορίσετε τον τύπο της $f$.
3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=x-1$ διαθέτει μοναδική λύση.

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, με $f(1)=-2-\alpha$, $f^\prime(1)=-8$ και \[\begin{align} f(x)&\leq \dfrac{2}{x}-\alpha-4,\\[1ex] f(x)&\geq -4-6x+\dfrac{1}{4x}, \end{align}\tag{$\ast$}\] για κάθε $x \gt 0$, όπου $\alpha\in\mathbb{R}$.

1. Να προσδιορίσετε τον αριθμό $\alpha$.
2. Να προσδιορίσετε την πλάγια ασύμπτωτη της $C_f$ στο $+\infty$.
3. Να υπολογίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to +\infty}\ \dfrac{f(x)+\gsin x+4}{xf(x)+6x^2+\ln x}$.

Έστω δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με \[2f(x^3)-f^2(x)\geq 1, \tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Αποδείξτε ότι η εξίσωση $f^\prime(x) =0$ διαθέτει δύο τουλάχιστον λύσεις στο $(-1,1)$.
2. Αποδείξτε ότι $f^\prime(-1)= f^\prime(0)= f^\prime(1)$.
3. Αποδείξτε ότι η γραφική παράσταση της $f$ διαθέτει τουλάχιστον τέσσερα πιθανά σημεία καμπής στο διάστημα $(-1,1)$.

Έστω συνεχής στο $0$ συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, με $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-2x}{x^2}=4$.

1. Αποδείξτε ότι $f(0)=0$.
2. Αποδείξτε ότι η εξίσωση εφαπτομένης της $C_f$ στο σημείο $\mathrm{A}(0,f(0))$ είναι η $y=2x$.
3. Αποδείξτε ότι $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-2\gsin x}{1-\gcos x}=8$.

Aν η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $[-1,1]$ και παραγωγίσιμη στο $(-1,1)$, αποδείξτε ότι υπάρχει $\xi\in(-1,1)$ τέτοιο ώστε $2f^\prime(\xi)=5\xi^4(f(1)-f(-1))$.

Να προσδιορίσετε τους $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ ώστε η συνάρτηση $f(x)=\alpha \ln(x-1)+\beta x^2-3x+5$ να παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία $x_1=2$ και $x_2=3$. Να προσδιορίσετε τις τιμές και το είδος των ακροτάτων.

Έστω η συνάρτηση $f(x)= 2x-x^3+2$, $x\in[1,2]$.

1. Να μελετήσετε την $f$ ως προς μονοτονία.
2. Να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της $f$.
3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=0$ διαθέτει μοναδική λύση στο διάστημα $(1,2)$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x^3-3x^2-9x+15$.

1. Να μελετηθεί η $f$ ως προς μονοτονία και ακρότατα.
2. Να μελετηθεί η $f$ ως προς κυρτότητα.

Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x)= \dfrac{\ln x}{x}$ και $g(x)=2x+f(x)$.

1. Aποδείξτε ότι $\ln x \lt x$, για κάθε $x\in(0,+\infty)$.
2. Αποδείξτε ότι η $g$ είναι γνησίως αύξουσα στο $(0,+\infty)$.
3. Να μελετήσετε την $g$ ως προς κυρτότητα και να προσδιορίσετε τα σημεία καμπής της $C_g$, αν υπάρχουν.
4. Να προσδιορίσετε τη θέση της $g$ ως προς την ευθεία με εξίσωση $y=2x$.

Δίνεται συνεχής και μη μηδενική συνάρτηση $f$, για την οποία ισχύει για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Αποδείξτε ότι $f(0)=1$.
2. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι άρτια.
3. Αποδείξτε ότι $f(|x|)=f(x)$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.
4. Αποδείξτε ότι αν η $f$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, τότε $f^{\prime\prime}(x)f(y)-f(x)f^{\prime\prime}(y)=0$, για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$.

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, για την οποία ισχύουν

• $xf^{\prime\prime}(x)=4x-f^{\prime}(x)$, για κάθε $x \gt 0$,
• η ευθεία με εξίσωση $y=3x-5$ είναι η εφαπτομένη της $C_f$ στο σημείο επαφής $\textnormal{M}(1,f(1))$.

1. Να προσδιορίσετε τις τιμές $f(1)$ και $f^\prime(1)$.
2. Να προσδιορίσετε τον τύπο της $f$.
3. Αποδείξτε ότι η $C_f$ τέμνει τον $x^\prime x$ σε ένα ακριβώς σημείο, με τετμημένη $x_0\in(1,e)$.

Έστω η συνάρτηση $f(x)=x^2 e^x -2$. Να αποδείξετε ότι:

1. $f^{\prime}(x)=f(x)+2xe^x+2$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.
2. $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$.
3. $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=-2$.
4. H $f^{\prime}$ διαθέτει ακριβώς δύο ρίζες.
5. H $f$ διαθέτει ακριβώς μία ρίζα.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to\mathbb{R}$ με τύπο \[f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{\gsin x},& x\neq 0 \\ 0,&x=0 \end{cases}.\]

1. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι συνεχής.
2. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ και προσδιορίσετε τον τύπο της $f^\prime$.
3. Αποδείξτε ότι η $f$ διαθέτει μοναδική ρίζα.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x)=\alpha x^3+\beta x^2+\gamma x+\delta$, όπου $\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R}$. Υποθέτουμε ότι τα ακρότατα της $f$ βρίσκονται επί ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Αποδείξτε ότι $\beta\gamma=9\alpha\delta$.

Για τη συνάρτηση $f(x)=\alpha x^3+\beta x^2+\gamma x+\delta$, όπου $\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R}$, ισχύουν:

• $-x^2\leq f(x)$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$, και η ισότητα ισχύει μόνο για $x=-1$.
• $f(x)\leq x^2+1$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$, και η ισότητα ισχύει μόνο για $x=1$.

Να προσδιοριστεί ο τύπος της $f$.

Έστω $f(x)=\ln x$ και $0 \lt \alpha \lt \beta$.

1. Να προσδιορίσετε το (μοναδικό) $\xi\in (\alpha,\beta)$ του συμπεράσματος του Θεωρήματος Μέσης Τιμής για την $f$ στο $[\alpha,\beta]$.
2. Αποδείξτε ότι $\sqrt{\alpha\beta} \lt \xi \lt \dfrac{\alpha+\beta}{2}$.

Έστω παραγωγίσιμη στο $0$ συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, με $f(0)=0$, $f^{\prime}(0)= \frac{1}{2}$ και \[f(x+y)=\dfrac{f(x)+f(y)}{1+f(x)f(y)},\tag{$\ast$}\] για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$.

1. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι περιττή.
2. Αποδείξτε ότι $f(x)\neq\pm 1$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.
3. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με $f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2}(1-f^2(x))$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.
4. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι γνησίως μονότονη.
5. Αποδείξτε ότι $\dfrac{(f(x)+1)^\prime}{f(x)+1}-\dfrac{(f(x)-1)^\prime}{f(x)-1}=1$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.
6. Προσδιορίστε τον τύπο της $f$.

Δίνεται η συνάρτηση \[f(x)=\begin{cases} x\ln x,&x \gt 0 \\ 0, &x=0 \end{cases}.\]

1. Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι συνεχής στο $0$.
2. Να μελετήσετε την $f$ ως προς μονοτονία και να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της.
3. Να προσδιορίσετε το πλήθος των διαφορετικών θετικών ριζών της εξίσωσης $x=e^{\frac{\alpha}{x}}$, για τις διάφορες τιμές του $\alpha\in\mathbb{R}$.
4. Να αποδείξετε ότι ισχύει $f^\prime(x+1) \gt f(x+1)-f(x)$, για κάθε $x \gt 0$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\alpha^x-\ln(x+1)$, $x \gt -1$, όπου $\alpha \gt 0$ και $\alpha\neq 1$.

1. Αν ισχύει $f(x)\geq 1$, για κάθε $x \gt -1$, αποδείξτε ότι $\alpha=e$.
2. Για $\alpha=e$:
   1. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι κυρτή.
   2. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $(-1,0]$ και γνησίως αύξουσα στο διάστημα $[0,+\infty)$.
   3. Αν $\beta,\gamma\in(-1,0)\cup(0,+\infty)$, αποδείξτε ότι η εξίσωση $\dfrac{f(\beta)-1}{x-1}+\dfrac{f(\gamma)-1}{x-2}=0$ διαθέτει λύση στο διάστημα $(1, 2)$.

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει ότι η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα $x^\prime x$ στο σημείο με τετμημένη $1$. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $(x-2)f^\prime(x)+ f(x)=0$ διαθέτει λύση στο διάστημα $(1,2)$.

Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x)=\ln x$ και $g(x)=1-\ln x$.

1. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση $F=f\circ g$ και την αντίστροφή της, αν υπάρχει.
2. Να προσδιορίσετε την εξίσωση εφαπτομένης της $C_F$ που είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση $y=-x+5$.
3. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $F$ και $G(x)=\ln(1-f^\prime(x))$ διαθέτουν μοναδικό κοινό σημείο.

Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ και $g(x) = 2x+ f(x)$.

1. Αποδείξτε ότι $\ln x \lt x$ για κάθε $x\in(0, +\infty)$.
2. Αποδείξτε ότι η $g$ αντιστρέφεται.
3. Να μελετήσετε την $g$ ως προς κυρτότητα και να προσδιορίσετε τα σημεία καμπής της $C_g$, αν υπάρχουν.
4. Να επιλύσετε η ανίσωση $g(x) \gt 2$.
5. Να προσδιορίσετε την εξίσωση εφαπτομένης της $C_f$ στην θέση του τοπικού ακροτάτου της $f$.
6. Να προσδιορίσετε τις ασύμπτωτες της $g$.

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ με \[f^2(x)+4f(x)-2x= e^x-3,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Να αποδείξετε ότι η $C_f$ τέμνει τον άξονα $x^\prime x$ το πολύ σε ένα σημείο.

Έστω συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, με $f^\prime(x)\neq 0$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$. Αν οι οριζόντιες ασύμπτωτες της $C_f$ στο $-\infty$ και $+\infty$ είναι οι ευθείες με εξισώσεις $y=1$ και $y=4$, αποδείξτε ότι υπάρχει μοναδικό $x_0\in\mathbb{R}$ με $f(x_0)=3$.

Δίνεται δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με $f(1)=14$, $f(2)=7$ και $f(3)=-6$.

1. Να προσδιορίσετε τις τιμές $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ ώστε η συνάρτηση $g(x)= \alpha x^2+\beta x +f(x)$ να ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle στα διαστήματα $[1,2]$ και $[2,3]$.
2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\xi\in(1,3)$ με $f^{\prime\prime} (\xi)=-6$.

Έστω δύο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση $f: (-3,3)\to\mathbb{R}$, με \[f^2(x)-4f(x)=5-x^2,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in(-3,3)$.

1. Αποδείξτε ότι η γραφική παράσταση της $f$ δεν διαθέτει σηµείο καµπής.
2. Αν επιπλέον $f(0) \lt 0$, να προσδιορίσετε τον τύπο της $f$.

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[1,+\infty)\to\mathbb{R}$. Θεωρούμε παράγουσα $F$ της $\dfrac{f(x)}{x}$ στο $[1,+\infty)$ με $F(1)=0$. Υποθέτουμε ότι \[f(x)\gt F(x),\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in[1,+\infty)$.

1. Να μελετήσετε την $\dfrac{F(x)}{x}$ ως προς μονοτονία και ακρότατα.
2. Να αποδείξετε ότι $f(x)\gt 0$, για κάθε $x\in[1,+\infty)$.
3. Να υπολογίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)$.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}$ με $f(x)=\dfrac{(\alpha-1)x+6}{x+\beta}$, όπου $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$. Υποθέτουμε ότι η $C_f$ διαθέτει ως ασύμπτωτες τις ευθείες με εξισώσεις $y=2$ και $x=-1$.

1. Να προσδιορίσετε τους $\alpha,\beta$.
2. Να προσδιορίσετε παράγουσα $F$ της $f$ στο $(-1,+\infty)$, τέτοια ώστε η γραφική παράσταση της να διέρχεται από το σημείο $\textnormal{M}(0,2)$.
3. Να μελετήσετε τη συνάρτηση $g(x)=\dfrac{F(x)}{x+1}$ ως προς μονοτονία και ακρότατα.

Έστω συνάρτηση $f$ στο $[0,+\infty)$ με \[2f(x)f^{\prime}(x) = 1+ f^2 (x),\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\gt 0$.

1. Απoδείξτε ότι $\dfrac{1+f^2 (1)}{1+f^2 (0)}=e$.
2. Έστω ότι $f(0)=0$.
   1. Να υπολογίσετε το $\dint_1^2 |e^x f(x)|dx$.
   2. Αν η $f$ είναι γνησίως αύξουσα, να προσδιοριστεί ο τύπος της $f$.

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση \[f(x)=\begin{cases}x^2+\alpha x+\beta, & x\lt 1\\ \dfrac{\ln^2 x}{x}, & x\geq 1 \end{cases}\ ,\] όπου $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$.

1. Να προσδιορίσετε τα $\alpha,\beta$
2. Να προσδιορίσετε τις ασύμπτωτες της $C_f$.
3. Να υπολογίσετε το $\dint_{0}^{e}f(x)\, dx$.

Έστω $f$ συνεχής συνάρτηση στο $\mathbb{R}$ με \[f^3(x)+f(x)=x,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Να αποδειχθεί ότι η $f$ είναι αντιστρέψιμη και να προσδιοριστεί η αντίστροφή της.
2. Να υπολογιστεί το $\dint_0^2 f(x)dx$.

Δίνεται συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to(0,+\infty)$, με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύει $f(0)=1$ και

1. Να προσδιορίσετε την τιμή $f(1)$.
2. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $I=\dint_0^1 f(x)\,dx$.
3. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $J=\dint_0^1 \dfrac{f^\prime(x)}{ f^2(x)+f(x)}dx$.
4. Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\xi\in(0,1)$ με $f(\xi)=f^\prime(\xi)$.

Έστω $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\alpha\lt \beta$. Θεωρούμε συνάρτηση $f$ που στρέφει τα κοίλα άνω στο $[\alpha,\beta]$.

1. Για κάθε $x\in[\alpha,\beta]$ αποδείξτε ότι $$f(x)\leq\dfrac{x-\alpha}{\beta-\alpha}f(\beta)+\dfrac{x-\beta}{\alpha-\beta}f(\alpha).$$
2. Για κάθε $x\in[\alpha,\beta]$ αποδείξτε ότι $$f\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\leq\dfrac{1}{2}\big(f(x)+f(\alpha+\beta-x)\big).$$
3. Αποδείξτε ότι $$\begin{array}{l} f\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right) \leq\\[1ex] \leq\dfrac{1}{\beta-\alpha}\dint_\alpha^\beta f(x)dx\leq\\[1ex] \leq\dfrac{1}{2}\left(f(\alpha)+f(\beta)\right). \end{array}$$
4. Αποδείξτε ότι $$f\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\leq\dfrac{1}{\beta-\alpha}\dint_\alpha^\beta f(x)dx\leq\dfrac{1}{2}\left(f(\alpha)+f(\beta)\right).$$

Έστω συνάρτηση $f$, με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο $\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει:

• $\dint_0^1\dfrac{f(x)-f^{\prime\prime}(x)}{e^x}dx=1$,
• η $f$ παρουσιάζει ακρότατο στο $x=0$,
• η $C_f$ εφάπτεται στον άξονα $x^{\prime}x$ στο $x=1$.

1. Να προσδιορίσετε το $f(0)$.
2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\xi\in(0,1)$ στο οποίο η εφαπτομένη της $C_f$ είναι παράλληλη στην ευθεία $\varepsilon: x+y+1=0$.

Θεωρούμε συνάρτηση $f$ με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο $\mathbb{R}$ και \[f^{\prime\prime}(x)=2f(x),\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $I=\dint_1^e f(x)\gsin x\,dx$.
2. Να προσδιορίσετε τον τύπο της $f$, αν επιπλέον $f(0)=1$.

Θεωρούμε συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, για τις οποίες ισχύουν τα παρακάτω:

• Η $f$ είναι συνεχής, με $f(x)\neq x$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.
• Η $g(x)$ είναι παράγουσα της $\dfrac{x}{f(x)-x}$ στο $\mathbb{R}$, με $g(0)=0$.
• $f(x)=x+3+g(x)$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Αποδείξτε ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$, με $f^\prime(x)=\dfrac{f(x)}{f(x)-x}$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.
2. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση $h(x)=f^2(x)-2xf(x)$ είναι σταθερή στο $\mathbb{R}$.
3. Προσδιορίστε τους τύπους των $f$ και $g$.
4. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα $I=\dint_0^1 f(x)\,dx$.

Έστω $f$ συνεχής συνάρτηση στο $\mathbb{R}$ με \[e^{f(x)}+f(x)=x+1,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Να αποδειχθεί ότι η $f$ είναι αντιστρέψιμη και να προσδιοριστεί η αντίστροφή της.
2. Να υπολογιστεί το $\dint_0^e f(x)dx$.

Θεωρούµε συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με θετική δεύτερη παράγωγο σε όλο το $\mathbb{R}$. Έστω $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ με $\alpha\lt \beta$.

1. Αποδείξτε ότι $$f(x)-f(\alpha)\leq f^\prime(\beta)(x-\alpha),$$ για κάθε $x\in[\alpha,\beta]$.
2. Αποδείξτε ότι $$\begin{array}{l} 2\dint_{\alpha}^{\beta}f(x)dx\leq\\[1ex] \leq f^\prime(\beta)(\beta-\alpha)^2+2f(\alpha)(\beta-\alpha). \end{array}$$
3. Αποδείξτε ότι $$2\dint_{\alpha}^{\beta}f(x)dx\leq f^\prime(\beta)(\beta-\alpha)^2+2f(\alpha)(\beta-\alpha).$$

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=e^{x}-x-1$, $x\in\mathbb{R}$.

1. Να μελετηθεί η $f$ ως προς μονοτονία και ακρότατα.
2. Να προσδιοριστεί το πρόσημο της $f$.
3. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $I=\dint_{-1}^1 |f(x)|\,dx$.

Έστω η συνάρτηση $f(x)= x+\sqrt{x^2+1}$.

1. Αποδείξτε ότι $f(x)\gt 0$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.
2. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα $I=\dint_0^2 \dfrac{x}{x^2+1}\,dx$.
3. Να μελετήσετε τη συνάρτηση $g(x)=\dfrac{f^\prime(x)}{f(x)}$ ως προς μονοτονία.

∆ίνεται η συνάρτηση $f(x)=xe^{-\nu x}$, όπου $x\in\mathbb{R}$ και $\nu\in\mathbb{N}^{\ast}$.

1. Να µελετήσετε την $f$ ως προς µονοτονία και ακρότατα και να προσδιορίσετε τα σηµεία καµπής της $C_f$.
2. Να αποδείξετε ότι $2\leq e^2 \nu^2 \cdot\dint_{\frac{2}{\nu}}^{\frac{1}{\nu}}xe^{-\nu x}dx\leq e$.

Δίνεται η εξίσωση \[\ln x-\dfrac{2}{x}=0\tag{$\ast$}\] και η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{5\ln x}{x}$, $x\gt 0$.

1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ($\ast$) διαθέτει μοναδική λύση $x_0\gt 1$.
2. Να αποδείξετε ότι $\dint_{1}^{x_0} f(x)\,dx=f(x_0)$.

Έστω $f$ συνεχής συνάρτηση στο $\mathbb{R}$ με \[e^{f(x)}+f(x)=x+1,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Να αποδειχθεί ότι η $f$ είναι αντιστρέψιμη και να προσδιοριστεί η αντίστροφή της.
2. Να υπολογιστεί το $\dint_0^e f(x)dx$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=e^{x}-x-1$, $x\in\mathbb{R}$.

1. Να μελετηθεί η $f$ ως προς μονοτονία και ακρότατα.
2. Να προσδιοριστεί το πρόσημο της $f$.
3. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $I=\dint_{-1}^1 |f(x)|\,dx$.

Έστω η συνάρτηση $f(x)= x+\sqrt{x^2+1}$.

1. Αποδείξτε ότι $f(x)\gt 0$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.
2. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα $I=\dint_0^2 \dfrac{x}{x^2+1}\,dx$.
3. Να μελετήσετε τη συνάρτηση $g(x)=\dfrac{f^\prime(x)}{f(x)}$ ως προς μονοτονία.

∆ίνεται η συνάρτηση $f(x)=xe^{-\nu x}$, όπου $x\in\mathbb{R}$ και $\nu\in\mathbb{N}^{\ast}$.

1. Να µελετήσετε την $f$ ως προς µονοτονία και ακρότατα και να προσδιορίσετε τα σηµεία καµπής της $C_f$.
2. Να αποδείξετε ότι $2\leq e^2 \nu^2 \cdot\dint_{\frac{2}{\nu}}^{\frac{1}{\nu}}xe^{-\nu x}dx\leq e$.

Θεωρούµε τη συνάρτηση $f(x)=\sqrt{1+x^2}+\lambda x$, όπου $\lambda\in\mathbb{R}$.

1. Να υπολογίσετε το $\lambda$ όταν $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=1$.
2. Για την παραπάνω τιµή του $\lambda$, υπολογίστε το $\dint_{0}^{1}\dfrac{x}{f^2(x)}dx$.

∆ίνεται η συνάρτηση $f:[-1,+\infty)\to\mathbb{R}$ µε $f(x)=\dfrac{1}{2}(x^2-2x-1)$.

1. Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι αντιστρέψιμη και να προσδιορίσετε την αντίστροφή της.
2. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\dint_{-1}^1 f^{-1}(y)dy$.

∆ίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ µε $f(x)=x^3+2x-3$.

1. Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι αντιστρέψιμη.
2. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\dint_{-3}^0 f^{-1}(y)dy$.

Έστω κυρτή συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ και κυρτή. Αποδείξτε ότι:

1. $f(x)\leq f(-1)+(x+1)f^{\prime}(x)$, για κάθε $x\in[-1,1]$.
2. $\dint_{-1}^{1}f(x)\,dx\leq f(-1)+f(1)$.

Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει $\dint_0^1 |f(x)|\,dx=4$ και \[f(x)- x + 2 \gt e^{1-x},\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Να αποδείξετε ότι η $f$ διατηρεί σταθερό πρόσημο στο $\mathbb{R}$, το οποίο και να προσδιορίσετε.
2. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $I=\dint_0^1 |f(x)-e^{1-x}+x^2 -2x+5|\,dx$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=1+\dfrac{1}{x^2}$.

1. Να μελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά.
2. Να αποδείξετε ότι $\dfrac{5}{4}\leq\dint_{1}^{2}f(x)dx\leq 2$.
3. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την $C_f$, τον άξονα $x^{\prime}x$ και τις ευθείες με εξισώσεις $x=2$, $x=4$.
4. Να προσδιορίσετε την κάθετη στον άξονα $x^{\prime}x$ ευθεία που διαμερίζει το χωρίο του προηγούμενου ερωτήματος σε δύο ισεμβαδικά χωρία.

Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f: [0,2]\to\mathbb{R}$, για την οποία ισχύει

1. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $I=\dint_0^2 (f(x^2)-3x)^2 \, dx$.
2. Να προσδιορίσετε τον τύπο της $f$.
3. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$, τον άξονα $y^\prime y$ και την εφαπτομένη της $C_f$ στο σημείο επαφής $\textnormal{M}(1,f(1))$.

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, με $f(0)=0$ και \[f(x)-e^{-f(x)}=x-1,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Να εκφράσετε την $f^\prime(x)$ ως συνάρτηση της $f(x)$.
2. Να αποδείξετε ότι $\dfrac{x}{2}\lt f(x)\lt xf^{\prime}(x)$, για κάθε $x\gt 0$.
3. Αν $\textnormal{E}$ είναι το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $f$, τον άξονα $x^\prime x$ και τις ευθείες με εξισώσεις $x=0$ και $x=1$, να αποδείξετε ότι $\dfrac{1}{4}\lt \textnormal{E}\lt \dfrac{f(1)}{2}$.

Έστω η συνάρτηση $f(x)=e^{x^{2}}$.

1. Να αποδειχθεί ότι η $f$ είναι κυρτή στο $\mathbb R$.
2. Να αποδειχθεί ότι το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη $C_f$, τον άξονα $x^\prime x$ και τις ευθείες με εξισώσεις $x=0$, $x=1$ είναι μεγαλύτερο του $\frac{e}{2}$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\ln x^2$, $x\neq 0$.

1. Να μελετηθεί η συνάρτηση $f$ ως προς μονοτονία.
2. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την $C_f$ και τις ευθείες με εξισώσεις $y=0$, $y=2$.

Έστω συνάρτηση $f$, με συνεχή παράγωγο στο $[0,1]$, ώστε $f(0)=0$, $f(1)=e$ και \[f^{\prime}(x)e^{-x}\leq x+1,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in [0,1]$.

1. Να προσδιορίσετε τον τύπο της $f$ στο $[0,1]$.
2. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f^{-1}$, τους άξονες $x^{\prime}x$, $y^{\prime}y$ και την ευθεία με εξίσωση $x=e$.

Έστω δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με \[f^3(x)+2f(x)=x, \tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in\mathbb{R}$.

1. Να μελετήσετε την $f$ ως προς κυρτότητα και να προσδιορίσετε τα σημεία καμπής της $C_f$.
2. να προσδιορίσετε την εξίσωση εφαπτομένης της $C_f$ στο σημείο καμπής της.
3. Να αποδείξετε ότι η $f$ αντιστρέφεται και να προσδιορίσετε την $f^{-1}$.
4. Θεωρούμε τη συνάρτηση $g(x)= \dfrac{f^{-1}(x)}{x^2}$. Να προσδιορίσετε την ασύμπτωτη της $C_g$ στο $+\infty$ και να υπολογίσετε το εμβαδό που περικλείεται από την $C_g$, την ασύμπτωτη και τις ευθείες με εξισώσεις $x=1$, $x=e$.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $h(x)=e^x$, $x\in\mathbb{R}$.

1. Να προσδιοριστούν άρτια συνάρτηση $f$ και περιττή συνάρτηση $g$ τέτοιες ώστε $h(x)=f(x)+g(x)$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.
2. Να μελετηθούν οι $f,g$ ως προς μονοτονία και ακρότατα.
3. Να υπολογιστεί το εμβαδό $\textnormal{E}(\lambda)$ του χωρίου που περικλείεται από τις $C_f$, $C_g$ και τις ευθείες με εξισώσεις $x=0$, $x=\lambda$, όπου $\lambda\gt 1$.
4. Να υπολογιστεί το όριο $\lim\limits_{\lambda\to +\infty}\textnormal{E}(\lambda)$.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x)=x^3+x-2$.

1. Αποδείξτε ότι η $f$ αντιστρέφεται.
2. Υπολογίστε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f^{-1}$ και τους άξονες $x^{\prime}x$, $y^{\prime}y$.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x)=e^x+x-1$.

1. Αποδείξτε ότι η $f$ αντιστρέφεται.
2. Υπολογίστε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f^{-1}$, τον άξονα $x^{\prime}x$ και την ευθεία με εξίσωση $x=e$.

Έστω παραγωγίσιμες στο $[0,+\infty)$ συναρτήσεις $f,g$. Υποθέτουμε ότι οι γραφικές παραστάσεις των $f,g$ διέρχονται από το ίδιο σημείο του $y^{\prime}y$. Επίσης, υποθέτουμε ότι \[g^{\prime}(x)=e^{x^2}\ \textnormal{και}\ \dfrac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime\prime}(x)}+x=0,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in [0,+\infty)$. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις $C_f, C_g$ και τις ευθείες με εξισώσεις. $x=0$, $x=1$.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x)=\ln(x+1)+x$.

1. Αποδείξτε ότι η $f$ αντιστρέφεται.
2. Υπολογίστε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f^{-1}$, τον άξονα $x^{\prime}x$ και την ευθεία με εξίσωση $x=e$.

Έστω η συνάρτηση $f(x)=x(x-\alpha)(x-\beta)$, όπου $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$. Οι εφαπτόμενες της $C_f$ στα σημεία με τετμημένες $x_1=0$ και $x_2=\alpha$ διαθέτουν αντιστοίχως εξισώσεις $y=2x$ και $y=-x+1$.

1. Υπολογίστε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την $C_f$ και την εφαπτομένη της στο σημείο με τετμημένη $x_1=0$.
2. Υπολογίστε το εμβαδό που περικλείεται από την $C_f$ και τις δύο παραπάνω εφαπτόμενες.

∆ίνεται η συνάρτηση $f(x)=x^3 -6x^2+9x+1$.

1. Να µελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς µονοτονία και ακρότατα.
2. Να υπολογίσετε το εµβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$, τον άξονα $x^{\prime}x$ και τις ευθείες με εξισώσεις $x=1$ και $x=3$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{1}{x}+\ln x$, με $x\gt 0$.

1. Να εξετάσετε αν η $C_f$ διαθέτει κατακόρυφη ασύμπτωτη.
2. Να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της $f$.
3. Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\xi\in\left(1,\frac{5}{4}\right)$ ώστε $f(\xi) =2^{5-4\xi}$.
4. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$, τον άξονα $x^\prime x$ και τις ευθείες με εξισώσεις $x=1$ και $x=e$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=e^{x-3}-\dfrac{1}{x+4}$.

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της $f$.
2. Να προσδιορίσετε τις ασύμπτωτες της $C_f$.
3. Να μελετήσετε την $f$ ως προς μονοτονία.
4. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός $\alpha\gt 0$ ώστε $f(\alpha)=0$.
5. Να υπολογίσετε το όριο $\lim\limits_{x\to \alpha^-}\dfrac{1}{f(x)}$.
6. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$, τον άξονα $x^\prime x$ και τις ευθείες με εξισώσεις $x=-3$ και $x=-1$.

Έστω συνεχής στο $(0,+\infty)$ συνάρτηση $f$ και $F$ παράγουσα της $xf(x)$, στο ίδιο διάστημα, με $F(1)=0$. Επιπλέον, ισχύει \[f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{F(x)}{x^2},\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\gt 0$.

1. Να αποδειχθεί ότι $f(x)=\dfrac{1+\ln x}{x}$, για κάθε $x\gt 0$.
2. Να προσδιοριστεί το σύνολο τιμών της $f$.
3. Να προσδιοριστούν οι ασύμπτωτες της $C_f$.
4. Να υπολογιστεί το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$, τον άξονα $x^\prime x$ και τις ευθείες με εξισώσεις $x=1$, $x=e$.

∆ίνεται η συνάρτηση $f$ µε $f(x)=x+1+\dfrac{1}{x+1}$.

1. Να προσδιορίσετε τα διαστήµατα µονοτονίας και τα ακρότατα της συνάρτησης.
2. Να υπολογίσετε το εµβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$, τον άξονα $\mathrm{O}x$ και τις ευθείες $x=2$, $x=5$.

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\to\mathbb{R}$ με $f(0)=1$ και για κάθε $x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$.

1. Να προσδιορίσετε τον τύπο της $f$.
2. Να μελετήσετε ως προς κυρτότητα την $f$.
3. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$, τον άξονα $x^\prime x$, τον άξονα $y^\prime y$ και την ευθεία με εξίσωση $x=\frac{\pi}{4}$.

Δίνεται η συνάρτηση \[f(x)=\begin{cases}\dfrac{\ln x}{x}+1, &0\lt x\lt 1 \\ 1, & x=1\\ \dfrac{\ln x}{x-1} & x\gt 1\end{cases}\ .\]

1. Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι συνεχής στο $(0,+\infty)$.
2. Να προσδιορίσετε, αν υπάρχουν, τις κατακόρυφες ασύμπτωτες της $C_f$.
3. Να αποδείξετε ότι το $x_0 =1$ είναι το μοναδικό κρίσιμο σημείο της $f$.
4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=0$ διαθέτει μοναδική ρίζα $x_0$ στο $(0,+\infty)$.
5. Αν $\mathrm{E}$ είναι το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $f$, τον άξονα $x^\prime x$ και τις ευθείες με εξισώσεις $x=1$, $x=x_0$ (όπου $x_0$ όπως παραπάνω), να αποδείξετε ότι \[\mathrm{E}=\dfrac{-x_0^2 -2x_0 +2}{2}.\]
6. Αν $F$ είναι παράγουσα της $f$ στο $[1,+\infty)$, να αποδείξετε ότι $(x+1)F(x)\gt xF(1)+F(x^2)$, για κάθε $x\gt 1$.

∆ίνεται η συνάρτηση $f$ µε $f(x)=\sqrt{x}-\dfrac{\ln x}{2\sqrt{x}}$, $x\gt 0$.

1. Να προσδιορίσετε τα διαστήµατα µονοτονίας της $f$.
2. Να υπολογίσετε το εµβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$, τον άξονα $\mathrm{O}x$ και τις ευθείες µε εξισώσεις $x=1$, $x=4$.

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x^3 -3x^2+x$.

1. Να μελετήσετε ως προς κυρτότητα την $f$.
2. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την $C_f$ και την εφαπτομένη της $C_f$ που διέρχεται από το σημείο $\mathrm{M}(2,2)$.

Έστω συνάρτηση $f$, με συνεχή παράγωγο στο $\mathbb{R}$, για την οποία είναι γνωστά τα παρακάτω:

• $f^{\prime}(x)\lt 0$, για κάθε $x\in\mathbb{R}$.
• Η $C_f$ διέρχεται από τα σημεία $\mathrm{A}(0,1)$ και $\mathrm{B}(1,0)$.
• Το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο $g(x)=xf^{-1}(x)$ και τους άξονες $x^{\prime}x$, $y^{\prime}y$ ισούται με 4.

Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο $h(x)=f^2(x)$ και τους άξονες $x^{\prime}x$, $y^{\prime}y$.

Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση $f$, για την οποία ισχύουν τα παρακάτω:

• Η $f$ στρέφει τα κοίλα κάτω στο $\mathbb{R}$.
• Η $f$ διαθέτει ως ακρότατο το $f(1)=1$.
• $f(-1)+f(3)=-4$.

Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f^{\prime}$, τον άξονα $x^{\prime}x$ και τις ευθείες με εξισώσεις $x=-1$, $x=3$.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x) = 3x + \dfrac{1}{2x^2}$

1. Να προσδιορίσετε τις πλάγιες ασύμπτωτες της $C_f$.
2. Να υπολογίσετε το εµβαδό $E(\alpha)$ του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$, την πλάγια ασύμπτωτη και τις ευθείες με εξισώσεις $x = 1$, $x=\alpha$, όπου $\alpha \gt 1$.
3. Να υπολογίσετε το όριο $\lim\limits_{\alpha\to +\infty}E(\alpha)$.

Θεωρούμε τις συναρτήσεις $f(x)=2^x-1-x\ln 2$ και $g(x)=2^x$.

1. Να μελετήσετε ως προς μονοτονία τη συνάρτηση $f$ και να αποδείξετε ότι είναι θετική.
2. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $g$, τις ευθείες με εξισώσεις $x=0$, $x=1$ και την εφαπτομένη της $C_g$ στο σημείο $\mathrm{Α}(0,1)$.
3. Να αποδείξετε ότι $\ln 2\lt \sqrt{3}-1$.

Έστω $f$ συνάρτηση με συνεχή παράγωγο στο $[1,e]$, για την οποία ισχύουν $f(1)=1$, $f (e)=2$ και \[f^{\prime}(x)x\geq 2\ln x,\tag{$\ast$}\] για κάθε $x\in [1,e]$.

1. Να προσδιορίσετε τον τύπο της $f$ στο $[1,e]$.
2. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f^{-1}$, τον άξονα $x^{\prime}x$ και τις ευθείες με εξισώσεις $x=1$, $x=2$.